2019年吉林省长春市中考数学试卷（解析版）

2019年吉林省长春市中考数学试卷

一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）

1.（3分）（2019•长春）如图，数轴上表示-2的点A到原点的距离是（）

A

---1•I-----1------------＞

-3-2-101

A.-2B.2C.-LD.L

22

【考点】13：数轴.

【专题】511：实数.

【分析】根据绝对值的定义即可得到结论.

【解答】解：数轴上表示-2的点A到原点的距离是2,

故选：B.

【点评】本题考查了数轴，绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键.

2.（3分）（2019•长春）2019年春运前四日，全国铁路、道路、水路、民航共累计发送旅客

约为275000000人次，275000000这个数用科学记数法表示为（）

A.27.5X107B.0.275X109C.2.75X108D.2.75X109

【考点】II：科学记数法一表示较大的数.

【专题】511：实数.

【分析】科学记数法的表示形式为aXIO"的形式，其中1WHIV10,n为整数.确定n

的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值＞10时，〃是正数；当原数的绝对值＜1时，〃是负数.

【解答】解：将275000000用科学记数法表示为：2.75X108.

故选：C.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为“X10”的形式，其

中”为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

3.（3分）（2019•长春）如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主

视图是（）

正面

D.

【考点】U2：简单组合体的三视图.

【专题】55F：投影与视图.

【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中.

【解答】解：从正面看易得第一层有2个正方形，第二层最右边有一个正方形.

故选：A.

【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图.

4.（3分）（2019•长春）不等式-x+220的解集为（）

A.尤2-2B.xW-2C.x22D.xW2

【考点】C6：解一元一次不等式.

【专题】524：一元一次不等式（组）及应用.

【分析】直接进行移项，系数化为1,即可得出x的取值.

【解答】解：移项得：-X、-2

系数化为1得：xW2.

故选：D.

【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要

改变符号这一点而出错.

解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不

等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不

等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变.

5.（3分）（2019•长春）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载:

今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数鸡价各几何？译文：今有人

合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱.问人数、买鸡的钱数

各是多少？设人数为无，买鸡的钱数为y,可列方程组为（）

f9x+ll=yf9x-ll=y

A.〈B.〈

l6x+16=yl6x-l6=y

Cpx+ll=yDpx-ll=y

I6x-l6=y16x+l6=y

【考点】99：由实际问题抽象出二元一次方程组.

【专题】521：一次方程（组）及应用.

【分析】直接利用每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱，分别得出方程

求出答案.

【解答】解：设人数为无，买鸡的钱数为》可列方程组为:

px-ll=y

I6x+l6=y

故选：D.

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题

关键.

6.（3分）（2019•长春）如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米.若

梯子与地面的夹角为a,则梯子顶端到地面的距离C为（

D.--—米

sinO.cosa

【考点】T9：解直角三角形的应用-坡度坡角问题.

【专题】55E：解直角三角形及其应用.

【分析】直接利用锐角三角函数关系得出sina=EC=约，进而得出答案.

AB3

【解答】解：由题意可得：sina=£=幽，

AB3

故5C=3sina（m）.

故选：A.

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键.

7.（3分）（2019•长春）如图，在△A3C中，NAC3为钝角.用直尺和圆规在边A8上确定

一点。.使则符合要求的作图痕迹是（）

A.B.

【考点】N3：作图一复杂作图.

【专题】13：作图题.

【分析】由NAZ）C=2/B且/AOC=NB+/3C。知NB=N8CD,据此得。8=OC,由

线段的中垂线的性质可得答案.

【解答】解：VZADC=2ZBS.ZADC=ZB+ZBCD,

：./B=ZBCD,

：.DB=DC,

：.点D是线段BC中垂线与AB的交点，

故选：B.

【点评】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握三角形外角的性质、中垂线

的性质及其尺规作图.

8.（3分）（2019•长春）如图，在平面直角坐标系中，Rt^ABC的顶点A、C的坐标分别是

（0,3）、（3、0）.ZACB=90°,AC^IBC,则函数y=四（上>0,x>0）的图象经过

284

【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征.

【专题】534：反比例函数及其应用；55E：解直角三角形及其应用.

【分析】根据A、C的坐标分别是（0,3）、（3、0）可知OA=OC=3,进而可求出AC,

由AC=2BC,又可求BC,通过作垂线构造等腰直角三角形，求出点8的坐标，再求出左

的值.

【解答】解：过点8作无轴，垂足为D

C的坐标分别是（0,3）、（3、0）,

：.OA=OC=3,

=22

在RtZ\A°C中，ACI/OA+OC=372）

又；AC=2BC,

2

XVZACB=90a,

...NO4C=/0CA=45°=/BCD=/CBD,

；.CD=BD=^^x—=—>

222

.,.0£>=3+—=—

22

；.B（旦，1）代入y=K得：k=”,

22X4

故选：D.

【点评】直角三角形的性质、勾股定理，等腰三角形性质和判定以及反比例函数图象上

点的坐标特征是解决问题必备知识，恰当的将线段的长与坐标互相转化，使问题得以解

决.

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）

9.（3分）（2019•长春）计算：3漏-'芯=2亚.

【考点】78：二次根式的加减法.

【分析】直接合并同类二次根式即可求解.

【解答】解：原式=2泥.

故答案为：2浜.

【点评】本题考查了二次根式的加减运算，解答本题的关键是掌握同类二次根式的合并.

10.（3分）（2019•长春）分解因式：ab+2b=（a+2）.

【考点】53：因式分解-提公因式法.

【专题】512：整式.

【分析】直接提取公因式6,进而分解因式即可.

【解答】解：ab+2b=b（a+2）.

故答案为:b32）.

【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键.

11.（3分）（2019•长春）一元二次方程，-3x+l=0的根的判别式的值是

【考点】AA：根的判别式.

【分析】根据根的判别式等于反-4℃,代入求值即可.

【解答】解：b=-3,c=l,

-4ac=（-3）2-4X1X1=5,

故答案为：5.

【点评】本题考查了根的判别式，熟记根的判别式的公式△=力-4*.

12.（3分）（2019•长春）如图，直线MN〃PQ,点A、B分别在MN、PQ上，ZMAB=33°.过

线段AB上的点C作COLAB交PQ于点D,贝UNCDB的大小为57度.

【考点】J3：垂线；JA：平行线的性质.

【专题】551：线段、角、相交线与平行线.

【分析】直接利用平行线的性质得出NA8。的度数，再结合三角形内角和定理得出答案.

【解答】解：：直线

/.ZMAB=ZABD=3V,

'JCDLAB,

：.ZBCD=90°,

AZCOB=90°-33°=57°.

故答案为：57.

【点评】此题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，正确掌握平行线的性质

是解题关键.

13.（3分）（2019•长春）如图，有一张矩形纸片ABC。，AB=8,AD=6.先将矩形纸片ABC。

折叠，使边4D落在边AB上，点。落在点E处，折痕为AF；再将沿EF翻折，

AF与BC相交于点G,则△GCT的周长为4+2遮.

BE(D)BE(D)B

【考点】LB：矩形的性质；PB：翻折变换（折叠问题）.

【专题】558：平移、旋转与对称.

【分析】根据折叠的性质得到/D4尸=/54尸=45°,根据矩形的性质得到FC=ED=2,

根据勾股定理求出GF,根据周长公式计算即可.

【解答】解：由折叠的性质可知，ZDAF=ZBAF=45°,

.,.AE—AD=6,

；.EB=AB-AE=2,

由题意得，四边形Ebes为矩形，

：.FC=ED=2,

9：AB//FC,

：.ZGFC=ZA=45°,

・•・GC=FC=2,

由勾股定理得，GF=dFc2+GC2=2^/2，

则△GCF的周长=GC+FC+GF=4+2&,

故答案为：4+2加.

【点评】本题考查的是翻折变换的性质、矩形的性质一种对称变换，它属于轴对称，折

叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.

14.（3分）（2019•长春）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=o?-2"&（a>0）与y

3,

轴交于点A,过点A作x轴的平行线交抛物线于点M.P为抛物线的顶点.若直线OP

交直线AM于点8,且M为线段AB的中点，则a的值为2.

【考点】FF：两条直线相交或平行问题；H3：二次函数的性质；H5：二次函数图象上点

的坐标特征.

【专题】533：一次函数及其应用；535：二次函数图象及其性质；66：运算能力.

【分析】先根据抛物线解析式求出点A坐标和其对称轴，再根据对称性求出点M坐标，

利用点M为线段AB中点，得出点B坐标；用含a的式子表示出点P坐标，写出直线OP

的解析式，再将点B坐标代入即可求解出a的值.

【解答】解：；抛物线y=a/-2办+号（a>0）与y轴交于点4,

AA（0,旦），抛物线的对称轴为x=l

3

顶点尸坐标为（1,点M坐标为（2,反）

33

:点M为线段A3的中点，

...点8坐标为（4,—）

3

设直线OP解析式为>=依"为常数，且左#0）

将点尸（1,旦）代入得&_a=左

33

.，.y=（--）x

3㊀a

将点B（4,且）代入得旦=（旦一㊀）X4

333

解得a=2

故答案为：2.

【点评】本题综合考查了如何求抛物线与y轴的交点坐标，如何求抛物线的对称轴，以

及利用对称性求抛物线上点的坐标，同时还考查了正比例函数解析式的求法，难度中等.

三、解答题（共10小题，满分78分）

15.（6分）（2019•长春）先化简，再求值：（2«+1）2-4a（a-1）,其中a=L.

8

【考点】4J：整式的混合运算一化简求值.

【专题】512：整式.

【分析】直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式分别化简得出答案.

【解答】解：原式=4J+4a+1-4a?+4a

8。+1,

当°=工时，原式=8a+l=2.

8

【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键.

16.（6分）（2019•长春）一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字,

分别是“家”、“家”“乐”，除汉字外其余均相同.小新同学从口袋中随机摸出一个小球,

记下汉字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字，用画树状图（或列表

的）方法，求小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率.

【考点】X6：列表法与树状图法.

【专题】543：概率及其应用.

【分析】画出树状图，共有9个等可能的结果，小新同学两次摸出小球上的汉字相同的

结果有5个，由概率公式即可得出结果.

【解答】解：画树状图如图：

共有9个等可能的结果，小新同学两次摸出小球上的汉字相同的结果有5个,

小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率为

9

乐

家家乐家家乐家家乐

【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所

有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解

题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总

情况数之比.

17.（6分）（2019•长春）为建国70周年献礼，某灯具厂计划加工9000套彩灯，为尽快完

成任务，实际每天加工彩灯的数量是原计划的1.2倍，结果提前5天完成任务.求该灯具

厂原计划每天加工这种彩灯的数量.

【考点】B7：分式方程的应用.

【专题】522：分式方程及应用.

【分析】该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为x套，由题意列出方程：辿■-

X

生竺=5,解方程即可.

1.2x

【解答】解：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为无套，则实际每天加工彩灯的

数量为1.2x套，

由题意得，啖黑=5

解得：尤=300,

经检验，x=300是原方程的解，且符合题意；

答：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为300套.

【点评】本题考查了分式方程的应用以及分式方程的解法；熟练掌握分式方程的解法，

根据题意列出方程是解题的关键.

18.（7分）（2019•长春）如图，四边形ABCD是正方形，以边为直径作点E在

8c边上，连结AE交。。于点尸，连结BE并延长交CZ）于点G.

（1）求证：AABE沿4BCG；

（2）若/AEB=55°,。4=3,求际的长.（结果保留口）

BEC

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质；M5：圆周角定理；MN：

弧长的计算.

【专题】553：图形的全等；55C：与圆有关的计算.

【分析】（1）根据四边形488是正方形，AB为O。的直径，得到

AFB=90°,根据余角的性质得到根据全等三角形的判定定理即可得到

结论；

（2）连接OF,根据三角形的内角和得到/BAE=90°-55°=35°,根据圆周角定理

得至IJ/B。尸=2/BAE=70°，根据弧长公式即可得到结论.

【解答】（1）证明：•••四边形ABC。是正方形，为。。的直径，

NABE=/BCG=ZAFB^90°,

：.ZBAF+ZABF=90°,ZABF+ZEBF=90°,

NEBF=ZBAF,

'NEBF=/BAF

在△ABE与4806中，，AB=BC

,ZABE=ZBCG

:.AABE%ABCG(ASA)；

（2）解：连接OR

VZABE=ZAFB=90°，ZAEB=55

：.ZBAE^90°-55°=35

:./BOF=2NBAE=70°，

：O4=3,

’.前的长=7°'兀X3=卫£

BEC

【点评】本题考查了弧长的计算，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，圆周角定

理，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键.

19.（7分）（2019•长春）网上学习越来越受到学生的喜爱.某校信息小组为了解七年级学

生网上学习的情况，从该校七年级随机抽取20名学生，进行了每周网上学习的调查.数

据如下（单位：时）：

32.50.61.51223.32.51.8

2.52.23.541.52.53.12.83.32.4

整理上面的数据，得到表格如下：

网上学习时间X（时）0<xWl1VXW22VxW33<xW4

人数2585

样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示:

统计量平均数中位数众数

数值2.4mn

根据以上信息，解答下列问题：

（1）上表中的中位数m的值为2.5，众数n的值为2.5

（2）用样本中的平均数估计该校七年级学生平均每人一学期（按18周计算）网上学习

的时间.

（3）已知该校七年级学生有200名，估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数.

【考点】V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表；W2：加权平均数；W4：中位

数；W5：众数.

【专题】542：统计的应用.

【分析】（1）把20个数据从小到大排列，即可求出中位数；出现次数最多的数据即为众

数；

（2）由平均数乘以18即可；

（3）用总人数乘以每周网上学习时间超过2小时的学生人数所占的比例即可.

【解答】解：（1）从小到大排列为:0.6,1,1.5,1.5,1.8,2,2,2.2,2.4,2.5,2.5,

2.5,2.5,2.8,3,3.1,3.3,3.3,3.5,4,

...中位数加的值为2时工殳=2.5,众数〃为2.5；

2

故答案为：2.5,2.5；

（2）2.4X18=43.2（小时），

答：估计该校七年级学生平均每人一学期（按18周计算）网上学习的时间为43.2小时.

（3）200x11=130（人），

20

答：该校七年级学生有200名，估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数为130人.

【点评】此题主要考查数据的统计和分析的知识.准确把握三数（平均数、中位数、众

数）和理解样本和总体的关系是关键.

20.（7分）（2019•长春）图①、图②、图③均是6X6的正方形网格，每个小正方形的顶

点称为格点，小正方形的边长为1,点A、B、C、D、E、尸均在格点上.在图①、图②、

图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上,

不要求写出画法.

（1）在图①中以线段A8为边画一个使其面积为6.

（2）在图②中以线段CZ）为边画一个△CLW,使其面积为6.

（3）在图③中以线段为边画一个四边形EFGH,使其面积为9,且NEFG=90°.

r-—i

=Q.J酸;

图①图②图③

【考点】K3：三角形的面积；N4：作图一应用与设计作图.

【专题】13：作图题.

【分析】（1）直接利用三角形的面积的计算方法得出符合题意的图形;

（2）直接利用三角形面积求法得出答案；

（3）根据矩形函数三角形的面积的求法进而得出答案.

【解答】解：（1）如图①所示，即为所求；

（2）如图②所示，△CLW即为所求；

（3）如图③所示，四边形EPG//即为所求；

图①图②图③

【点评】此题主要考查了作图-应用与设计，以及三角形面积求法，正确掌握三角形面

积求法是解题关键.

21.（8分）（2019•长春）已知4、8两地之间有一条270千米的公路，甲、乙两车同时出发,

甲车以60千米/时的速度沿此公路从A地匀速开往B地，乙车从B地沿此公路匀速开往

A地，两车分别到达目的地后停止.甲、乙两车相距的路程y（千米）与甲车的行驶时间

x（时）之间的函数关系如图所示.

（1）乙车的速度为75千米/时,a=3.6，b=4.5.

（2）求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式.

（3）当甲车到达距B地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程.

【考点】FH：一次函数的应用.

【专题】533：一次函数及其应用.

【分析】（1）根据图象可知两车2小时后相遇，根据路程和为270千米即可求出乙车的

速度；然后根据“路程、速度、时间”的关系确定a、b的值；

（2）运用待定系数法解得即可；

（3）求出甲车到达距B地70千米处时行驶的时间，代入（2）的结论解答即可.

【解答】解：（1）乙车的速度为：（270-60X2）+2=75千米/时，

。=270+75=3.6,6=270+60=4.5.

故答案为：75；3.6；4.5；

(2)60X3.6=216(千米),

当2<xW3.6时，设y=刖x+bi，根据题意得:

2k1+bi=0k百135

解得

3.6k1+b1=216bi=-270

/.y=135x-270(2〈xW3.6)；

当3.6<xW4.6时，设y=60x,

r135x-270(2<x<3.6)

60x(3.6<x<4.5)

（3）甲车到达距8地70千米处时行驶的时间为：（270-70）+60=2。（小时）,

6

此时甲、乙两车之间的路程为：135X型-270=180（千米）.

6

答：当甲车到达距2地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程为180千米.

【点评】此题主要考查了一次函数的应用问题，解答此题的关键是要明确：分段函数是

在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理,

又要符合实际.此题还考查了行程问题，要熟练掌握速度、时间和路程的关系：速度X

时间=路程.

22.（9分）（2019•长春）教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容.

例2如图，在△ABC中，D,£分别是边8C,的中点，AD,CE相交于点G,求证:

GE=GD=1

CEAD?

证明：连结ED

请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程.

结论应用：在口&8。中，对角线AC、80交于点O,E为边BC的中点，AE、BD交于

点、F.

（1）如图②，若nABCZ）为正方形，且AB=6,则。尸的长为—返

（2）如图③，连结。E交AC于点G,若四边形。FEG的面积为方，则nABCZ）的面积

为6.

图①图②图③

【考点】K5：三角形的重心；KX：三角形中位线定理；L5：平行四边形的性质；LE：

正方形的性质；S9：相似三角形的判定与性质.

【专题】552：三角形；555：多边形与平行四边形；556：矩形菱形正方形；55D：图

形的相似.

【分析】教材呈现：如图①，连结ED根据三角形中位线定理可得DE〃AC,DE=LAC,

2

那么△QEGs^ACG,由相似三角形对应边成比例以及比例的性质即可证明丝=毁=

CEAD

1

一;

3

结论应用：⑴如图②.先证明ABE尸SZVXR得出3P=&。尸，那么取'=基。，又

23

BO=^BD,可得OF=OB-BF=LB。,由正方形的性质求出8。=6加,即可求出。F

26

=V2；

（2）如图③，连接0E.由（1）易证更=2.根据同高的两个三角形面积之比等于底

OF

边之比得出△BEP与△。所的面积比=典=2,同理，ZXCEG与△OEG的面积比=2,

OF

那么ACEG的面积+ZXBEF的面积=2（/XOEG的面积+4。£尸的面积）=2Xi=1,所

2

以△BOC的面积=上，进而求出口48。。的面积=4xW=6.

22

【解答】教材呈现：

证明：如图①，连结£».

:在△ABC中，D,E1分别是边BC,AB的中点，

J.DE//AC,DE^—AC,

2

MDEGsAACG,

・CG=AG=AC='

••蕊一而一应一'

•CG+GE_AG+GD_&

••----------------J,

GEGD

.GE=GD=^_

,*CEADT

结论应用：

（1）解：如图②.

:四边形ABC。为正方形，E为边8C的中点，对角线AC、8。交于点O,

J.AD//BC,BE=i-BC=^.AD,BO=LBD,

222

:ABEFsADAF,

.巫=型=!

"DFAD2，

:.BF=LDF,

2

3

•：BO=—BD,

2

：.OF=OB-BF=^BD-LBD=^-BD,

236

;正方形ABC。中，AB=6,

：.BD=6yfi，

：.0F=近.

故答案为加;

(2)解：如图③，连接0E.

由(1)知，BF^—BD,OF^—BD,

36

.BF=2

"OF,

ABEF与△OEF的高相同，

.'.△BE尸与△(?£/的面积比=壁＞=2,

OF

同理，/xCEG与△(?£＜；的面积比=2,

.♦.△CEG的面积+48£万的面积=2(△OEG的面积+2\。跖的面积)=2X1=1,

2

...△2。。的面积=色，

2

C.^ABCD的面积=4X上=6.

2

故答案为6.

图①图②图③

【点评】本题考查了三角形中位线定理，三角形的重心，平行四边形、正方形的性质，

三角形的面积，相似三角形的判定与性质，综合性较强，难度适中.熟练掌握各定理是

解题的关键.

23.（10分）（2019•长春）如图，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=20,BC=15.点尸从

点A出发，沿AC向终点C运动，同时点。从点C出发，沿射线CB运动，它们的速度

均为每秒5个单位长度，点P到达终点时，P、。同时停止运动.当点P不与点A、C重

合时，过点尸作PN_L4B于点N,连结尸。，以PN、PQ为邻边作口尸。四.设口PQMN

与△ABC重叠部分图形的面积为S,点P的运动时间为f秒.

（1）①4（的长为25；

@PN的长用含t的代数式表示为3r.

（2）当口尸QWN为矩形时，求/的值；

（3）当nPQWN与△ABC重叠部分图形为四边形时，求S与，之间的函数关系式；

（4）当过点尸且平行于2C的直线经过口尸0W一边中点时，直接写出f的值.

【考点】LO：四边形综合题.

【专题】152：几何综合题；25：动点型；31：数形结合；64：几何直观.

【分析】（1）根据勾股定理即可直接计算的长，根据三角函数即可计算出PN.

（2）当为矩形时，由PALLAB可知尸。〃A3,根据平行线分线段成比例定理可

得史0,即可计算出r的值.

CABC

（3）当oPQMN与AABC重叠部分图形为四边形时，有两种情况，I.口PQMN在三角

形内部时，II.nPQMN有部分在外边时.由三角函数可计算各图形中的高从而计算面积.

（4）当过点P且平行于BC的直线经过口尸。阿一边中点时，有两种情况，I.过

的中点，II.过QM的中点.分别根据解三角形求相关线段长利用平行线等分线段性质

和可列方程计算f值.

【解答】解：（1）在RtaABC中，NC=90°,AC=20,BC=15.

AB=\IAC2+BC2=V202+152=25-

■3

'sin/CABJ，

5

由题可知AP=5/,

PN=AP-sinZCAB=5tq=3t.

故答案为：①25；②3f.

(2)当nPQWN为矩形时，NNPQ=90°,

■:PNLAB,

C.PQ//AB,

.CPCQ

"CA^BC，

由题意可知AP=CQ=5t,CP=20-5t,

•・•-2-0--5-t=—5t,

2015

解得.

7

即当nPQMN为矩形时片段.

(3)当DPQVWAABC重叠部分图形为四边形时，有两种情况，

I.如解图(3)1所示.nPQWN在三角形内部时.延长QM交于G点，

由(1)题可知：cosA=sinfi=—,cosB=—,AP=5t,BQ=15-5t,PN=QM=3t.

55

AN=AP9COSA=4t,BG=BQ・cosB=9-3t,QG=BQ9sinB=12-4r,

V.口尸。加在三角形内部时.有OVQMWQG,

・・・OV3忘12-书，

飞7

:.NG=25-4t-(9-3f)=16-t.

当0<，《早时，口「。跖7与△ABC重叠部分图形为nPQWN,S与f之间的函数关系式

为S=PN'NG=3f(.16-力=-3』+48t.

II.如解图(3)2所示.当0<QG<QM,nPQWN与△ABC重叠部分图形为梯形PQMG

时，

即：0<12-书<3r,解得：干<t<3，

□PQMN与△ABC重叠部分图形为梯形PQMG的面积S=/NGTN+QG)=

11n

—(16-t)(3t+12-4t)—~t-14t+96-

,2

综上所述：当0＜《早时，S=-3『+48r.当与＜t＜3，5=yt-i4t+96-

（4）当过点尸且平行于BC的直线经过口尸。跖7一边中点时，有两种情况，

I.如解题图（4）1,PR//BC,PR与AB交于K点,R为MN中点，过R点作

ZPKN=NHKR=ZB,

NK=PN。cot/PKN=3t,

44

,:NR=MR,HR//PN//QM,

：.GM=QM-QG=3t-（12-4?）=7r-12.HR=%M4（712）•

；.KH=HR・cotNHKR、GtT2）X|=|（7t-12）-

■:NK+KH=NH,

4oZ

解得：f=坨，

43

II.如解题图（4）2,PR//BC,PR与AB交于K点、,R为中点，过。点作

PR,

：.ZHPN=ZA=ZQRH,四边形PCQH为矩形，

HQ=QR-sinZQRH=^-.3^1

2510

VPC=20-5t,

.•.20-5/=迎，解得

1059

综上所述：当片坨或292时，点P且平行于BC的直线经过口加阿一边中点，

4359

c

解图（3）1

【点评】此题考查了相似形的综合，用到的知识点是勾股定理、三角形中位线定理及相

似三角形的判定与性质等，关键是根据题意画出图形，分情况进行讨论，避免出现漏解.

-x+nx+n,（x）n）,

24.（12分）（2019•长春）已知函数y=<12nn//（〃为常数）

下xfyx+y.（«<n）

⑴当n=5,

①点尸(4,b)在此函数图象上，求6的值；

②求此函数的最大值.

(2)已知线段43的两个端点坐标分别为A(2,2)、B(4,2),当此函数的图象与线段

AB只有一个交点时，直接写出〃的取值范围.

(3)当此函数图象上有4个点到x轴的距离等于4,求〃的取值范围.

【考点】HF：二次函数综合题.

【专题】535：二次函数图象及其性质.

【分析】⑴①将尸(4,b)代入y=-/+_|呜；②当x》5时，当x=5时有最大

值为5；当x<5时，当彳=3时有最大值为9»；故函数的最大值为尊；

288

(2)将点(4,2)代入y=-x'+nx+n中，得到〃=型■,所以基■<〃W4时，图象与线

55

段A3只有一个交点；将点(2,2)代入y=-/+如+“和-」出2+工_.计旦中，得到”

222

—2,n——,

3

所以2W"〈反时图象与线段A3只有一个交点；

3

(3)当尤="时，->4,得到">8；当尤=工■时，—+—^4,得到当x="时，

22822

22

y=-n+n+〃=",n<4.

【解答】解：(1)当〃=5时，

-x2+5x+5(x>5)

n4x2+2x+2(x<5),

①将P(4,b)代入y=-l.x2+.^x+^-,

•••hb————9；

2

②当尤25时，当尤=5时有最大值为5；

当x<5时，当x=5时有最大值为更；

28

函数的最大值为驾；

8

(2)将点(4,2)代入y=-苫2+加+〃中，

・•〃18

T

.•.W<"W4时，图象与线段AB只有一个交点;

5

将点（2,2）代入y=-依+〃中，

••n—■2,

将点（2,2）代入y=-1_，+匚次+工_中,

,222

.•.2W"〈当时图象与线段A3只有一个交点；

3

综上所述：追<〃W4,2W〃<当时，图象与线段AB只有一个交点;

53

（3）当尤="时，y—--n2+—n2+———,

2222

34,„；

2

当尤=21时，＞=1+二,

282

工+2W4,."2笆

822

22

当x—n时，y=-n+n+n=nf

〃=4；

函数图象上有4个点到x轴的距离等于4时，或〃WWL<4.

2

【点评】本题考查二次函数的图象及性质；能够根据给出的分段函数画出函数图象，数

形结合解决问题时关键.

考点卡片

1.数轴

(1)数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴.

数轴的三要素：原点，单位长度，正方向.

(2)数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理

数.(一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数.)

(3)用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大.

2.科学记数法一表示较大的数

(1)科学记数法：把一个大于10的数记成aX10w的形式，其中a是整数数位只有一位的

数，"是正整数，这种记数法叫做科学记数法.【科学记数法形式：aX10n,其中lWa<10,

”为正整数

(2)规律方法总结：

①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数

位数少1;按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数

②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用

此法表示，只是前面多一个负号.

3.整式的混合运算一化简求值

先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值.

有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合

运算顺序相似.

4.因式分解-提公因式法

1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项

式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.

2、具体方法：

(1)当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的

相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的.

(2)如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为

正数.

提出“-”号时，多项式的各项都要变号.

3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶.

4、提公因式法基本步骤：

（1）找出公因式；

（2）提公因式并确定另一个因式：

①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；

②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公

因式,所得的商即是提公因式后剩下的一个因式,也可用公因式分别除去原多项式的每一项，

求的剩下的另一个因式；

③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同.

5.二次根式的加减法

（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的

二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变.

（2）步骤：

①如果有括号，根据去括号法则去掉括号.

②把不是最简二次根式的二次根式进行化简.

③合并被开方数相同的二次根式.

（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：

二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并.合并时，只合并根式外的

因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变.

6.由实际问题抽象出二元一次方程组

（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量

和未知量联系起来，找出题目中的相等关系.

（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示

的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符.

（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：

①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系.②将问题中给出的条件按意思分割

成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系.③借助表格提供

信息的，按横向或纵向去分别找等量关系.④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量

关系.

7.根的判别式

利用一元二次方程根的判别式（△=济-4改）判断方程的根的情况.

一元二次方程依2+灰+°=0QWO）的根与△=力-4ac有如下关系：

①当时，方程有两个不相等的两个实数根；

②当△=（）时，方程有两个相等的两个实数根；

③当△＜（）时，方程无实数根.

上面的结论反过来也成立.

8.分式方程的应用

1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、歹！J、解、验、答.

必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整,

要写出单位等.

2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：工作效率

=工作量工作时间

结结

-vj*-vf*.

列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能

力.

9.解一元一次不等式

根据不等式的性质解一元一次不等式

基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项;

④合并同类项；⑤化系数为L

以上