辽宁省鞍山市博圆中学高三数学理期末试题含解析

辽宁省鞍山市博圆中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（）A． B． C． D．3参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱锥A﹣BCDE的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，分别计算侧面积，即可得出结论．【解答】解：由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱锥A﹣BCDE的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，则S△AED==，S△ABC=S△ADE==，S△ACD==，故选：B．2.函数的图象大致是（

）

参考答案：A略3.

下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是(

)A．

B．C．

D．

参考答案：D4.已知函数，则下列结论正确的是（

）A．在区间内单调递增

B．在区间内单调递减

C.是偶函数

D．是奇函数，且在区间内单调递增参考答案：D5.已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设，则的大小关系是()A.

B.

C.

D.参考答案：B6.已知复数（i是虚数单位，)，则（

）A．－2

B．－1

C.0

D．2参考答案：A∵=，∴a=﹣1，b=﹣1，则a+b=﹣2．故选：A．

7.已知函数的图象有交点，则的取值范围是A. B.C. D.参考答案：A略8.已知x∈（﹣，0），cosx=，则tan2x=(

) A． B． C． D．参考答案：D考点：二倍角的正切．专题：计算题．分析：由cosx的值及x的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinx的值，进而求出tanx的值，然后把所求的式子利用二倍角的正切函数公式变形后，将tanx的值代入即可求出值．解答： 解：由cosx=，x∈（﹣，0），得到sinx=﹣，所以tanx=﹣，则tan2x===﹣．故选D点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正切函数公式．学生求sinx和tanx时注意利用x的范围判定其符合．9.设，，，则A．a>b>c

B．a>c>b

C．c>a>b

D．c>b>a参考答案：B因为，所以，那么，所以.

10.函数f（x）的导函数f′（x）满足xf′（x）+2f（x）＞0，则（）A．4f（﹣2）＜f（﹣1） B．4f（4）＜f（2） C．4f（2）＞﹣f（﹣1） D．3f（）＞4f（2）参考答案：C【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据题目给出的条件2f（x）+xf′（x）＞0，想到构造函数g（x）=x2f（x），求导后分析该函数的单调性，从而能判出函数的极小值点，进一步得到函数g（x）恒大于0，则有f（x）恒大于0，再利用函数的单调性，分别比较大小，即可得到答案．【解答】解：令g（x）=x2f（x），则g′（x）=2xf（x）+x2f′（x），=x[2f（x）+xf′（x）]，∵2f（x）+xf′（x）＞0，∴当x＞0时，g（x）＞0，所以函数g（x）在（0，+∞）上为增函数．当x＜0时，g（x）＜0，所以函数g（x）在（﹣∞，0）上为减函数．∴当x=0时函数g（x）有极小值，也就是最小值为g（0）=0．所以g（x）=x2f（x）恒大于等于0，当x≠0时，由x2f（x）恒大于0，可得f（x）恒大于0．又对可导函数f（x），恒有2f（x）+xf′（x）＞0，取x=0时，有2f（0）+0×f（0）＞0，所以f（0）＞0．综上有f（x）恒大于0．g（x）在（﹣∞，0）上为减函数．∴g（﹣2）＞g（﹣1），即4f（﹣2）＞f（﹣1），故A错误；g（x）在（0，+∞）上为增函数．∴g（4）＞g（2），即4f（4）＞f（2），故B错误；∵f（x）恒大于0，∴﹣f（﹣1）＜0，4f（2）＞0，∴4f（2）＞﹣f（﹣1），故C正确；对于D，g（x）在（0，+∞）上为增函数．g（）＜g（2），即3f（）＜4f（2），故D正确．故答案选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设分别是的边上的点，，，若（为实数），则的值为

▲

参考答案：易知所以12.函数f（x）=sinx﹣4sin3cos的最小正周期为．参考答案：π【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】由已知利用倍角公式，降幂公式化简可得f（x）=sin2x，进而利用周期公式即可计算得解．【解答】解：∵f（x）=sinx﹣4sin3cos=sinx﹣2sin2（2sincos）=sinx﹣2sin2sinx=sinx﹣（1﹣cosx）sinx=sinxcosx=sin2x，∴最小正周期T==π．故答案为：π．13.某赛事组委会要为获奖者定做某工艺品作为奖品，其中一等奖奖品3件，二等奖奖品6件.制作一等奖和二等奖奖品所用原料完全相同，但工艺不同，故价格有所差异.现有甲、乙两家工厂可以制作奖品（一等奖、二等奖奖品均符合要求)，甲厂收费便宜，但原料有限，最多只能制作4件奖品，乙厂原料充足，但收费较贵，其具体收费情况如下表：

奖品

收费(元／件)工厂一等奖奖品

二等奖奖品甲500

400乙800

600则组委会定做该工艺品的费用总和最低为

元.参考答案：试题分析：设在甲厂做一等奖奖品件，二等奖奖品件，则,组委会定做该工艺品的费用总和为，可行域为一个直角梯形内整数点（包含边界）,其中当直线过点时费用总和取最小值：考点：线性规划求最值14.已知，，若，或，则m的取值范围是_________。参考答案：首先看没有参数，从入手，显然时，；时，。而对，或成立即可，故只要，，(*)恒成立即可．①当时，，不符合(*)式，舍去；②当时，由<0得，并不对成立，舍去；③当时，由<0，注意，，故，所以，即，又，故，所以，又，故，综上，的取值范围是。15.已知数列{an}中是数列{an}的前n项和，则S2015=

。

参考答案：5239【知识点】数列求和因为所以，所以数列是以5为周期的数列，而，，所以.【思路点拨】先求出数列是以5为周期的数列，再求和即可。

16.曲线在点（0,1）处的切线方程为

。参考答案：解析:，斜率k＝＝3，所以，y－1＝3x，即17.已知i2=–1，在集合{s|s=1+i+i2+i3+…+in，n∈N}中包含的元素是

。参考答案：0，1，1+i，i；三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+3．（I）解不等式：|g（x）|＜5；（II）若对任意的x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（1）将不等式等价为：﹣5＜|x﹣1|+3＜5，即只需解|x﹣1|＜2即可；（2）问题等价为：f（x）的值域是g（x）值域的子集，再分别求出两函数的值域，根据集合间的关系确定a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由||x﹣1|+3|＜5得，得﹣5＜|x﹣1|+3＜5，即﹣8＜|x﹣1|＜2，所以，﹣2＜x﹣1＜2，解得，﹣1＜x＜3，因此，原不等式的解集为：（﹣1，3）；（Ⅱ）因为任意的x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，所以，f（x）的值域是g（x）值域的子集，即{y|y=f（x），x∈R}?{y|y=g（x），x∈R}，根据绝对值三角不等式，|2x﹣a|+|2x+3|≥|（2x﹣a）﹣（2x+3）|=|a+3|，所以，f（x）的值域为：[|a+3|，+∞），而g（x）=|x﹣1|+3的值域为：[3，+∞），因此，[|a+3|，+∞）?[3，+∞），即|a+3|≥3，解得a≤﹣6或a≥0，所以，实数a的取值范围为：（﹣∞，﹣6]∪[0，+∞）．19.在平面直角坐标系中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为（1，π），已知曲线C：ρ=2，直线l过点P，其参数方程为：（t为参数），直线l与曲线C分别交于M，N．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若|PM|+|PN|=5，求a的值．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用三种方程的互化方法，可得曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若|PM|+|PN|=5，利用直线的参数方程，结合参数的几何意义，即可求a的值．【解答】解：（1）ρ=2，得ρ2=2aρcosθ+2aρsinθ，∴x2+y2=2ax+2ay，即（x﹣a）2+（y﹣a）2=2a2，点P的极坐标为（1，π），直角坐标为（﹣1，0），所以直线l的普通方程y=（x+1）；

…（2）将直线l的参数方程代入x2+y2=2ax+2ay，得t2﹣（a+a+1）t+1+2a=0，因为|PM|+|PN|=5，所以a+a+1=5解得a=2﹣2．

…（10分）【点评】本题考查三种方程的互化，考查参数的几何意义的运用，属于中档题．20.已知,点在曲线上且

（Ⅰ）求证:数列为等差数列,并求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列的前n项和为,若对于任意的,使得恒成立,求最小正整数t的值．