本科《工程数学》期末考试试卷及答案

本科《工程数学》考试试卷〔A卷、闭卷〕题号一二三四五六七八九总分得分阅卷人单项选择题〔每题3分，共15分〕1．某人打靶3发，事件Ai表示“击中i发”，i=0,1,2,3.那么事件A=A1∪A2∪A3表示()。

A.全部击中.B.至少有一发击中.C.必然击中D.击中3发2．对于任意两个随机变量X和Y，假设E(XY)=E(X)E(Y)，那么有()。A.X和Y独立。B.X和Y不独立。C.D(X+Y)=D(X)+D(Y)D.D(XY)=D(X)D(Y)3．以下各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的是〔〕。A．。B.C.D.，4．设随机变量X～,Y～,,,那么有〔〕A.对于任意的,P1=P2B.对于任意的,P1<P2C.只对个别的，才有P1=P2D.对于任意的,P1>P25．设X为随机变量，其方差存在，c为任意非零常数，那么以下等式中正确的是〔〕A．D(X+c)=D(X).B.D(X+c)=D(X)+c.C.D(X-c)=D(X)-cD.D(cX)=cD(X)二、填空题〔每空3分，共15分〕1．设3阶矩阵A的特征值为-1，1，2，它的伴随矩阵记为A*，那么|A*+3A–2E|=。2．设A=，那么=。3．设有3个元件并联，每个元件正常工作的概率为P，那么该系统正常工作的概率为。4．设随机变量的概率密度函数为，那么概率。5．设二维连续型随机变量的联合概率密度函数为，那么系数。三、计算题〔每题10分，共50分〕1．求函数的傅氏变换(这里)，并由此证明：2．发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“1”和“0”。由于通讯系统受到干扰，当发出信号“1”时，收报台未必收到信号“1”，而是分别以概率0.8和0.2收到信号“1”和“0”；同时，当发出信号“0”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“0”和“1”。求〔1〕收报台收到信号“1”的概率；〔2〕当收报台收到信号“1”时，发报台确是发出信号“1”的概率。3．设二维随机变量的联合概率函数是求：〔1〕常数c；〔2〕概率P(X≥Y)；〔3〕X与Y相互独立吗？请说出理由。4．将n个球随机的放入N个盒子中去，设每个球放入各个盒子是等可能的，求有球盒子数X的数学期望。5．设一口袋中依此标有1，2，2，2，3，3数字的六个球。从中任取一球，记随机变量X为取得的球上标有的数字，求(1)X的概率分布律和分布函数。(2)EX四、证明题〔10分〕设a=(a1,a2,…,an)T，a1≠0,其长度为║a║，又A=aaT,证明A2=║a║2A；证明a是A的一个特征向量，而0是A的n-1重特征值；A能相似于对角阵Λ吗？假设能,写出对角阵Λ.五、应用题〔10分〕设在国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量X是随机变量,它在[2000,4000](单位：吨)上服从均匀分布，又设每售出这种商品一吨，可为国家挣得外汇3万元，但假设销售不出而囤积在仓库，那么每吨需保养费1万元。问需要组织多少货源，才能使国家收益最大。本科《工程数学》考试答案〔A卷、闭卷〕单项选择题〔每题3分，共15分〕1．B2．C3．D4．A5．A二、填空题〔每空3分，共15分〕1.92.131–(1–P)34.3/45.12三、计算题〔每题10分，共50分〕1．解答：函数f(t)的付氏变换为：F(w)==由付氏积分公式有f(t)=F(w)]====所以2．解答:设A1=“发出信号1”，A0=“发出信号0”，A=“收到信号1”(1)由全概率公式有P(A)=P(A|A1)P(A1)+P(A|A0)P(A0)=0.8x0.6+0.1x0.4=0.52(2)由贝叶斯公式有P(A1|A)=P(A|A1)P(A1)/P(A)=3．解答:〔1〕由联合概率密度的性质有即从而c=8(2)(3)当x>0时，当x<=0时,同理有因故X与Y相互独立4．解答：设i=1,2,…,N那么因因而所以5．解答：〔1〕随机变量的取值为1，2，3。依题意有：的分布函数由条件知：当时，当时，当时，当时，〔2〕EX=1x1/6+2x3/6+3x2/6=13/6四、证明题〔10分〕(1)A2=aaT·aaT=aTa·aaT=║a║2A(2)因Aa=aaT·a=aTa·a=║a║2a故a是A的一个特征向量。又A对称，故A必相似于对角阵设A∽diag(λ1,λ2,…,λn)=B,其中λ1,λ2,…,λn是A的特征值因rank(A)=1,所以rank(B)=1从而λ1,λ2,…,λn中必有n-1个为0,即0是A的n-1重特征值(3)A对称，故A必相似于对角阵Λ，五、应用题〔10分〕解答:设y为预备出口的该商品的数量，这个数量可只介于2000与4000之间，用Z表示国家的收益〔万元〕,