实际问题与二次函数拱桥问题的数学教学

关于实际问题与二次函数拱桥问题的数学教学一、根据已知函数的表达式解决实际问题：第2页,共14页，2024年2月25日，星期天活动一：一抛物线型拱桥，建立了如图所示的直角坐标系后，抛物线的表达式为：y=-1/25x2+16(1)拱桥的跨度是多少？(2)拱桥最高点离水面几米？(3)一货船高为12米，货船宽至少小于多少米时，才能安全通过？xyoABC解：（1）令-1/25x2+16=0，解得X1=20,X2=-20,A（-20，0）B（20，0）︱AB︳=40，即拱桥的跨度为40米。（2）令x=0，得y=16，即拱桥最高点离地面16米（3）令-1/25x2+16=12,解得X1=-10，X2=10,︱x1-x2︳=20.即货船宽应小于20米时，货船才能安全通过。-1010第3页,共14页，2024年2月25日，星期天二、根据实际问题建立函数的表达式解决实际问题第4页,共14页，2024年2月25日，星期天一座拱桥的示意图如图，当水面宽4m时，桥洞顶部离水面2m。已知桥洞的拱形是抛物线，（1）求该抛物线的函数解析式。（2）若水面下降1米，水面宽增加多少米？

探究活动:M2mAB4m首先要建立适当的平面直角坐标系你认为首先要做的工作是什么?ABMxyo

解法一：（1）以水面AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系。设抛物线的解析式为：y=ax2+c(a≠0)抛物线过（2，0），（0，2）点4a+c=0a=-0.5即解析式为：y=-0.5x2+2c=2c=2（2）水面下降1米，即当y=-1时-0.5x2+2=-1解得x1=-√6x2=√6CD=︱x1-x2︳=2√6水面宽增加CD-AB=（2√6-4）米CD1m(-2,0)(2,0)(0,2)第5页,共14页，2024年2月25日，星期天平面直角坐标系建立的不同，所得的抛物线的解析式相同吗？最终的解题结果一样哪一种取法求得的函数解析式最简单？解法二：（1)以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系。设二次函数的解析式为y=ax2(a≠0）抛物线经过点（2，-2），可得，a=-0.5抛物线的解析式为：y=-0.5x20xyh

A(-2,-2)B(2,-2)CD（2）水面下降1米，即当y=-3时-0.5x2=-3解得x1=-√6x2=√6CD=︱x1-x2︳=2√6水面宽增加AB-CD=（2√6-4）米1m(X1,-3)(X2,-3)第6页,共14页，2024年2月25日，星期天解三如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以其中的一个交点(如左边的点)为原点，建立平面直角坐标系.∴可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为:∵抛物线过点(0,0)∴这条抛物线所表示的二次函数为:当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-1,这时有:∴当水面下降1m时,水面宽度增加了此时,抛物线的顶点为(2,2)∴这时水面的宽度为:返回第7页,共14页，2024年2月25日，星期天例:某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物,大门底部宽AB=4m,顶部C离地面的高度为4.4m,现有载满货物的汽车欲通过大门,货物顶部距地面2.7m,装货宽度为2.4m.这辆汽车能否顺利通过大门?若能,请你通过计算加以说明;若不能,请简要说明理由.第8页,共14页，2024年2月25日，星期天解：如图，以AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系.∵AB=4∴A(-2,0)B(2,0)∵OC=4.4∴C(0,4.4)设抛物线所表示的二次函数为∵抛物线过A(-2,0)∴抛物线所表示的二次函数为∴汽车能顺利经过大门.第9页,共14页，2024年2月25日，星期天小结一般步骤:

(1).建立适当的直角系,并将已知条件转化为点的坐标,

(2).合理地设出所求的函数的表达式,并代入已知条件或点的坐标,求出关系式,

(3).利用关系式求解实际问题.第10页,共14页，2024年2月25日，星期天活动四：试一试如图所示，有一座抛物线型拱桥，在正常水位AB时，水面宽20米，水位上升3米，就达到警戒线CD,这时水面宽为10米。（1）求抛物线型拱桥的解析式。（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2米的速度上升，从警戒线开始，在持续多少小时才能达到拱桥顶？（3）若正常水位时，有一艘宽8米，高2.5米的小船能否安全通过这座桥？AB20mCD第11页,共14页，2024年2月25日，星期天练一练：

如图是某公园一圆形喷水池，水流在各方向沿形状相同的抛物线落下。建立如图所示的坐标系，如果喷头所在处A（0，1.25），水流路线最高处B（1，2.25），求该抛物线的解析式。如果不考虑其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外。y=－(x-1)2+2.252.5Y

OxB(1,2.25)．(0,1.25)

A第12页,共14页，2024年2月25日，星期天实际问题抽象转化数学问题运用数学知识问题的解决谈谈你的学习体会解题步骤：1、分析题意，把实际问题转化为数学问题，画