黑龙江省哈尔滨市安家第二中学高三数学理下学期摸底试题含解析

黑龙江省哈尔滨市安家第二中学高三数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设变量x，y满足约束条件则目标函数z=3x+5y的最大值为（A）6 （B）19（C）21 （D）45参考答案：C分析：由题意首先画出可行域，然后结合目标函数的解析式整理计算即可求得最终结果.详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点A的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.本题选择C选项.

2.在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若角，，则关于△ABC的两个结论：①一定是锐角三角形；②一定是等腰三角形．下列判断正确的是（

）A．①错误②正确 B．①正确②错误C．①②都正确 D．①②都错误参考答案：C因为，则，注意，，则可得，或．若，则，，不可能．若，则，则一定是等腰三角形，也是锐角三角形．3.设集合M={x|x2-x<0}，N={x||x|<2}，则A．MN=

B．MN'=R

C．MN=M

D．MN=M

参考答案：B4.已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于()A.

B.

C.

D.参考答案：如图，以A1C1中点E为原点建立空间直角坐标系E－xyz，设棱长为1，则A，B1，设AB1与平面ACC1A1所成的角为θ，EB1为平面ACC1A1的法向量．则sinθ＝|cos〈，〉|＝＝.5.下列有关命题的说法正确的是(

)A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”．B．“”是“”的必要不充分条件．C．命题“使得”的否定是：“对均有”．D．命题“若，则”的逆否命题为真命题．参考答案：DD6.已知实数a，b满足2＜a＜b＜3，下列不等关系中一定成立的是（）A．a3+15b＞b3+15a B．a3+15b＜b3+15aC．b?2a＞a?2b D．b?2a＜a?2b参考答案：D【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】分别构造函数f（x）=x3﹣15x，g（x）=，利用导数研究其单调性，由单调性即可求得选项．【解答】解：设f（x）=x3﹣15x，则f′（x）=．当x∈（2，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．若2＜a＜b＜，则f（a）＞f（b），即a3+15b＞b3+15a；若＜a＜b＜3，则f（a）＜f（b），即a3+15b＜b3+15a．∴A，B均不一定成立．设g（x）=，则g′（x）==．令g′（x）=0，得x=log2e∈（1，2）．∴当x∈（2，3）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，∵2＜a＜b＜3，＞，即b?2a＜a?2b．故选：D．7.已知复数满足(为虚数单位），则复数（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B因为，所以.

8.某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有A．

140种

B．

120种

C．35种

D．

34种[参考答案：D若选1男3女有种；若选2男2女有种；若选3男1女有种；所以共有种不同的选法。选D.9.若命题，命题，则是的（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：D10.已知是函数的一个极大值点，则的一个单调递减区间是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，，则=

参考答案：012.函数的值域为

。参考答案：略13.已知，且，则sinα=．参考答案：【考点】两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系．【专题】计算题．【分析】由α和β的范围求出α﹣β的范围，根据cos（α﹣β）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α﹣β）的值，再由sinβ的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosβ的值，然后将所求式子中的角α变为（α﹣β）+β，利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．【解答】解：∵α∈（0，），β∈（﹣，0），∴α﹣β∈（0，π），又cos（α﹣β）=，sinβ=﹣，∴sin（α﹣β）==，cosβ==，则sinα=sin[（α﹣β）+β]=sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ=×+×（﹣）=．故答案为：【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键，同时注意角度的范围．14.已知数列{an}与{bn}满足an=2bn+3（n∈N*），若{bn}的前n项和为Sn=（3n﹣1）且λan＞bn+36（n﹣3）+3λ对一切n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是

．参考答案：（，+∞）【考点】8H：数列递推式．【分析】由{bn}的前n项和为Sn=（3n﹣1）求得bn，进一步得到an，把an，bn代入λan＞bn+36（n﹣3）+3λ，分离λ，然后求出关于n的函数的最大值得答案．【解答】解：由Sn=（3n﹣1），得，当n≥2时，，当n=1时，上式成立，∴．代入an=2bn+3，得，代入λan＞bn+36（n﹣3）+3λ，得λ（an﹣3）＞bn+36（n﹣3），即2λ?3n＞3n+36（n﹣3），则λ＞+．由=，得n≤3．∴n=4时，+有最大值为．故答案为：（，+∞）．15.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则A、B为焦点，过点C的椭圆的离心率．参考答案：略16.曲线在点P处的切线方程是

.参考答案：略17.直线l1和l2是圆的两条切线，若l1与l2的交点为（1,3），则l1与l2的交角的正切值等于

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知动圆M在圆F1：（x+1）2+y2=外部且与圆F1相切，同时还在圆F2：（x﹣1）2+y2=内部与圆F2相切．（1）求动圆圆心M的轨迹方程；（2）记（1）中求出的轨迹为C，C与x轴的两个交点分别为A1、A2，P是C上异于A1、A2的动点，又直线l：x=与x轴交于点D，直线A1P、A2P分别交直线l于E、F两点，求证：DE?DF为定值．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【分析】（1）由直线与圆相切，则|MF1|+|MF2|=4＞|F1F2|，则M点的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，即可求得椭圆方程；（2）方法一：分别求得直线PA1的方程，直线PA2的方程，分别求得E和F坐标，则，即可求得DE?DF为定值；方法二：设E和F坐标，联立方程求得P的坐标，将P代入椭圆方程，即可求得，则为定值．【解答】解：（1）设动圆M的半径为r，由已知得，|MF1|+|MF2|=4＞|F1F2|，∴M点的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，设椭圆方程：（a＞b＞0），则a=2，c=1，则b2=a2﹣c2=3，方程为；（2）解法一：设P（x0，y0），由已知得A1（﹣2，0），A2（2，0），则，直线PA1的方程为：，，直线PA2的方程为：，当时，，∴，又∵P（x0，y0）满足，∴，∴为定值．（2）解法二：由已知得A1（﹣2，0），A2（2，0），设直线PA1的斜率为k1，直线PA2的斜率为k2，由已知得，k1，k2存在且不为零．∴l1的方程为：y=k1（x+2），l2的方程为：y=k2（x﹣2），当时，，∴．联立l1，l2方程求出P点坐标为，将P点坐标代入椭圆方程3x2+4y2=12得，即，整理得k1k2（3+4k1k2）=0，∵k1k2≠0，∴，∴为定值．19.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且（4，0）在椭圆C上，圆M：x2+y2=r2与直线l：y=8x的一个交点的横坐标为1．（1）求椭圆C的方程与圆M的方程；（2）已知A（m，n）为圆M上的任意一点，过点A作椭圆C的两条切线l1，l2．试探究直线l1，l2的位置关系，并说明理由．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意列关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a，b的值，则椭圆方程可求；求得直线和圆的交点（1，8），即可得到圆的方程；（2）当过点A与椭圆C相切的一条切线的斜率不存在时，切线方程为x=±4，得到直线y=±7恰好为过点A与椭圆相切的另一条切线，于是两切线l1，l2互相垂直；当过点A（m，n）与椭圆C相切的切线的斜率存在时，设切线方程为y﹣n=k（x﹣m），联立直线方程和椭圆方程，得到关于x的一元二次方程，利用判别式等于0能推导出直线l1、l2始终相互垂直．【解答】解：（1）由题意得b=4，e==，又a2﹣c2=16，解得a=7，b=4，c=．∴椭圆C的方程为+=1；由题意可得圆M：x2+y2=r2与直线l：y=8x的一个交点为（1，8），即有r2=65，则圆M的方程：x2+y2=65；（2）如图，①当过点A与椭圆C：+=1相切的一条切线的斜率不存在时，此时切线方程为x=±4，∵点A在圆M：x2+y2=65上，则A（±4，±7），∴直线y=±7恰好为过点A与椭圆相切的另一条切线，于是两切线l1，l2互相垂直；②当过点A（m，n）与椭圆C相切的切线的斜率存在时，设切线方程为y﹣n=k（x﹣m），由，得（49+16k2）x2+32k（n﹣mk）x+16k2m2﹣32kmn+16n2﹣49×16=0，由于直线与椭圆相切，∴△=1024k2（n﹣mk）2﹣4（49+16k2）（16k2m2﹣32kmn+16n2﹣49×16）=0，整理，得（16﹣m2）k2+2mnk+49﹣n2=0，∴k1k2=，∵P（m，n）在圆x2+y2=65上，∴m2+n2=65，∴16﹣m2=n2﹣49，∴k1k2=﹣1，则两直线互相垂直．综上所述，直线l1、l2始终相互垂直．20.中央电视台为了解该卫视《朗读者》节目的收视情况，抽查东西两部各5个城市，得到观看该节目的人数（单位：千人）如下茎叶图所示其中一个数字被污损，（1）求东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数的概率．（2）随着节目的播出，极大激发了观众对朗读以及经典的阅读学习积累的热情，从中获益匪浅，现从观看节目的观众中随机统计了4位观众的周均阅读学习经典知识的时间（单位：小时）与年龄（单位：岁），并制作了对照表（如表所示）：年龄x岁20304050周均学习成语知识时间y（小时）2.5344.5由表中数据，试求线性回归方程y=bx+a，并预测年龄为50岁观众周均学习阅读经典知识的时间．参考答案：【考点】BK：线性回归方程．【分析】（1）求出基本事件的个数，即可求出概率；（2）求出回归系数．可得回归方程．再预测年龄为50岁观众周均学习成语知识时间．【解答】解：（1）设被污损的数字为a，则a有10种情况．令88+89+90+91+92＞83+83+97+90+a+99，则a＜8．∴东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数，有8种情况，其概率为．（2）=35，=3.5，==，=﹣=，∴=x+x=50时，=4.55小时．21.如图为河岸一段的示意图.一游泳者站在河岸的A点处，欲前往对岸的C点处，若河宽BC为100，A、B相距100，他希望尽快到达C，准备从A步行到E（E为河岸AB上的点），再从E游到C.已知此人步行速度为游泳速度为.（1）

设试将此人按上述路线从A到C所需时间T表示为的函数，并求自变量的取值范围；（2）

当为何值时，此人从A经E游到C所需时间T最小，其最小值是多少？参考答案：(1)从A步行到E所用的时间为22.（本小题满分14分）围建一个面积为360的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用的旧墙