2016年高三创新设计资料包（理科）教师资料：8章

第八章立体儿何最新考纲1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图；3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；4.会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不做严格要求);5.了解球、柱、锥、台的表面积和体积的计算公式.1.空间几何体的结构特征多面体(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面是全等且平行的多边形.(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形.(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形旋转体(1)圆柱可以由矩形绕其任一边所在直线旋转得到.(2)圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到.(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到(4)球可以由半圆面或圆面绕直径所在直线旋转得到.空间几何体的三视图是用正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图.yy轴所在平面垂直.(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x圆柱圆锥圆台S例=π(r₁+r₂)直棱柱正棱锥正棱台球=2π,故选A.侧视图子俯视图正视图A.90cm²B.129c6cm,4cm,3cm,直三棱柱的底面是直角三角形，边长分别为3cm,4cm,考点突破分类讲练，以例素法非安情彩PPT名师讲解体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号A(0,0,2),B(2,2,0),C(1,2,1),D(2,2,2),则俯视图A.正方形B.矩形C.菱形D.一般的平行四边形解析(1)(排除法)由正视图和侧视图可知，该几何体不可能是圆柱，排除选项C;又由俯视图可知，该几何体不可能是棱柱或棱台，排除选项A,B,故选D.应有OD=20D'=2×2V2故四边形OABC是菱形.考点二空间几何体的表面积(示，则该多面体的表面积为()正视图侧视图A.21+√3正视图侧视图俯视图)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为()解析(1)由三视图可知该几何体是棱长为2的正方体从后面右上角和前面左下角分别截去一个小三棱锥后剩余的部分(如图所示),其表面积为几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表面积公式，求其表面积.平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.(2)一个几何体的三视图及其相关数据如图所示，则这个几何体的表面积为侧花图正视图侧花图俯视图等，均为a.?为2,几何体的表面积是两个半圆的面积、圆台侧面积的一半和轴截面的面积之和，故这个几何体的表面积为考点三空间几何体的体积中点，则三棱锥A-B₁DC₁的体积为()A.3)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为()正视图侧视图A.8-2πB.8-πD.又∵平面BB₁C₁C⊥平面ABC,AD⊥BC,ADC平面ABC,由面面垂直的性质定理可得AD⊥平面BB₁C₁C,即AD为三棱锥A-B₁DC₁的底面B₁DC₁上的高.(2)直观图为棱长为2的正方体割去两个底面半径为1白园柱，所以该几何体规律方法(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解，其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积.(2)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解.(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.【训练3】(1)如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁与侧面BCC₁B₁的距离为2,侧面BCC₁B₁的面积为4,此三棱柱ABC-A₁B₁C的体积为示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的体积等于()AB解析(1)(补形法)将三棱柱补成四棱柱，如图所示.记A₁到平面BCC₁B₁的距离为d,则d=2.四边形(2)由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，底面为直角三角形，高为12,如图所示，其中AC=6,BC=8,∠ACB=90°,则AB=10.由题意知，当打磨成的球的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时，该球的半径最大.B.微型专题空间几何体表面上的最值问题所谓空间几何体表面上的最值问题，是指空间几何体表面上的两点之间的最小距离或某些点到某一个定点的距离之和的最值问题.将空间几何体表面进行展开是化解该难点的主要方法，对于多面体可以把各个面按照一定的顺序展开到一个平面上，将旋转体(主要是圆柱、圆锥、圆台)可以按照某条母线进行侧面展开，这样就把本来不在一个平面上的问题转化为同一个平面上的问题，结合问题的具体情况在平面上求解最值即可.【例4】如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=3,BC=4,CC₁=5,则沿着长方体表面从A到C₁的最短路线长为点拨求几何体表面上两点间的最短距离，可以将几何体的侧面展开，利用平面内两点之间线段最短来解答.解析在长方体的表面上从A到C₁有三种不同的展开图.(1)将平面ADD₁A₁绕着A₁D₁折起，得到的平面图形如图1所示.课堂总结反要归纳，感情探升1.棱柱、棱锥要掌握各部分的结构特征，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决.2.旋转体要抓住“旋转”特点，弄清底面、侧面及展开图形状.1.台体可以看成是由锥体截得的，但一定强调截面与底面平行.2.同一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同.3.在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”.在三视图的判断与识别中要特别注意其中的虚线.4.对于简单的组合体的表面积，一定要注意其表面积是如何构成的，在计算时不要多算也不要少算.5.在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变，平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.”(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2014·江西卷)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是解析由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成.从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形.2.(2015·合肥质量检测)某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为正视图侧视图俯视图A.12+4√2B.18+8√2C.28解析由三视图可得该几何体是平放的直三棱柱，该直三棱柱的底面是腰长为2的等腰直角三角形、侧棱长为4,所以表面积答案D所有棱长均为1,且AA₁⊥底面ABC,则三棱锥B₁-ABCBB口解析三棱锥B₁-ABC₁的体积等于三棱锥A-B₁BC₁的体积，三棱锥A-B₁BC,侧视图俯视图解析由俯视图可知，三棱锥底面是边长为2的等边三角形.由侧视图可知，边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图，则A.6V2B.4√2解析如图，设辅助正方体的棱长为4,三视图对应的多面体为三棱锥A-BCD,最长的棱为AD=①②③④是图③;其在面ABB₁A₁与面DCC₁D₁上的正投影是图②;其在面ABCD与面A₁B₁C₁D₁上的正投影也是②,故①④错误.解析如图，构造正方体ANDM-FBEC.因为三棱锥解析如图，构造正方体ANDM-FBEC.因为三棱锥A-BCD的所有棱长都为√2,所以正方体ANDM-FBEC的棱长为1.所以该正方体的外接球的半径易知三棱锥A-BCD的外接球就是正方体ANDM-FBEC的外接球，所以三棱锥A-BCD的外接球的半径解析如图，设点C到平面PAB的距离为h,△PAB的面积为S,则,V₁-Ye-40o-5×>5×h-5答案为所以三棱锥A-BCD的外接球的表面积为三、解答题9.如图是一个几何体的正视图和俯视图.(3)求出该几何体的体积.解(1)正六棱锥.(2)其侧视图如图，其中AB=AC,AD⊥BC,且BC的长是俯视图中的正六边形对边的距离，即BC=√3a,AD的长是正∴该平面图形的面积侧视图侧视图正视图侧视图正视图一A₁D₁P的组合体.PD₁.故所求几何体的表面积能力提升题组正视图正视图俯视图解析依题意，题中的几何体是从一个圆柱中挖去一个半球后所剩余的部分，其中该圆柱的底面半径是1cm、高是3cm,该球的半径是1cm,因此该几何答案C=30°,则棱锥S-ABC的体积为A.3√3解析由题意知，如图所示，在棱锥S-ABC中，△SAC,△SBC都是有一个角为30°的直角三角形，其中AB=答案C13.(2014·云南统一检测)已知球O的体积等于如果长方体的八个顶点都在球O的球面上，那么这个长方体的表面积的最大值等于解析由球O的体积为设长方体的长、宽、为50.14.如图1,在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°,CD//AB,AB=4,AD=CD=2,将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC,得到几何体D-ABC,如图2所示.从而AC²+BC²=AB²,故AC⊥BC,平面ADCN平面ABC=AC,BCC平面ABC,∴BC⊥平面ACD.*积*第2讲空间点、线、面的位置关系(2)公理2:过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.推论1:经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面.推论2:经过两条相交直线有且只有一个平面.推论3:经过两条平行直线有且只有一个平面.①定义：设a,b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a'//a,b′//b,3.空间直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况.(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.(1)梯形可以确定一个平面.(√)(2)圆心和圆上两点可以确定一个平面.(×)(3)已知a,b,c,d是四条直线，若a//b,b//c,c//d,则a//d.(√)(4)两条直线a,b没有公共点，则a与b是异面直线.(×)2.已知a,b是异面直线，直线c平行于直线a,那么c与b()解析由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b//c,则a//b,与已知a,b为异面直线相矛盾.3.下列命题正确的个数为()①经过三点确定一个平面②梯形可以确定一个平面③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合解析经过不共线的三点可以确定一个平面，∴①不正确；两条平行线可以确定一个平面，∴②正确；两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，∴③正确；命题④中没有说明三个交点是否共线，∴④不正确.4.(2014·广东卷)若空间中四条两两不同的直线l₁,l₂,l₃,l4,满足l₁⊥lz,l₂⊥l₃,l₃⊥l₄,则下列结论一定正确的是()答案考点突破分卷讲练，以例速法F精PPT名师讲解②若点A,B,C,D共面，点A,B,C,E共面，则A,B,C,D,E③若直线a,b共面，直线a,c共面，则直线b,c共面；那么正方体的过P,Q,R的截面图形是()平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线；②不正确，从条件看出两平面有三个公共点A,B,C,但是若A,B,C共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性；④不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在同一个平面上，如空间四边形.CB延长线交于M,且QP反向延长线与CD延长线交于N,连接MR交BB₁于E,连接PE,则PE,RE为截面与正方体的交线，同理连接NG交DD₁于F,连接QF,FG,则QF,FG为截面与正方体的交线，规律方法(1)公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理3是证明三线共点或三点共线的依据.要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理.(2)画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定，作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置.则四个点共面的图形的序号是①②③④①②③解析可证①中的四边形PQRS为梯形；②中，如图所示，取A₁A和BC的中点分别为M,N,可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形；③中，可证四边形PQRS为平行四边形；④中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P,Q,R,S四点不共面.考点二空间两条直线的位置关系【例2】如图是正四面体的平面展开图，G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC的中点，在这个正四面体中，④DE与MN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是.解析把正四面体的平面展开图还原.如图所示，GH与EF为MN.规律方法空间中两直线位置关系的判定，主要是对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、平行公理及线面平行与面面平行的性往往利用线面垂直的性质来解决.B.MN与AC垂直∴MN与A₁B₁不可能平行，故D错误，选D.【例3】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的菱ABCD,PB与平面ABCD所成角为60°.规律方法求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移.分别是BC,AD的中点.(1)若直线AB与CD所成的角为60°,则直线AB和MN所成的角为.(2)若直线AB⊥CD,则直线AB与MN所成的角为:法?但还可以有一种不错的方法：补形法.将该三椎锥放在长方体中，不妨用这种方法试一试本题第(1)问?解析(1)法—如图，取AC的中点P,连所以∠MPN(或其补角)为AB与CD所成的角.则∠MPN=60°或∠MPN=120°,若∠MPN=60°,因为PM//AB,所以∠PMN(或其补角)是AB与MN所成的角.又因为AB=CD,所以PM=PN,则△PMN是等边三角形，所以∠PMN=60°,即AB与MN所成的角为60°综上直线AB和MN所成的角为60°或30°法二由AB=CD,可以把该三棱锥放在长方体AA₁BB₁-连接A₁B₁交AB于O,所以A₁B₁||CD,即∠AOA₁(或其补角)为AB与CD所成的角.所以∠AOA₁=60°或120°,由矩形AA₁BB₁的性质可得∠BAA₁=60°或30°所以直线AB和MN即AB与MN所成的角为45°课堂总结反患归纳，感悟提升1.主要题型的解题方法平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上或选择某两点确定一条直线，然后证明其他点都在这条直线上.2.判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线.(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面.3.求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决.根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解.[易错防范]1.正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”.2.不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件.4.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角. 课时作业分屈训练，提升能力基础巩固题组一、选择题1.若空间三条直线a,b,c(建议用时：40分钟)满足a⊥b,b⊥c,则直线a与c()A.一定平行B.一定相交C.一定是异面直线D.平行、相交、是异面直线都有可能能相交.N分别是对角线AC与BD的中点，则MN与()当异面直线为EG,MN所在直线时，它们在底面ABCD内的射影为两条相交直线；当异面直线为DE,GF所在直线时，它们在底面ABCD内的射影分别为AD,BC,是两条平行直线；当异面直线为DE,BF所在直线时，它们在底面ABCD内的射影分别为AD和点B,是一条直线和一个点，故选C.6.平面a,β相交，在a,β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定 个平面.平面；否则确定四个平面.7.如果两条异面直线称为“一对”,那么在正方体的十二条棱中共有异面直线 解析如图所示，与AB异面的直线有B₁C₁,CC,A₁D₁,DD₁四条，因为各棱具有不同的位置，且正方体共有12条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线①直线AM与CC₁是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB₁是异面直线；④直线AM与DD₁是异面直线.其中正确的结论为解析A,M,C₁三点共面，且在平面AD₁C₁B中，但C平面AD₁C₁B,因此平面MBB₁,因此直线BN与MB₁是异面直线，③正确.垂垂答案③④三、解答题9.如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°,BCBEG,H分别为FA,FD的中点.(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C,D,F,E四点是否共面?为什么?(1)证明由已知FG=GA,FH=HD,可得GHi∴GH绣BC,∴四边形BCHG为平行四边形.∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF//BG.又D∈FH,∴C,D,F,E四点共面.10.如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点.(1)求四棱锥O-ABCD的体积；(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值的大小.解(1)由已知可求得，正方形ABCD的面积S=4,所以，四棱锥O-ABCD的体积(2)如图，连接AC,设线段AC的中点为E,连接ME,DE,则∠EMD(或其补角)为异面直线OC与MD所成的角，由已知，故异面直线OC与MD所成角的正切值能力提升题组B,C,D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中A.AB//CDC.AB⊥CDD.AB与CD所成的角为60°解析如图，把展开图中的各正方形按图1所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原，得到图2所示的直观图，可见选项A,B,C不形，∴∠ABE=60°,∴正确选项为D.答案D12.(2014·北京西城区模拟)如图所示，在空间四边形ABCD中，点E,H分别是边AB,AD的中点，点F,G分别C.EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上D.EF与GH的交点M一定在直线AC上解析依题意，可得EH//BD,FGBD,故EH//FG,所以E,F,G,H共,故EH≠FG,所以EFGH是梯形，EF与GH,必相交，设交点为M.因为点M在EF上，故点M在平面ACB上.同理，点M在平面ACD上，即点M是平面ACB与平面ACD的交点，而AC是这两个平面的交线，所以点M一定在直线AC上.则CD与PA所成角的余弦值为解析因为四边形ABCD为正方形，故CD//AB,则CD与PA所成的角即为AB与PA所成的角，即为∠PAB.利用余弦定理可知cos∠PAB=答案AB和AA₁的中点.求证：(1)E,C,D₁,F四点共面；(2)CE,D₁F,DA三线共点.∴EF//BA₁.又A₁B//D₁C,∴EF//CD₁,∴E,C,D₁,F四点共面.∴CE与D₁F必相交，设交点为P,则由P∈CE,CEC平面ABCD,得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD₁Ai.又平面ABCD∩平面ADD₁A₁=DA,∴P∈直线DA.∴CE,D₁F,DA三线共点.第3讲直线、平面平行的判定与性质最新考纲1.以立体几何的有关定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、面面平行的有关性质与判定定理，并能够证明相关性质定理；2.能运用线面平行、面面平行的判定及性质定理证明一些空间图形的平行关系的简单命题. 1.直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件a//a,C结论2.面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形B食B条件结论1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)瞳精彩PPT展示(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面.(×)(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线.(×)(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.(×)2.若直线mc平面a,则条件甲：“直线l//a”是条件乙：“1//m”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.已知m,n表示两条不同直线，a表示平面.下列说法正确的是()则n//a或nca,故C错误；若m//a,m⊥n,则n与a可能平行、相交或ncα,故D错误.因此选B.4.过三棱柱ABC-A₁B₁C₁任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB₁A₁平行的直线共有条.解析各中点连线如图，只有面EFGH与面ABB₁A₁平行，在四边形EFGH中有6条符合题意.DD₁的中点，则BD₁与平面AEC的位置关系为所以EO为△BDD₁的中位线，则BD₁EO,而BD₁4平面ACE,E所以BD₁平面ACE.答案平行考点突破分类讲练，以例来法留情彩PPT名师讲解面，下列命题中正确的是()B.若a//β,mca,ncβ,,则mllnA.若m//a,m//n,则nllaC.若a//β,m//a,m/ln,则n/lβ面；C中，若a//β,仍然满足m⊥n,mCa,ncβ,故C错误；故D正确.n4β,∴nllβ,若m/lβ,过m作平面y交平面β于直线l,则m//l,又n//m,形结合，画图或结合正方体等有关模型来解题.C.bca或b//aD.b与a相交或bca或b//a(2)给出下列关于互不相同的直线l,m,n和平面a,β,γ的三个命题：①若1与m为异面直线，ca,mcβ,③若a∩β=l,β∩y=m,y解析(1)可以构造一草图来表示位置关系，经验证，当b与a相交或bca或b//a时，均满足直线a⊥b,且直线a//平面α的情况，故选D.(2)①中，当α与β相交时，也能存在符合题意的l,m;②中，1与m也可能【例2】如图，几何体E-ABCD是四棱锥，平面BEC.深度思考证明线面平行的方法常用线面平行的判定定理，但有些问题可先证面面平行，本题就可用这两种方法，你不妨试一试.又EC⊥BD,EC∩CO=C,CO,ECc平面EOC,所以BD⊥平面EOC,又EOC平面EOC,因此BD⊥EO.又O为BD的中点，所以BE=DE.(2)法一如图，取AB的中点N,连接DM,DN,MN.所以MN//BE,又MN4平面BEC,BEC平面BEC,所以MN//平面BEC.又因为△ABD为正三角形，所以∠BDN=30°.又CB=CD,∠BCD=120°,因此∠CBD=30°所以DN//BC.又DN4平面BEC,BCC平面BEC,所以DN//平面BEC.又MN∩DN=N,所以平面DMN//平面BEC.又DMC平面DMN,所以DM//平面BEC.法二如图，延长AD,BC交于点F,连接EF.因为CB=CD,∠BCD=120°,因为△ABD为正三角形，因为∠AFB=30°,所以又AB=AD,所以D为线段AF的中点.连接DM,由于点M是线段AE的中点，因此DM//EF.又DM4平面BEC,EFC平面BEC,所以DM//平面BEC.规律方法判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义，一般用反证法；(2)利用线面平行的判定定理(ata,bca,allb→allα),其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；(3)利用面面平行的性质定理(a//β,acα→allβ);(4)利用面面平行的性质(allβ,a4β,alla→allβ).【训练2】如图，直三棱柱ABC-A'B'C',∠BAC=90°,(2)求三棱锥A'-MNC的体积.(1)证明法一连接AB',AC',如图，由已知∠BAC=90°,AB=AC,三棱柱ABC-A'B'C'为直三棱柱，所以M为AB'中点.又因为N为B'C'的中点，所以MN//AC'.又MN4平面A'ACC',AC'C平面A′ACC',因此MN//平面A'ACC'.法二取A'B'的中点P,连接MP,NP,AB',如图，而M,N分别为AB'与B'C'的中点，所以MP//AA',PN//A'C',又MPNNP=P,因此平面MPN//平面A'ACC'.而MNC平面MPN,因此MN//平面A'ACC',(2)解法一连接BN,如上图，由题意A'N⊥B'C”,平面A’B′C′∩平面B'BCC'=B'C',A'NC平面A'B'C',所以A'N⊥平面NBC.又考点三平面与平面平行的判定与性质【例3】如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是正方形，O是底面(1)证明：平面A₁BD//平面CD₁B₁;(2)求三棱柱ABD-A₁B₁D₁的体积.又BDX平面CD₁B₁,B₁D₁C平面CD₁B₁,∴BD//平面CD₁Bi.∴四边形A₁BCD₁是平行四边形，∴A₁B//D₁C.又A₁B4平面CD₁B₁,∴A₁B//平面CD₁Bj.∴平面A₁BD//平面CD₁B₁.∴A₁O是三棱柱ABD-A₁B₁D₁的高.规律方法证明两个平面平行的方法有：(1)用定义，此类题目常用反证法来完成证明；(2)用判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明；(4)借助“传递性”来完成：两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.【训练3】如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C中，E,F,G,H分别是AB,AC,A₁B₁,A₁C₁的中点，求证：(2)平面EFA₁//平面BCHG.证明(1)∵GH是△A₁B₁C₁的中位线，∴GH//B₁C₁,又B₁C₁//BC,∴GH//BC,∴B,C,H,G四点共面.∴EF//BC,∵EFQ平面BCHG,BCC平面BCHG,∴EF//平面BCHG.又∵G,E分别为A₁B₁,AB的中点，∴四边形A₁EBG是平行四边形，∴A₁E//GB.∵A₁EQ平面BCHG,GBC平面BCHG,∴A₁E//平面BCHG.又∵A₁E∩EF=E,∴平面EEA₁//平面BCHG.考点四平行关系中的探索性问题【例4】(2014·四川卷)在如图所示的多面体中，四边形ABB₁A₁和ACC₁A都为矩形.(1)若AC⊥BC,证明：直线BC⊥平面ACC₁A₁;(2)设D,E分别是线段BC,CC₁的中点，在线段AB上是否存在一点M,使直线DE//平面A₁MC?请证明你的结论.(1)证明因为四边形ABB₁A₁和ACC₁A₁都是矩形，所以AA₁⊥AB,AA₁⊥AC.因为AB,AC为平面ABC内两条相交直线，所以AA₁上平面ABC.因为直线BCC平面ABC,所以AA₁⊥BC.又AC⊥BC,AA₁,AC为平面ACC₁A₁内两条相交直线，所以BC⊥平面ACC₁Ai.(2)解取线段AB的中点M,连接A₁M,MC,A₁C,AC,OM,设O为A₁C,AC的交点.由已知可知O为AC₁的中点.连接MD,OE,则MD,OE分别为△ABC,△ACC₁的中位线.所以MD,OE,从而四边形MDEO为平行四边形，则DE//MO.因为直线DE4平面A₁MC,MOC平面A₁MC,所以直线DE//平面A₁MC,即线段AB上存在一点M(线段AB的中点),使直线DE//平面A₁MC.规律方法解决探究性问题一般先假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了使结论成立的充分条件，则存在；如果找不到使结论成立的充分条件(出现矛盾),则不存在.而对于探求点的问题，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明.(2)AC边上是否存在一点M,使得PA//平面EDM?若存在，求出AM的长；解(1)因为PD⊥平面ABCD,所以PD⊥AD.因为PDNCD=D,所以AD⊥平面PCD,因为E为PC的中点，且PD=DC=4,又因为EMC平面EDM,PAQ平面EDM,所以PA//平面EDM.即在AC边上存在一点M,使得PA//平面EDM,AM的长为V5. 醒面面平行具体条件而定，决不可过于“模式化”.2.线面平行关系证明的难点在于辅助面和辅助线的添加，在添加辅助线、辅助面时一定要以某一性质定理为依据，绝不能主观臆断.3.解题时注意符号语言的规范应用.课时作业分医训栋，提升能力基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.若直线a平行于平面a,则下列结论错误的是()A.a平行于a内的所有直线B.a内有无数条直线与a平行C.直线a上的点到平面α的距离相等D.a内存在无数条直线与a成90°角解析若直线a平行于平面a,则α内既存在无数条直线与a平行，也存在无数平面间的平行线段相等，所以C正确.2.平面a//平面β,点A,C∈a,B,D∈β,则直线AC//直线BD的充要条件A.AB//CDB.AD//CBC.AB与CD相交D.A,B,C,D四点共面解析充分性：A,B,C,D四点共面，由平面与平面平行的性质必要性显然成立.3.设l为直线，a,β是两个不同的平面.下列命题中正确的是()A.若l//a,l//β,则a//βB.若l⊥a,l⊥β,则a//βC.若l⊥a,I//β,则a//βD.解析I//a,llβ,则a与β可能平行，也可能相交，故A项错；由“垂直于同一条直线的两个平面平行”可知B项正确；由l⊥a,IⅡβ可知α⊥β,故C项错；由α⊥β,llla可知1与β可能平行，也可能Icβ,故D项错.故选B.4.(2015·吉林九校联考)已知m,n为两条不同的直线，a,β,y为三个不同的平面，则下列命题中正确的是C.若a//β,m//n,m//a,则n/lβD.若a⊥y,β⊥γ,则a//β解析对于选项A,mlla,nlla,则m与n可以平行，可以相交，可以异面，故A错误；对于选项B,由线面垂直的性质定理知，mlln,对于选项C,n可以平行β,也可以在β内，故C错；对于选项D,α与β可5.在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列结A.AC⊥BDD.异面直线PM与BD所成的角为45°解析因为截面PQMN是正方形，由线面平行的性质知MN//AC,则AC//截面PQMN,66又因为BD//MQ,所以异面直线PM即为45°,故D正确.6.棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是棱AA₁的中点，过C,M,D₁作正方体的截面，则截面的面积是解析由面面平行的性质知截面与面AB₁的交线MN是△AA₁B的中位线，所以截面是梯形CD₁MN,易求其面积答案AD的中点，点F在CD上.若EF//平面AB₁C,则线平面ABCD,且因为直线EF//平面平面ABCD,且平面AB₁C∩平面ABCD=AC,所以EF//AC,“a∩β=a,bcy,且,则a//b”为真命题，解析由面面平行的性质定理可知，①正确；当b//β,acy时，a和b在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确.故应填入的条件为①或③.答案①或③AD,EF的中点.(2)平面BDE//平面MNG.的交点O,连接MO,则MO为△ABE的中位线，所以BE//MO,又BE(平面DMF,MOC平面DMF,所以BE//平面DMF.(2)因为N,G分别为平行四边形ADEF的边AD,EF的中点，所以DE//GN,又DE4平面MNG,GNC平面MNG,所以DE//平面MNG.又M为AB中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD//MN,又BD4平面MNG,MNC平面MNG,所以BD//平面MNG,又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE//平面MNG.示(其中M,N分别是AF,BC的中点).直观图正视图侧视图(2)求多面体A-CDEF的体积.分别为AF,BC的中点可得，NG//CF,MG//AB//EF,且NG∩MG=G,CF∩EF=F,∴平面MNG//平面CDEF,又MNC平面MNG,MN4平面CDEF,∴MN//平面CDEF.(2)取DE的中点H∵AD=AE,∴AH⊥DE,在直三棱柱ADE-BCF中，平面ADE⊥平面CDEF,平面ADE∩平面CDEF=DE,AHC平面ADE,∴AH⊥平面CDEF.∴多面体A-CDEF是以AH为高，以矩形CDEF为底面的棱锥，在△ADE中，∴棱锥A-CDEF的体积为能力提升题组G,H分别是棱CC₁,C₁D₁,D₁D,DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件时，有MN//平面B₁BDD₁(请填上你认为正确的一个条件).的一个充分条件是()解析对于A,两个平面还可以相交，若a//β,则存在一条直线a,alla,a易知C不是α//β的一个充分条件，而是一个必要条件；对于D,移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有a//β,a//β的一个充分条件.12.下列四个正方体图形中，A,B为正方体的两个顶点，M,N,P在棱的中点，能得出AB//平面MNP的图形的序号是可以通过平分别为其所A.①③B.②③C.①④解析对于图形①:平面MNP与AB所在的对角面平行，即可得到AB//平面MNP;对于图形④:ABPN,即可得到AB//平面MNP;图形②,③都不可以，故选C.解析如图，连接FH,HN,FN,由题意知HN//面B₁BDD,FH|面B₁BDD₁.且HN∩FH=H,∴面NHF//面B₁BDDl.有MN//面B₁BDD₁.答案M∈线段HF14.(2014·南昌模拟)如图，已知正方形ABCD的边长为6,点E,F分别在边AB,AD上，AE=AF=4,现将△AEF沿线段EF折起到△A'EF位置，使得A'C=(1)求五棱锥A'-BCDFE的体积；(2)在线段A'C上是否存在一点M,使得BM//平面A'EF?若存在，求A'M;若不存在，请说明理由.∵四边形ABCD是正方形，AE=AF=4,∴H是EF的中点，且EF⊥AH,EF⊥CH,从而有A'H⊥EF,CH⊥EF,又A'H∩CH=H,所以EF⊥平面A'HC,且EFC平面ABCD,从而平面A'HC⊥平面ABCD,过点A'作A'O垂直HC且与HC相交于点O,则A'O⊥平面ABCD,所以五棱锥A'-BCDFE的体积(2)线段A'C上存在点M,使得BM//平面A'EF,.证明如下：A''c.且易知BD过O点.,所以OM//A'H,又OM4平面A'EF,A'HC平面A'EF,所以OM//平面A'EF,又BD//EF,BD4平面A'EF,EFC平面A'EF,所以BD//平面A'EF,又BD∩OM=O,所以平面MBD//平面A'EF,因为BMC平面MBD,所以BM//平面特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.第4讲直线、平面垂直的判定与性质最新考纲1.以立体几何的有关定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直、面面垂直的有关性质与判定定理，并能够证明相关性质定理；2.能运用线面垂直、面面垂直的判定及性质定理证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.1.直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线1与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直11d性质定理如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行bbaa2.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直性质定理如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面体x体x3.直线与平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角.(2)线面角θ的范围：4.二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.(2)二面角的平面角：二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角.1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)直线l与平面α内无数条直线都垂直，则l⊥a.(×)(2)若直线a⊥平面a,直线b//a,则直线a与b垂直.(√)(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.(×)2.设平面α与平面β相交于直线m,直线a在平面a内，直线b在平面β内，A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析若α⊥β,因为a∩β=m,bcβ,b⊥m,所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥a,又aCa,所以a⊥b;反过来，当a//m时，因为b⊥m,且a,1满足I⊥m,l⊥n,Na,Kβ,则()A.a//β且l//an,又直线l满足1⊥m,l⊥n,则交线平行于1,故选D.O为线段BD的中点.设点P在线段CC₁上，直线OP与平面A₁BD所成的角为α,则sina的取值范围是()解析根据题意可知平面A₁BD⊥平面AlACC₁且两平面的交线是A₁O,所以过点P作交线A₁O的垂线PE,则PE⊥平面A₁BD,所以∠A₁OP或其补角就是直线OP与平面A₁BD所成P与点C重合时，可得根据选项可知B正确.∵∠PEO的大小为侧面与底面所成的(锐)二面角的大小，∴侧面与底面所成的(锐)二面角的大小为45°.答案45°考点突破分类讲镇，以例求法考点一直线与平面垂直的判定与性质AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.证明(1)在四棱锥P-ABCD中，∵PA⊥底面ABCD,CDC平面ABCD,∴PA⊥CD,∵AC⊥CD,且PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC.而AEC平面PAC,∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.∴AE⊥平面PCD.而PDC平面PCD,∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD且PA∩AD=A,∴AB⊥平面PAD,而PDC平面PAD,∴AB⊥PD.又∵AB∩AE=A,∴PD⊥平面ABE.规律方法(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①线面垂直的定义；②判定定理；③垂直于平面的传递性(allb,a⊥α=b⊥α);④面面平行的性质(a⊥a,αllβ→a⊥β);⑤面面垂直的性质.(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.AP⊥平面PCD,AD//BC,,E,F分别为线段AD,PC的中点.求证：(1)AP//平面BEF;(2)BE⊥平面PAC.AD//BC,因此四边形ABCE为菱形，所以O为AC的中点.又F为PC的中点，因此在△PAC中，可得AP//OF.又OFc平面BEF,AP4平面BEF,所以AP//平面BEF.所以四边形BCDE为平行四边形，因此BE//CD.又AP⊥平面PCD,所以AP⊥CD,因此AP⊥BE.因为四边形ABCE为菱形，所以BE⊥AC.又AP∩AC=A,AP,ACC平面PAC,所以BE⊥平面PAC.考点二平面与平面垂直的判定与性质【例2】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC,AB⊥PA,AB//CD,AB=2CD,E,F,G,M,N分别为PB,AB,BC,PD,PC的中点.事事求证：(1)CE//平面PAD;(2)平面EFG⊥平面EMN.证明(1)法一取PA的中点H,连接EH,DH.因为E为PB的中点，所以EH//AB,又AB//CD,所以EH//CD,且EH=CD.因此四边形DCEH是平行四边形.又DHC平面PAD,法二连接CF.因为F为AB的中点，所以所以AF=CD,又AF//CD,所以四边形AFCD为平行四边形.因此CF//AD又CF4平面PAD,ADC平面PAD,所以CF//平面PAD.因为E,F分别为PB,AB的中点，所以EF//PA.又EF平面PAD,PAC平面PAD,所以EF//平面PAD.因为CF∩EF=F,故平面CEF//平面PAD.又CEC平面CEF,所以CE//平面PAD.(2)因为E,F分别为PB,AB的中点，所以EF//PA,又AB⊥PA,所以AB⊥EF.同理可证AB⊥FG.又EF∩FG=F,EFC平面EFG,FGC平面EFG,因此AB⊥平面EFG.又M,N分别为PD,PC的中点，因此MN⊥平面EFG.又MNC平面EMN,所以平面EFG⊥平面EMN.规律方法(1)证明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β,acα→a⊥β).(2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知PA⊥AC,PA求证：(1)直线PA//平面DEF;(2)平面BDE⊥平面ABC.证明(1)因为D,E分别为棱PC,AC的中点，所以DE//PA.又因为PAQ平面DEF,DEC平面DEF,所以直线PA//平面DEF.(2)因为D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点，PA=6,BC=8,所以DE//PA,EF//BC,且,所以∠DEF=90°,即DE⊥EF.因为ACNEF=E,ACC平面ABC,EFC平面ABC,所以DE⊥平面ABC.又DEC平面BDE,所以平面BDE⊥平面ABC.考点三线面角、二面角的求法⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；(3)求二面角A-PD-C的正弦值.(1)解在四棱锥P-ABCD中，因PA⊥底面ABCD,ABC平面ABCD,故PA⊥AB.又AB⊥AD,PA∩AD=A,从而AB⊥平面PAD,故PB在平面PAD内的射影为PA,从而∠APB为PB和平面PAD所成的角.在Rt△PAB中，AB=PA,故∠APB=45°.所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°.(2)证明在四棱锥P-ABCD中，因PA⊥底面ABCD,CDC平面ABCD,故CD⊥PA.由条件CD⊥AC,PA∩AC=A,又AEC平面PAC,∴AE⊥CD.由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.又PCNCD=C,综上得AE⊥平面PCD.(3)解过点E作EM⊥PD,垂足为M,连接AM,如图所示.由(2)知，AE⊥平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM,则AM⊥PD.因此∠AME是二面角A-PD-C的平面角.由已知，可得∠CAD=30°.设AC=a,可得,,,,..在Rt△ADP中，∵AM⊥PD,∴AM·PD=PA:AD,则在Rt△AEM中，所以二面角A-PD-C的正弦值规律方法求线面角、二面角的常用方法：(1)线面角的求法，找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解.(2)二面角的大小求法，二面角的大小用它的平面角来度量.平面角的作法常见的有①定义法；②垂面法.注意利用等腰、等边三角形的性质.【训练3】(2014·天津一考)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC.E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.(3)求二面角C-PB-D的大小.(1)证明如图所示，连接AC,AC交BD于O,连接EO.∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点.∴PA//EO.而EOC平面EDB且PAQ平面EDB,∴PA//平面EDB.(2)证明∵PD⊥底面ABCD,且DCc底面ABCD,∴PD⊥DC.∵PD=DC,可知△PDC是等腰直角三角形.而DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC.①同样，由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC.∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC∴BC⊥平面PDC.而DEC平面PDC,∴BC⊥DE.②由①和②且PC∩BC=C可推得DE⊥平面PBC.而PBC平面PBC,∴DE⊥PB.又EF⊥PB且DE∩EF=E,故∠EFD是二面角C-PB-D的平面角.设正方形ABCD的边长为a,则PD=DC=a,BD=√2a,PB=√PD²+BD²=√Ba,PC=√PD²+DC²=VZa,∴∠EFD=60°.∴二面角C-PB-D的大小为60°.[思想方法]1.证明线线垂直的方法(1)定义：两条直线所成的角为90°.(2)平面几何中证明线线垂直的方法.2.空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直三者之间可以相互转化，每一种垂直的判定都是从某种垂直开始转向另一种垂直最终达到目的，其转化关系为交.么.课时作业分医训练，提升能力A.AB//mB.AC⊥mC.AB//βD.AC⊥βABlllllm;AC⊥l,mlll→AD.B.过a一定存在平面β,使得β⊥aC.在平面a内一定不存在直线b,使得a⊥bD.在平面α内一定不存在直线b,使得a//b解析当a与α相交时，不存在过a的平面β,使得与其在平面α内的投影所确定的平面β满足β⊥a,故选B;平面α内的直线b只要垂直于直线a在平面a内的投影，则就必然垂直于直线a,故C错误；当a与α平行时，在平面a内存在直线b,使得a//b,故D错误.A.PA=PB>PCB.PA=PB<PCD.PA≠PB≠PC故PA=PB=PC.C.aca,b⊥β,a//βD.aca,b//β,a⊥β两直线可以平行，相交或异面，故不正确.A.平面ABC⊥平面ABDC.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDED.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDEACC平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE,所以选C.答案C∵AF⊥PC,且BC∩PC=C,∴AF⊥平面PBC,∴AF⊥PB,AF⊥BC.又AE⊥PB,AE∩AF=A, 解析∵PC在底面ABCD上的射影为AC,且PCC平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.答案DM⊥PC(或BM⊥PC)8.设a,β是空间两个不同的平面，m,n是平面a及β外的两条不同直线.从“①m⊥n;②a⊥β;③n⊥β;④m⊥a”中选取三个作为条件，余下一个作为解析假如①③④为条件，即m⊥n,n⊥β,m⊥α成立，过m上一点P作PB//n,则PB⊥m,PB⊥β,设垂足为B.又设m⊥a,垂足为A,过PA,PB的平面与a,β的交线1交于点C.因为l⊥PA,l⊥PB,所以1⊥平面PAB,所以∠ACB是二面角α-1-β的平面角.由①③④→②成立.反过来，如果②③④成立，与上面证法类似可得①成立.答案①③④→②(②③④→①)三、解答题9.(2014·包头市学业水平测试)如图，在直三棱柱ABC-(2)平面CDB₁分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.(1)证明由题设知，三棱柱的侧面为矩形，由于D为AA₁的中点，故DC=DC₁,又AA₁=2A₁C,可得DC²+DC²=CC},所以CD⊥平面B₁C₁D,因为B₁C₁C平面B₁C₁D,所以CD⊥B₁Ci.C₁CnCD=C,则B₁C₁⊥平面ACC₁A₁,设V₁是平面CDB₁上方部分的体积，V₂是平面CDB₁下方部分的体积，10.如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E和F分别是CD和PC的中点.求证：(2)BE//平面PAD;(3)平面BEF⊥平面PCD.证明(1)因为平面PAD⊥底面ABCD,且PA垂直于这两个平面的交线AD,所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB//CD,CD=2AB,E为CD的中点，所以AB//DE,且AB=DE.所以四边形ABED为平行四边形.所以BE//AD.又因为BE4平面PAD,ADC平面PAD,所以BE//平面PAD.(3)因为AB⊥AD,而且ABED为平行四边形，所以BE⊥CD,AD⊥CD.所以PA⊥CD,又PA∩AD=A.所以CD⊥平面PAD.从而CD⊥PD.又E,F分别是CD和PC的中点，所以PD//EF.故CD⊥EF,由EF,BEC平面BEF,且EF∩BE=E.所以CD⊥平面BEF.又CDc平面PCD,能力提升题组BC₁⊥AC,则C₁在底面ABC上的射影H必在()A.直线AB上B.直线BC上因此平面ABC⊥平面ABC],因此C₁在底面ABC上的射影H在直线AB上.过点A作平面A₁BD的垂线，垂足为点H.则以下命A.点H是△A₁BD的垂心B.AH垂直于平面CB₁DC.AH延长线经过点C₁D.直线AH和BB₁所成角为45°解析对于A,由于AA₁=AB=AD,所以点A在平面A₁BD上的射影必到点A₁,B,D的距离相等，即点H是△A是△A₁BD的垂心，命题A是真命题；对于B,由于B₁D₁ⅡBD,CD₁|lA₁B,故平面A₁BDl平面CB₁D₁,而AH⊥平面A₁BD,从而AH⊥平面CB₁D₁,命题B是真命题；对于C,由于AH⊥平面CB₁D₁,因此AH的延长线经过点C,命题C是真命题；对于D,由C知直线AH即是直线AC,又直线AA₁||BB₁,因此直线AC和BB₁所成的角就等于直线AA₁与AC所成而因此命题D是假命题.45°.其中正确的有(把所有正确的序号都填上).解析由PA⊥平面ABC,AEC平面ABC,得PA⊥AE,又由正六边形的性质得AE⊥AB,PA∩AB=A,得AE⊥平面PAB,又PBC平面PAB,∴AE⊥PB,①正确；又平面PAD⊥平面ABC,∴平面ABC⊥平面PBC不成立，②错；由正六边形的性质得BC//AD,又ADC平面PAD,∴BCⅡ平2AB,∴∠PDA=45°,∴④正确.答案①④14.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD,AC=2V2,PA=2,E是PC上的一(2)设二面角A-PB-C为90°,求PD与平面PBC所成角的大小.又PA⊥底面ABCD,所以PA⊥BD,因为AC∩PA=A,所以BD⊥PC.如图，设AC∩BD=F,连接EF.,BB所以BD⊥平面PAC,所又∠FCE=∠PCA,由此知PC⊥EF.又BD∩EF=F,所以PC⊥平面BED.(2)解在平面PAB内过点A作AG⊥PB,G为垂足.因为二面角A-PB-C为90°,所以平面PAB⊥平面PBC.又平面PAB∩平面PBC=PB,故AG⊥平面PBC,AG⊥BC.因为BC与平面PAB内两条相交直线PA,AG都垂直，故BC⊥平面PAB,于是BC⊥AB,所以底面ABCD为正方形，AD=2,PD=√PA²+AD²=2V2.设D到平面PBC的距离为d.因为AD//BC,且AD4平面PBC,BCC平面PBC,故AD//平面PBC,A,D两点到平面PBC的距离相等，设PD与平面PBC所成的角为a,则1所以PD与平面PBC所成的角为30°第5讲空间向量及其运算空间向量的正交分解及其坐标表示；2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表线和垂直. 基础诊断烧理自羽，理解k忆名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度(模)为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为一a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合共面向量平行于同一个平面的向量实数λ,使得a=λb.(2)共面向量定理：若两个向量a,b不共线，则向量p与向量a,b共面⇔存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+vb.存在有序实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc,把{a,b,c}叫做空间的一个基底.3.空间向量的数量积及运算律①两向量的夹角则称a与b互相垂直，记作a⊥b.②两向量的数量积4.空间向量的坐标表示及其应用设a=(a₁,az,a₃),b=(b₁,b₂,b₃).向量表示坐标表示数量积共线垂直模夹角C.;3.有下列命题：=(-1,1,1),|AD|=VI+1+1=V3.