【教案课件】椭圆及其标准方程

3.1.1椭圆及其标准方程

教材分析

本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节

课主要学习椭圆及其标准方程

从知识上讲，椭圆的标准方程是解析法的进一步运用，同时它也是进一步研究椭圆几何性质的

基础；从方法上讲，它为我们研究双曲线、抛物线这两种圆.锥曲线提供了基本模式和理论基础；从

教材编排上讲，.现行教材中把三种圆锥曲线独编一章，更突出了椭圆的重要地位.因此本节课有承前

启后的作用，是本章和本节的重点内容.是几何的研究实现了代数化。数与形的有机结合，在本章中

得到了充分体现。

3标与根心素养

课程目标学科素养

A.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程.1.数学抽象：曲线与方程的关系

B.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标2.逻辑推理：曲线的方程与方程的曲线的关系

准方程.3.数学运算：根据条件求曲线的方程

C.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运4.数学建模：运用方程研究曲线的性质

用标准方程解决相关问题.

重点难点

重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程

难点：运用标准方程解决相关问题

课前发备

多媒体

敢学过会

教学过程教学设计意图

核心素养目标

、情境导学

椭圆是圆锥曲线的一种具有丰富的几何性质，在科研生产和人

类生活中具有广泛的应用，那么椭圆到底有怎样的几何性质，我们

该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质通过具体的情

奠定基础。景，让学生对椭圆有

一个直观的印象，同

时类比圆的定义，抽

象出椭圆的几何定

义。发展学生数学抽

二、探究新知

象，直观想象的核心

取一条定长的细线，把它的两端都固定在图板的同一点套上

素养。

铅笔拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个

圆。如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点

F,F,套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？

12

在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？

1.椭圆的定义

把平面内与两个定点Fi，F2的距离的和等于的

点的轨迹叫做椭圆，这叫做椭圆的焦点，叫

做椭圆的焦距，焦距的—称为半焦距.

常数（大于%工I）；两个定点；两焦点间的距离；一半

思考：（1）椭圆定义中将“大于|人仍|"改为“等于尸1歹2『的常数，其他条

件不变，点的轨迹是什么？

⑵椭圆定义中将“大于尸1&I”改为“小于旧码”的常数，其他条件不变,

动点的轨迹是什么？

［提示］(1)点的轨迹是线段尸1尸2.

(2)当距离之和小于甲1&I时，动点的轨迹不存在.

观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形

式简单？

一般地，如果椭圆的焦点为&颓，焦距为2c,而且椭圆上的

动点P满足，IPF/+|PF2l=2a其中a>c>0.以F/2所在直线为x

轴，线段的垂直平分线为y轴，

建立平面直角坐标系，如图所示，此时椭圆的焦点分别为

&三C-c,O)W2(c,0)

运用解析法，求

J(久+c)2+y2+—c)2+y2=2a.①

为飞化简方程我们将其左边一个根式移到右边,得得出椭圆的方程，获得

222

+c)+y=2a——c)2+y.@椭圆的标准方程。帮

对方程②两边平方，得

2222222助学生进一步体会

(x+c)+y=4a—4aA/(x—c)+y+(x—c)+y

整理，得a?-cx=aj(x—c)2+y2③

数形结合的思想方

对方程③两边平方，得

a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2法。发展学生数学运

整理得(。2—c2)x2+a2y2_a2(a2—c2)④

算，数学抽象和数学

将方程④两边同除以a2(a2-c2),得

建模的核心素养。

2-,2

2v+三=l⑤

a"az-cz

由椭圆的定义可知2a>2c>0,BPa>c>0,所以小―c?>o.

观察图，你能从中找出表示a,C,"l2-c2的线段吗？

4-

由图可知，\PF\=\PF\=a,\OF\=\PO\=y/a2-c2

r2r\OF2\=C,

令b=P0\=Vet2-C2,那么方程⑤就是

返.9=1（a

；9+i>b>0）⑥

称焦广；在%轴上白勺椭圆方程.

设才陶圆的唐/?为F］和Fz，焦距为2C,而且椭圆上的动点P满足

IPF1I+\PF2\=2a,其中a>c>0.以&&所在直线为y轴，线段的垂直

平分线:为X轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时：

（1）ffi）圆焦点的坐标分别是什么？

话通过提

（2）侏+冬=1（a>b>0）来得到此时椭圆方程的形式？

通过典型例题，

掌握根据椭圆的定

义求出其方程的基

个K本方法，即待定系数

法，提升学生数学建

旺江

获十记=1（a>k>0）,称焦点在y轴上的椭圆方程.

模，数形结合，及方

2.椭圆白勺标准方程

程思想，发展学生逻

焦点在X轴上焦点在y轴上辑推理，直观想象、

标准2222数学抽象和数学运

o1o_L〈QUU)^~2+=1(a>b>0)

方程abr

算的核心素养。

Vk

*H一

图形

<20^/x

焦点

个，。%（c,o）外。，叫（。，0

坐标

a,b,c

222

的关b=a-c

系

1.a=6,c=1的椭圆的标准方程是()

AE+片=1BE+@=1

36353635

C.^+^=l口.过+片=1或片+£=1

36136353635

2.椭圆?+产=1上一点p到一个焦点的距离为2,则点P到另一个焦

点的距离为()

A.5B.6C.7D.8

3.椭圆4^+9/=1的焦点坐标是()

A.(±V5,0)B.(0,±V5)C.(±^,0)D.(士亲0)

解析：(1)易得为D选项.

(2)设椭圆的左、右焦点分别为F,F，若|尸尸|=2,

121

结合椭圆定义IP尸\+\PF|=10,可得|P尸|=8.

212

(3)椭圆的标准方程为4+单=1,

19

・・・层=；/2=?..02=〃262=：一［=白且焦点在X轴上，

494936

焦点坐标为(土，,0).

(3)V椭圆的标准方程为］+［=1,；.a2=Q2三，

49

.\c2=a2-b2=^一g=白且焦点在x轴上，

4936

...焦点坐标为(士F，0)

三、典例解析

例1求满足下列条件的椭圆的标准方程：

(1)两个焦点的坐标分别为死(一4,0),F2(4,0),并且椭圆上一点P与

两焦点的距离的和等于10；

(2)焦点坐标分别为(0,—2),(0,2),经过点(4,3陋)；

(3)经过两点(2,—也)，(一1，书目.

［解］(1)因为椭圆的焦点在无轴上，且c=4,2a=10,所以。=5,

__________72

6=4°2一,2=425—16=3,所以椭圆的标准方程为芯+1=1.

22

(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为方+齐=1(。

法一：由椭圆的定义知2a=^4-02+3r(2+22)+

^/4-02+3r(2-22)=12,

解得〃=6.又。=2,所以。

27

所以椭圆的标准方程为芯+以=1.

法二：因为所求椭圆过点(4,3的，所以写+捐=1.

又，=〃2—匕2=4,可解得次=36,户=32.

所以椭圆的标准方程为专+5=1.

JO32

22

(3)法一：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为，+，=l(a>6>0).

停十微=1，P=8,

由已知条件得j1M解得]〃=4

隙+462-1,

22

所以所求椭圆的标准方程为"+9=1.

O4

27

若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为方+本=1(。>6>0).

通过圆与圆位置

由已知条件得1解得।,'关系的综合问题，提

±,14_,"4.

〔〃十4尸卜升学生数学建模，数

则与。>6>0矛盾，舍去.形结合，及方程思

22想，发展学生逻辑推

综上可知，所求椭圆的标准方程为菽+9=1.

o4

理，直观想象、数学

法二：设椭圆的一般方程为B>o,A加).分别将

抽象和数学运算的

两点的坐标(2,-^2),1—1,唱代入椭圆的一般方程，得

核心素养。

4A+2B=1,k=:，

\,14解得《，

[A+P=L卜4

92

所以所求椭圆的标准方程为菠+3=1.

o4

用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤

(1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在X轴上，还是在y轴上，还

是两个坐标轴都有可能.

7272

(2)设方程：根据上述判断设方程a+5=l(a>b>0)或3+5=l(a>

6>0)或整式形式盯2=1(m>0,n>0,m^n).

(3)找关系：根据已知条件建立关于〃，b,c(或相，a)的方程组.

(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求.

22

跟踪训练1.求与椭圆会+》=1有相同焦点，且过点(3,仃)的

椭圆的标准方程.

22

［解］法一：因为所求椭圆与椭圆*+5=1的焦点相同，所以其焦

点在X轴上，且，=25—9=16.

设所求椭圆的标准方程为提+奈=13>>>0).

因为，=16,且，=〃2—庐，故次―。2=］6①.

02

又点(3,行)在所求椭圆上，所以表+错误!=1,

Q15

即”+京'=1②.由①②得。2=36,廿=20,

y22

所以所求椭圆的标准方程为/+勃v=1.

22

法二：由题意可设所求椭圆的标准方程为放士+册=1.

ZD1Zy\Z

又椭圆过点(3,店)，将无一3,y—小代入方程得,〈Li+oE1-1,

ZD1ZyiZ

72

解得九=11或入=—21(舍去).故所求椭圆的标准方程为石+东=1.

92

例2(1)已知尸是椭圆?+*=1上一动点，。为坐标原点，则线段

4o

。尸中点Q的轨迹方程为______________.

(2)如图所示，圆C：。+1)2+/=25及点A(l,0),。为圆上一点，AQ

的垂直平分线交CQ于点M,求点M的轨迹方程.

［思路探究］(1)点Q为0P的中点今点Q与点P的坐标关系n代入

法求解.

(2)由垂直平分线的性质和椭圆的定义进行求解.

(1)/+］=1

［设。(x,y),尸(xo,加)，由点。是线段。尸的中点

矢口XQ2x,yo=2y,

又乎+¥=1，所以亨+占=1，即/+3=11

⑵［解］由垂直平分线的性质可知|MQ|=|MA|,

：.\CM\+\MA\^\CM\+\MQ\^\CQ\,

：.\CM\+\MA\^5.

.•.点M的轨迹为椭圆,其中2a=5,焦点为C(—1,0),A(l,0),：.a=

C=1,.•.炉=。2­02=学一1=,.

所求点M的轨迹方程为《+5=1,即芸+年=1.

TT

1.与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代

入法，本例(1)所用方法为代入法，例(2)所用方法为定义法.

2.对定义法求轨迹方程的认识

如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利

用这种已知曲线的定义直接写出其方程,这种求轨迹方程的方法称为

定义法.定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，

是一种重要的解题方法.

3.代入法(相关点法)

若所求轨迹上的动点P(x,y)与另一个已知曲线C：F(x,y)=0上

的动点。(xi，")存在着某种联系，可以把点。的坐标用点P的坐标

表示出来，然后代入已知曲线C的方程/尤，y)=0,化简即得所求

轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法).

跟踪训练2.已知x轴上一定点A(l,0),Q为椭圆器+产=1上任一

点，求线段A。中点M的轨迹方程.

［解］设中点M的坐标为(%,y),点。的坐标为(孙，州).

xp+1

%2，fxo=2,x—19

利用中点坐标公式，得

_lo•・50=2乂

尸2，

*.*泗)在椭圆，+产=1上，，普+y3=l.

2x—I2

将W=2x—1,yo=2y代入上式，得一—+(2y)2=l.

2

故所求AQ的中点M的轨迹方程是。一9+4/=1.

三、达标检测

1.椭圆*+y2=i上一点尸到一个焦点的距离为2,则点P到另一个通过练习巩固本

焦点的距离为（）节所学知识，通过

A.5B.6C.7D.8学生解决问题，发

D［根据椭圆的定义知，尸到另一个焦点的距离为展学生的数学运

20-2=2x5-2=81算、逻辑推理、直

2.已知椭圆4/+外2=4的一个焦点坐标是（0』），则实数上的值

观想象、数学建模

是（）

的核心素养。

A.1B.2C.3D.4

2长

B［椭圆方程可化为由题意知j

km=i，

解得k=2.］

y2

3.若方程5+产7=1表示椭圆，则实数m满足的条件是________.

m2m~1

心;且加#11［由方程=+0'=1表示椭圆，得

1/JLm2m~1

m>0,

<2m—1>0,解得加>3且加？L］

\jni=2m