2024年初中升学考试模拟卷山西省中考数学试卷

第1页（共1页）2023年山西省中考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．（3分）（2023•山西）计算（﹣1）×（﹣3）的结果为（）A．3 B．13 C．﹣3 2．（3分）（2023•山西）全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量．图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下是我省四个地市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）（2023•山西）下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6 B．（﹣a3b）2＝﹣a6b2 C．a6÷a3＝a2 D．（a2）3＝a64．（3分）（2023•山西）山西是全国电力外送基地，2022年山西省全年外送电量达到1464亿千瓦时，同比增长18.55%．数据1464亿千瓦时用科学记数法表示为（）A．1.464×108千瓦时 B．1464×108千瓦时 C．1.464×1011千瓦时 D．1.464×1012千瓦时5．（3分）（2023•山西）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC，BD为对角线，BD经过圆心O．若∠BAC＝40°，则∠DBC的度数为（）A．40° B．50° C．60° D．70°6．（3分）（2023•山西）一种弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，不挂物体时弹簧的长为12cm，每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm，在弹性限度内，挂重后弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关系式为（）A．y＝12﹣0.5x B．y＝12+0.5x C．y＝10+0.5x D．y＝0.5x7．（3分）（2023•山西）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1＝155°，∠2＝30°，则∠3的度数为（）A．45° B．50° C．55° D．60°8．（3分）（2023•山西）若点A（﹣3，a），B（﹣1，b），C（2，c）都在反比例函数y=kx(k＜0)的图象上，则a，bA．b＜a＜c B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．c＜a＜b9．（3分）（2023•山西）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A，B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角α为60°．若圆曲线的半径OA＝1.5km，则这段圆曲线AB的长为（）A．π4km B．π2km C．10．（3分）（2023•山西）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为(−23，3)，（0，﹣3），则点A．（33，﹣2） B．（33，2） C．（2，﹣33） D．（﹣2，﹣33）二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．（3分）（2023•山西）计算：(6+312．（3分）（2023•山西）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n个图案中有个白色圆片（用含n的代数式表示）．​​13．（3分）（2023•山西）如图，在▱ABCD中，∠D＝60°．以点B为圆心，以BA的长为半径作弧交边BC于点E，连接AE．分别以点A，E为圆心，以大于12AE的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AE于点O，交边AD于点F，则OFOE的值为14．（3分）（2023•山西）中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是．15．（3分）（2023•山西）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，对角线AC，BD相交于点O．若AB＝AC＝5，BC＝6，∠ADB＝2∠CBD，则AD的长为．三、解答题（本大题共8个小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（10分）（2023•山西）（1）计算：|−8|×(−1（2）计算：x（x+2）+（x+1）2﹣4x．17．（7分）（2023•山西）解方程：1x−118．（9分）（2023•山西）为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按4：4：2的比例计算出每人的总评成绩．小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如表，这20名学生的总评成绩频数分布直方图（每组含最小值，不含最大值）如图．选手测试成绩/分总评成绩/分采访写作摄影小悦83728078小涵8684▲▲（1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是分，众数是分，平均数是分；（2）请你计算小涵的总评成绩；（3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由．19．（9分）（2023•山西）风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等．（1）求1个A部件和1个B部件的质量各是多少；（2）该卡车要运输这种成套设备通过此大桥，一次最多可运输多少套这种设备．20．（8分）（2023•山西）2023年3月，水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单（2022﹣2025年）》，我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流入选，在推进实施母亲河复苏行动中，需要砌筑各种驳岸（也叫护坡）．某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算BC和AB的长度（结果精确到0.1m，参考数据：3≈1.73，2课题母亲河驳岸的调研与计算调查方式资料查阅、水利部门走访、实地查看了解调查内容功能驳岸是用来保护河岸，阻止河岸崩塌成冲刷的构筑物材料所需材料为石料、混凝土等驳岸时剖面图相关数据及说明：图中，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，AE和CD均与地面平行，岸墙AB⊥AE于点A，∠BCD＝135°，∠EDC＝60°，ED＝6m，AE＝1.5m，CD＝3.5m．计算结果…交通展示…21．（7分）（2023•山西）阅读与思考下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．瓦里尼翁平行四边形我们知道，如图1，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接E，F，G，H，得到的四边形EFGH是平行四边形．我查阅了许多资料，得知这个平行四边形EFGH被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁（Varingnon，Pierte1654﹣1722）是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形．②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系．③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下：证明：如图2，连接AC，分别交EH，FG于点P，Q，过点D作DM⊥AC于点M，交HG于点N．∵H，G分别为AD，CD的中点，∴HG∥AC，HG=12∴DNNM=DGGC．∵DG＝GC，∴DN＝∵四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形，∴HE∥GF，即HP∥GQ．∵HG∥AC，即HG∥PQ，∴四边形HPQG是平行四边形，（依据2）∴S▱HPQG＝HG•MN=1∵S△ADC=12AC•DM＝HG•DM，∴S▱HPQG=12任务：（1）填空：材料中的依据1是指：．依据2是指：．（2）请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形ABCD及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH、使得四边形EFGH为矩形；（要求同时画出四边形ABCD的对角线）（3）在图1中，分别连接AC，BD得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长与对角线AC，BD长度的关系，并证明你的结论．22．（12分）（2023•山西）综合与实践问题情境：“综与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为△ABC和△DFE，其中∠ACB＝∠DEF＝90°，∠A＝∠D，将△ABC和△DFE按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为点B）．当∠ABE＝∠A时，延长DE交AC于点G，试判断四边形BCGE的形状，并说明理由．数学思考：（1）请你解答老师提出的问题；深入探究：（2）老师将图2中的△DBE绕点B逆时针方向旋转，使点E落在△ABC内部，并让同学们提出新的问题．①“善思小组”提出问题：如图3，当∠ABE＝∠BAC时，过点A作AM⊥BE交BE的延长线于点M，BM与AC交于点N．试猜想线段AM和BE的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；②“智慧小组”提出问题：如图4，当∠CBE＝∠BAC时，过点A作AH⊥DE于点H，若BC＝9，AC＝12，求AH的长．请你思考此问题，直接写出结果．23．（13分）（2023•山西）综合与探究如图，二次函数y＝﹣x2+4x的图象与x轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点B（1，3），与y轴交于点C．（1）求直线AB的函数表达式及点C的坐标；（2）点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点P作直线PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m．①当PD=12OC②当点P在直线AB上方时，连接OP，过点B作BQ⊥x轴于点Q，BQ与OP交于点F，连接DF．设四边形FQED的面积为S，求S关于m的函数表达式，并求出S的最大值．

2023年山西省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．（3分）（2023•山西）计算（﹣1）×（﹣3）的结果为（）A．3 B．13 C．﹣3 【分析】根据有理数乘法的计算得出结论即可．【解答】解：（﹣1）×（﹣3）＝1×3＝3，故选：A．【点评】本题主要考查有理数乘法的计算，熟练掌握有理数乘法的计算方法是解题的关键．2．（3分）（2023•山西）全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量．图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下是我省四个地市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A、B，D选项中的图书馆标志都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；C选项中的图书馆标志能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：C．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3．（3分）（2023•山西）下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6 B．（﹣a3b）2＝﹣a6b2 C．a6÷a3＝a2 D．（a2）3＝a6【分析】选项A根据同底数幂的乘法法则判断即可；选项B根据积的乘方运算法则判断即可；选项C根据同底数幂的除法法则判断即可；选项D根据幂的乘方运算法则判断即可．【解答】解：A．a2•a3＝a5，故选项不符合题意；B．（﹣a3b）2＝a6b2，故选项不符合题意；C．a6÷a3＝a3，故选项不符合题意；D．（a2）3＝a6，故选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键．4．（3分）（2023•山西）山西是全国电力外送基地，2022年山西省全年外送电量达到1464亿千瓦时，同比增长18.55%．数据1464亿千瓦时用科学记数法表示为（）A．1.464×108千瓦时 B．1464×108千瓦时 C．1.464×1011千瓦时 D．1.464×1012千瓦时【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：1464亿千瓦时＝146400000000千瓦时＝1.464×1011千瓦时，故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．（3分）（2023•山西）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC，BD为对角线，BD经过圆心O．若∠BAC＝40°，则∠DBC的度数为（）A．40° B．50° C．60° D．70°【分析】由圆周角定理可得∠BCD＝90°，∠BDC＝∠BAC＝40°，再利用直角三角形的性质可求解．【解答】解：∵BD经过圆心O，∴∠BCD＝90°，∵∠BDC＝∠BAC＝40°，∴∠DBC＝90°﹣∠BDC＝50°，故选：B．【点评】本题主要考查圆周角定理，直角三角形的性质，掌握圆周角定理是解题的关键．6．（3分）（2023•山西）一种弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，不挂物体时弹簧的长为12cm，每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm，在弹性限度内，挂重后弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关系式为（）A．y＝12﹣0.5x B．y＝12+0.5x C．y＝10+0.5x D．y＝0.5x【分析】根据不挂物体时弹簧的长为12cm，每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm，可得在弹性限度内，y与x的函数关系式．【解答】解：根据题意，得y＝12+0.5x（0≤x≤10），故选：B．【点评】本题考查了一次函数的应用，理解题意并根据题意建立函数关系式是解题的关键．7．（3分）（2023•山西）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1＝155°，∠2＝30°，则∠3的度数为（）A．45° B．50° C．55° D．60°【分析】由平行线的性质求出∠OFB＝25°，由对顶角的性质得到∠POF＝∠2＝30°，由三角形外角的性质即可求出∠3的度数．【解答】解：∵AB∥OF，∴∠1+∠OFB＝180°，∵∠1＝155°，∴∠OFB＝25°，∵∠POF＝∠2＝30°，∴∠3＝∠POF+∠OFB＝30°+25°＝55°．故选：C．【点评】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，关键是由平行线的性质求出∠OFB的度数，由对顶角的性质得到∠POF的度数，由三角形外角的性质即可解决问题．8．（3分）（2023•山西）若点A（﹣3，a），B（﹣1，b），C（2，c）都在反比例函数y=kx(k＜0)的图象上，则a，bA．b＜a＜c B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．c＜a＜b【分析】反比例函数y=kx（k≠0，k为常数）中，当k＜0时，双曲线在第二，四象限，在每个象限内，y随【解答】解：∵k＜0，点A，B同象限，y随x的增大而增大，∵﹣3＜﹣1，∴0＜a＜b，又∵C（2，c）都在反比例函数y=k∴c＜0，∴c＜a＜b．故选：D．【点评】本题考查了由反比例函数图象的性质判断函数图象上点的坐标特征，同学们应重点掌握．9．（3分）（2023•山西）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A，B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角α为60°．若圆曲线的半径OA＝1.5km，则这段圆曲线AB的长为（）A．π4km B．π2km C．【分析】由圆的切线可得∠OAC＝∠OBC＝90°，进而可证明A、O、B、C四点共圆，利用圆内接四边形的性质可求得∠AOB＝60°，再根据弧长公式计算可求解．【解答】解：∵过点A，B的两条切线相交于点C，∴∠OAC＝∠OBC＝90°，∴A、O、B、C四点共圆，∴∠AOB＝α＝60°，∴圆曲线AB的长为：60π⋅1.5180=1故选：B．【点评】本题主要考查圆的切线的性质，点与圆的位置关系，圆内接四边形的性质，弧长的计算，证明A、O、B、C四点共圆求解∠AOB的度数是解题的关键．10．（3分）（2023•山西）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为(−23，3)，（0，﹣3），则点A．（33，﹣2） B．（33，2） C．（2，﹣33） D．（﹣2，﹣33）【分析】设中间正六边形的中心为D，连接DB．判断出OC，CM的长，可得结论．【解答】解：设中间正六边形的中心为D，连接DB．∵点P，Q的坐标分别为(−23∴AB＝BC＝23，OQ＝3，∴OA＝OB=3∴OC＝33，∵DQ＝DB＝2OD，∴OD＝1，QD＝DB＝CM＝2，∴M（33，﹣2），故选：A．【点评】本题考查正多边形与圆，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．（3分）（2023•山西）计算：(6+3【分析】直接利用平方差公式计算得出答案．【解答】解：原式＝（6）2﹣（3）2＝6﹣3＝3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确运用平方差公式是解题关键．12．（3分）（2023•山西）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n个图案中有（2+2n）个白色圆片（用含n的代数式表示）．​​【分析】每增加一个图案增加2个白色圆片，据此解答．【解答】解：第1个图形中有2+2×1＝4个白色圆片；第2个图形中有2+2×2＝6个白色圆片；第3个图形中有2+2×3＝8个白色圆片；•••••第n个图形中有（2+2n）个白色圆片；故答案为：（2+2n）．【点评】本题考查了图形的变化类问题，找到图形变化的规律是解答本题的关键．13．（3分）（2023•山西）如图，在▱ABCD中，∠D＝60°．以点B为圆心，以BA的长为半径作弧交边BC于点E，连接AE．分别以点A，E为圆心，以大于12AE的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AE于点O，交边AD于点F，则OFOE的值为3【分析】证明△ABE是等边三角形，推出BO⊥AE，AE＝OE，可得结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠D＝∠ABC＝60°，∴∠BAD＝180°﹣60°＝120°，∵BA＝BE，∴△ABE是等边三角形，∴∠BAE＝60°，∵BF平分∠ABE，∴AO＝OE，BO⊥AE，∵∠OAF＝∠BAD﹣∠BAE＝120°﹣60°＝60°，∴tan∠OAF=OF∴OFOE故答案为：3．【点评】本题考查作图﹣基本作图，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．14．（3分）（2023•山西）中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是16【分析】画树状图，共有12种等可能的情况，其中抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的结果有2种，再由概率公式求解即可．【解答】解：把《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别记为A、B、C、D，画树状图如下：共有12种等可能的情况，其中抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的结果有2种，即AC、CA，∴抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是212故答案为：16【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．15．（3分）（2023•山西）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，对角线AC，BD相交于点O．若AB＝AC＝5，BC＝6，∠ADB＝2∠CBD，则AD的长为973【分析】过A作AH⊥BC于H，延长AD，BC于E，根据等腰三角形的性质得出BH＝HC=12BC＝3，根据勾股定理求出AH=AC2−CH2=4，证明∠CBD＝∠CED，得到DB＝DE，根据等腰三角形的性质得出CE＝BC＝6，证明CD∥AH，得到CDAH=CEHE，求出CD【解答】解：过A作AH⊥BC于H，延长AD，BC于E，如图所示：则∠AHC＝∠AHB＝90°，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BH＝HC=12∴AH=A∵∠ADB＝∠CBD+∠CEH，∠ADB＝2∠CBD，∴∠CBD＝∠CED，∴DB＝DE，∵∠BCD＝90°，∴DC⊥BE，∴CE＝BC＝6，∴EH＝CE+CH＝9，∵DC⊥BE，AH⊥BC，∴CD∥AH，∴△ECD∽△EHA，∴CDAH即CD4∴CD=8∴DE=C∵CD∥AH，∴DEAD即297解得AD=97故答案为：973【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．三、解答题（本大题共8个小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（10分）（2023•山西）（1）计算：|−8|×(−1（2）计算：x（x+2）+（x+1）2﹣4x．【分析】（1）根据绝对值，指数幂及单项式乘多项式的计算得出结论即可；（2）根据指数幂及单项式乘多项式的计算得出结论即可．【解答】解：（1）|−8|×(−＝8×14＝2﹣1＝1；（2）x（x+2）+（x+1）2﹣4x＝x2+2x+x2+2x+1﹣4x＝2x2+1．【点评】本题主要考查绝对值，指数幂及单项式乘多项式的计算，熟练掌握绝对值，指数幂及单项式乘多项式的计算方法是解题的关键．17．（7分）（2023•山西）解方程：1x−1【分析】由题意，根据分式方程的解题步骤先找出最简公分母，化为整式方程，解方程后检验即可得结果．【解答】解：由题意得最简公分母为2（x﹣1），∴原方程可化为：2+2x﹣2＝3．∴x=3检验：把x=32代入2（∴原方程的解为x=3【点评】本题主要考查了分式方程的解法，解题时要能找准最简公分母进行变形化为整式方程是关键，同时注意检验．18．（9分）（2023•山西）为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按4：4：2的比例计算出每人的总评成绩．小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如表，这20名学生的总评成绩频数分布直方图（每组含最小值，不含最大值）如图．选手测试成绩/分总评成绩/分采访写作摄影小悦83728078小涵8684▲▲（1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是69分，众数是69分，平均数是70分；（2）请你计算小涵的总评成绩；（3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由．【分析】（1）分别根据中位数、众数和平均数的定义即可求出答案；（2）根据加权平均数公式计算即可；（3）根据20名学生的总评成绩频数分布直方图即可得出答案．【解答】解：（1）七位评委给小涵打出的分数从小到大排列为：67，68，69，69，71，72，74，所以这组数据的中位数是69（分），众数是69（分），平均数是67+68+69+69+71+72+747故答案为：69，69，70；（2）86×4+84×4+70×24+4+2答：小涵的总评成绩为82分；（3）不能判断小悦能否入选，但是小涵能入选，理由：由20名学生的总评成绩频数分布直方图可知，小于80分的有10人，因为小悦78分、小涵82分，所以不能判断小悦能否入选，但是小涵能入选．【点评】本题考查了频数（率）分布直方图，加权平均数，中位数和众数，解题的关键在于熟练掌握加权平均数，中位数和众数的计算方法．19．（9分）（2023•山西）风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等．（1）求1个A部件和1个B部件的质量各是多少；（2）该卡车要运输这种成套设备通过此大桥，一次最多可运输多少套这种设备．【分析】设1个A部件的质量为x吨，1个B部件的质量为y吨，根据1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等．列出二元一次方程组，解方程组即可．【解答】解：（1）设1个A部件的质量为x吨，1个B部件的质量为y吨，由题意得：x+2y=2.82x=3y解得：x=1.2y=0.8答：1个A部件的质量为1.2吨，1个B部件的质量为0.8吨．（2）解：设该卡车一次可运输m套这种设备通过此大桥．根据题意得：（1.2+0.8×3）•m+8≤30，解得：m≤55∵m为整数，∴m取最大值，∴m＝6．答：该卡车一次最多可运输6套这种设备通过此大桥．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．20．（8分）（2023•山西）2023年3月，水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单（2022﹣2025年）》，我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流入选，在推进实施母亲河复苏行动中，需要砌筑各种驳岸（也叫护坡）．某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算BC和AB的长度（结果精确到0.1m，参考数据：3≈1.73，2课题母亲河驳岸的调研与计算调查方式资料查阅、水利部门走访、实地查看了解调查内容功能驳岸是用来保护河岸，阻止河岸崩塌成冲刷的构筑物材料所需材料为石料、混凝土等驳岸时剖面图相关数据及说明：图中，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，AE和CD均与地面平行，岸墙AB⊥AE于点A，∠BCD＝135°，∠EDC＝60°，ED＝6m，AE＝1.5m，CD＝3.5m．计算结果…交通展示…【分析】过E作EF⊥CD于F，延长AB，CD交于H，得到∠EFD＝90°，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：过E作EF⊥CD于F，延长AB，CD交于H，∴∠EFD＝90°，由题意得，在Rt△EFD中，∠EDF=60°，ED=6，sin∠EDF=EFED，cos∴EF=ED⋅sin∠EDF=6×sin60°=6×32=3∴FD＝ED•cos∠EDF＝6×cos60°＝6×12=由题意得，∠H＝90°，四边形AEFH是矩形，∴AH=EF=33，HF＝AE＝1.5m∵CF＝CD﹣FD＝3.5﹣3＝0.5（m），∴CH＝HF﹣CF＝1.5﹣0.5＝1（m），在Rt△BCH中，∠H＝90°，∠BCH＝180°﹣∠BCD＝180°﹣135°＝45°，∵cos∠BCH=CH∴BC=CHcos∠BCH=∴BH＝CH•tan∠BCH＝1×tan45°＝1（m），∴AB＝AH﹣BH＝33−1≈4.2(m)答：BC的长度约为1.4m，AB的长度约为4.2m．【点评】本题考查解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．21．（7分）（2023•山西）阅读与思考下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．瓦里尼翁平行四边形我们知道，如图1，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接E，F，G，H，得到的四边形EFGH是平行四边形．我查阅了许多资料，得知这个平行四边形EFGH被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁（Varingnon，Pierte1654﹣1722）是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形．②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系．③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下：证明：如图2，连接AC，分别交EH，FG于点P，Q，过点D作DM⊥AC于点M，交HG于点N．∵H，G分别为AD，CD的中点，∴HG∥AC，HG=12∴DNNM=DGGC．∵DG＝GC，∴DN＝∵四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形，∴HE∥GF，即HP∥GQ．∵HG∥AC，即HG∥PQ，∴四边形HPQG是平行四边形，（依据2）∴S▱HPQG＝HG•MN=1∵S△ADC=12AC•DM＝HG•DM，∴S▱HPQG=12任务：（1）填空：材料中的依据1是指：三角形中位线定理．依据2是指：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形ABCD及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH、使得四边形EFGH为矩形；（要求同时画出四边形ABCD的对角线）（3）在图1中，分别连接AC，BD得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长与对角线AC，BD长度的关系，并证明你的结论．【分析】（1）由三角形中位线定理和平行四边形的判定可求解；（2）画四边形ABCD，且AC⊥BD于O，点E，H，G，F分别是边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接EF，FG，GH，HE，则四边形EFGH为所求；（3）由三角形中位线定理可得EF=12BD，GH=12BD，EH=12【解答】解：（1）证明：如图2，连接AC，分别交EH，FG于点P，Q，过点D作DM⊥AC于点M，交HG于点N．∵H，G分别为AD，CD的中点，∴HG∥AC，HG=12∴DNMN∵DG＝GC，∴DN＝NM=12∵四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形，∴HE∥GF，即HP∥GQ．∵HG∥AC，即HG∥PQ，∴四边形HPQG是平行四边形，（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），∴S▱HPQG＝HG•MN=12HG•∵S△ADC=12AC•DM＝HG•∴S▱HPQG=12S△同理可得，S▱EFQP=12S△∴S▱HEFG=12S四边形故答案为：三角形中位线定理，两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）如图，画四边形ABCD，且AC⊥BD于O，点E，H，G，F分别是边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接EF，FG，GH，HE，则四边形EFGH为所求；理由如下：∵点E，H，G，F分别是边AB，BC，CD，DA的中点，∴EF∥BD，HG∥BD，EH∥AC，FG∥AC，∴EF∥HG，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AC⊥BD，EF∥BD，∴AC⊥EF，∵FG∥AC，∴EF⊥FG，∴平行四边形EFGH是矩形；（3）瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长等于AC+BD，理由如下：∵四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形，∴点E，H，G，F分别是边AB，BC，CD，DA的中点，∴EF=12BD，GH=12BD，EH=12∴瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长＝EF+GF+GH+EH=12BD+12BD+12AC+【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，矩形的判定等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．22．（12分）（2023•山西）综合与实践问题情境：“综与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为△ABC和△DFE，其中∠ACB＝∠DEF＝90°，∠A＝∠D，将△ABC和△DFE按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为点B）．当∠ABE＝∠A时，延长DE交AC于点G，试判断四边形BCGE的形状，并说明理由．数学思考：（1）请你解答老师提出的问题；深入探究：（2）老师将图2中的△DBE绕点B逆时针方向旋转，使点E落在△ABC内部，并让同学们提出新的问题．①“善思小组”提出问题：如图3，当∠ABE＝∠BAC时，过点A作AM⊥BE交BE的延长线于点M，BM与AC交于点N．试猜想线段AM和BE的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；②“智慧小组”提出问题：如图4，当∠CBE＝∠BAC时，过点A作AH⊥DE于点H，若BC＝9，AC＝12，求AH的长．请你思考此问题，直接写出结果．【分析】（1）先证明四边形BCGE是矩形，再由△ACB＝△DEB可得BC＝BE，从而得四边形BCGE是正方形；（2）①由已知∠ABE＝∠BAC可得AN＝BN，再由等积方法S△ABF②设AB，DE的交点为M，过M作MG⊥BD于G，则易得MD＝MB，点G是BD的中点；利用三角函数知识可求得DM的长，进而求得AM的长，利用相似三角形的性质即可求得结果．【解答】解：（1）结论：四边形BCGE为正方形．理由如下：∵∠BED＝90°，∴∠BEG＝180°﹣BED＝90°，∵∠ABE＝∠A，∴AC∥BE，∴∠CGE＝∠BED＝90°，∵∠C＝90°，∴四边形BCGE为矩形．∵△ACB≌△DEB，∴BC＝BE．∴矩形BCGE为正方形；（2）①结论：AM＝BE．理由：∵∠ABE＝∠BAC，∴AN＝BN，∵∠C＝90°，∴BC⊥AN，∵AM⊥BE，即AM⊥BN，∴S△ABF∵AN＝BN，∴BC＝AM．由（1）得BE＝BC，∴AM＝BE．②解：如图：设AB，DE的交点为M，过M作MG⊥BD于G，∵△A