湖南省常德市城北中学高三数学理模拟试题含解析

湖南省常德市城北中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设变量x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最大值为（）A．﹣2 B．2 C．3 D．4参考答案：【分析】作出约束条件对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．【解答】解：作出约束条件，对应的平面区域如图：由z=3x﹣2y得y=x﹣，平移直线y=x，经过点A时，直线y=x﹣的截距最小，此时z最大．由，解得A（1，0），此时zmax=3×1﹣0=3，故选：C【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．2.设A，B，C是半径为1的圆上三点，若，则的最大值为（）A. B. C.3 D.参考答案：B【详解】此题考查正弦定理、余弦定理、向量的数量积、两角和与差正余弦公式的灵活应用、三角函数求最值问题的综合知识；设圆的圆心是，在等腰中，，由余弦定理可求出，根据正弦定理得：所以，当时，的最大值为，选B3.已知定义在上的函数满足，且，，若有穷数列（）的前项和等于，则等于(

)A．4

B．5

C．6

D．7参考答案：B，因为，所以，即函数单调递减，所以.又，即，即，解得（舍去）或.所以，即数列为首项为，公比的等比数列，所以，由得，解得，选B.4.四面体ABCD中，已知AB=CD=，AC=BD=，AD=BC=，则四面体ABCD的外接球的表面积为（）A．25p B．45p

C．50p D．100p参考答案：5.已知函数f（x）=，若f（a）=f（1），则实数a的值等于（）A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1参考答案：C【考点】分段函数的应用；函数的零点与方程根的关系；函数与方程的综合运用．【分析】利用分段函数列出方程求解即可．【解答】解：函数f（x）=，若f（a）=f（1），当a＞0时，2a﹣1=1，可得a=1．当a≤0时，a+1=2﹣1，解得a=0，则实数a的值等于0或1．故选：C．6.设x，y满足约束条件，则的最小值是(

)（A）10 （B）8 （C）6

（D）4参考答案：D7.执行如图所示的程序框图，输出的S是（）A．10 B．15 C．20 D．35参考答案：D【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的p，s，i的值，当i=6时，不满足条件i≤5，退出循环，输出s的值为35．【解答】解：执行程序框图，有i=1，p=0，s=0满足条件i≤5，p=1，s=1，i=2满足条件i≤5，p=3，s=4，i=3满足条件i≤5，p=6，s=10，i=4满足条件i≤5，p=10，s=20，i=5满足条件i≤5，p=15，s=35，i=6不满足条件i≤5，退出循环，输出s的值为35．故选：D．8.设、都是非零向量，下列四个条件中，一定能使成立的是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】平行向量与共线向量．【分析】根据向量共线定理，可得若成立，则向量、共线且方向相反，对照各个选项并结合数乘向量的含义，可得本题答案．【解答】解：由得，即，则向量共线且方向相反，因此当向量共线且方向相反时，能使成立．对照各个选项，可得B项中向量、的方向相同或相反；C项中向量、的方向相同；D项中向量、的方向互相垂直．只有A项能确定向量、共线且方向相反．故选：A【点评】本题给出非零向量、，求使成立的条件．着重考查了数乘向量的含义与向量共线定理等知识，属于中档题．9.

—个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为(A)

(B)1(C)

(D)参考答案：A略10.下列结论正确的是A．当x>0且x≠1时，lgx＋≥2B．当x≥2时，x＋的最小值为2C．当x>0时，＋≥2

D．当0<x≤2时，x－无最大值参考答案：C选项A中不能保证lgx>0；选项B中最小值为2时x＝1；选项D中的函数在(0,2]上单调递增，有最大值；只有选项C中的结论正确二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数，则是函数为奇函数的

条件.（选填“充分不必要、必要不充分、既不充分又不必要、充要”之一）参考答案：充分不必要12.若随机变量～，且＝0.1587，则__________.参考答案：0.8413略13.已知H是△ABC的垂心（三角形三条高所在直线的交点），，则cosDBAC的值为

．参考答案：∵H是△ABC的垂心，∴AH⊥BC，BH⊥AC，∵，∴则，，即，，化简得：，则，得，从而．14.设非零向量、、满足||=||=||，+=，则=_________．参考答案：略15.如果（m+4）﹣＜（3﹣2m）﹣，则m的取值范围是

．参考答案：【考点】幂函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由（m+4）﹣＜（3﹣2m）﹣，可得m+4＞3﹣2m＞0，解出即可得出．【解答】解：∵（m+4）﹣＜（3﹣2m）﹣，∴m+4＞3﹣2m＞0，解得．故m的取值范围为：．故答案为：．【点评】本题考查了幂函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.折纸已经成为开发少年儿童智力的一大重要工具和手段．已知在折叠“爱心”的过程中会产生如图所示的几何图形，其中四边形ABCD为正方形，G为线段BC的中点，四边形AEFG与四边形DGHI也为正方形，连接EB，CI，则向多边形AEFGHID中投掷一点，该点落在阴影部分内的概率为．参考答案：【考点】CF：几何概型．【分析】以面积为测度，分别求面积，即可得出结论．【解答】解：设正方形的边长为2，则由题意，多边形AEFGHID的面积为4+4+=10，阴影部分的面积为2×=2，∴向多边形AEFGHID中投掷一点，该点落在阴影部分内的概率为=，故答案为．【点评】本题考查几何概型，考查概率的计算，正确求面积是关键．17.如图，∠OFB=，△ABF的面积为，则以OA为长半轴，OB为短半轴，F为一个焦点的椭圆方程为

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图1，在直角梯形ABCD中，，，，，为线段的中点，将沿折起，使平面平面，得到几何体，如图2所示.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.

参考答案：解:（Ⅰ）在图1中,可得,从而,故.取中点连结,则,又面面,面面,面,从而平面.…4分∴，又,.∴平面.

（或由BC垂直AC结合面面垂直的性质得出BC垂直于面ACD也可以得满分）

…………6分（Ⅱ）建立空间直角坐标系如图所示,则,,,,.

………………8分设为面的法向量,则即,解得.令,可得.又为面的一个法向量，∴.∴二面角的余弦值为.----------------------------------12分19.已知左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）的椭圆过点，且椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点．（I）求椭圆C的离心率和标准方程．（II）圆与椭圆C交于A，B两点，R为线段AB上任一点，直线F1R交椭圆C于P，Q两点，若AB为圆P1的直径，且直线F1R的斜率大于1，求|PF1||QF1|的取值范围．参考答案：【考点】KP：圆锥曲线的范围问题；K4：椭圆的简单性质；KJ：圆与圆锥曲线的综合；KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）利用椭圆C过点，∵椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点，推出a=2c，然后求解椭圆C的离心率，标准方程．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），利用中点坐标公式以及平方差法求出AB的斜率，得到直线AB的方程，代入椭圆C的方程求出点的坐标，设F1R：y=k（x+1），联立，设P（x3，y3），Q（x4，y4），利用韦达定理，结合，，化简|PF1||QF1|，通过，求解|PF1||QF1|的取值范围．【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）解：∵椭圆C过点，∴，①∵椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点，∴a=2c，∵a2=b2+c2，∴，②由①②得a2=4，b2=3，a=2，c=1，∴椭圆C的离心率，标准方程为．…（Ⅱ）因为AB为圆P1的直径，所以点P1为线段AB的中点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，又，所以，则（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）=0，故，则直线AB的方程为，即．…（8分）代入椭圆C的方程并整理得，则，故直线F1R的斜率．设F1R：y=k（x+1），由，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，设P（x3，y3），Q（x4，y4），则有，．又，，所以|PF1||QF1|=（1+k2）|x3x4+（x3+x4）+1|=，因为，所以，即|PF1||QF1|的取值范围是．…（13分）【点评】本题考查椭圆的简单性质，椭圆方程的求法直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及平方差法的应用，考查分析问题解决问题的能力．20.已知函数.(1)

若曲线过点，求曲线在点P处的切线方程：(2)

求函数在区间上的最大值.

参考答案：（1）(2)解析：解：(1)因为点在曲线上，所以，解得.因为，所以切线的斜率为.所以切线方程为(2)因为①当时，，，所以函数在上单调递减，则②当，即时，，，所以函数在上单调递增，则③当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，则，又，，当时，，当时，④当，即，，，函数在上单调递增，则，综上，

略21.设函数f（x）=sinx+sin（）．

（1）求f（x）的最小值，并求使f（x）取得最小值的x的集合；

（2）在△ABC中，设角A，B的对边分别为a，b，若B=2A，且b=2af（A），求角C的大小．参考答案：略22.（13分）某市地铁全线共有四个车站，甲、乙两