高中数学选修2-1课时作业16：2.2.2-椭圆的简单几何性质(一)

高中数学选修2-1课时作业PAGEPAGE12.2.2椭圆的简单几何性质(一)一、选择题1.已知点(3,2)在椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1上，则()A.点(－3，－2)不在椭圆上B.点(3，－2)不在椭圆上C.点(－3,2)在椭圆上D.无法判断点(－3，－2)、(3，－2)、(－3,2)是否在椭圆上[答案]C[解析]由椭圆的对称性知(－3,2)必在椭圆上.2.椭圆x2＋4y2＝1的离心率为()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(3,4)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(2,3)[答案]A[解析]将椭圆方程x2＋4y2＝1化为标准方程x2＋eq\f(y2,\f(1,4))＝1，则a2＝1，b2＝eq\f(1,4)，即a＝1，c＝eq\r(a2－b2)＝eq\f(\r(3),2)，故离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2).3.椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的左，右焦点分别为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|的值为()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\r(3)C.eq\f(7,2) D.4[答案]C[解析]由eq\f(x2,4)＋y2＝1知，F1，F2的坐标分别为(－eq\r(3)，0)，(eq\r(3)，0)，即点P的横坐标为xP＝－eq\r(3)，代入椭圆方程得|yP|＝eq\f(1,2)，∴|PF1|＝eq\f(1,2).∵|PF1|＋|PF2|＝4，∴|PF2|＝4－|PF1|＝4－eq\f(1,2)＝eq\f(7,2).4.中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为eq\f(\r(3),2)，且过点(2,0)的椭圆的方程是()A.eq\f(x2,4)＋y2＝1B.eq\f(x2,4)＋y2＝1或x2＋eq\f(y2,4)＝1C.x2＋4y2＝1D.x2＋4y2＝4或4x2＋y2＝16[答案]D[解析]若焦点在x轴上，则a＝2.又e＝eq\f(\r(3),2)，∴c＝eq\r(3).∴b2＝a2－c2＝1，∴方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1，即x2＋4y2＝4.若焦点在y轴上，则b＝2.又e＝eq\f(\r(3),2)，∴eq\f(b2,a2)＝1－eq\f(3,4)＝eq\f(1,4)，∴a2＝4b2＝16，∴方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,16)＝1，即4x2＋y2＝16.5.椭圆eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1的左焦点为F1，点P在椭圆上，若线段PF1的中点M在y轴上，则点P的纵坐标是()A.±eq\f(\r(3),4) B.±eq\f(\r(3),2)C.±eq\f(\r(2),2) D.±eq\f(3,4)[答案]B[解析]设椭圆的右焦点为F2，由题意知PF2⊥x轴，因为a2＝12，b2＝3，所以c2＝a2－b2＝9，c＝3.所以点P和点F2的横坐标都为3.故将x＝3代入椭圆方程，可得y＝±eq\f(\r(3),2).故选B.6.若椭圆的焦距、短轴长、长轴长构成一个等比数列，则椭圆的离心率为()A.eq\f(\r(5)－1,2) B.eq\f(\r(3)－1,2)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(5)＋1,2)[答案]A[解析]依题意得，4b2＝4ac，∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(c,a)，即1－e2＝e.∴e2＋e－1＝0，∴e＝eq\f(\r(5)－1,2)(舍去负值).7.椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1与eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,25－k)＝1(0<k<9)的关系为()A.有相等的长、短轴长 B.有相等的焦距C.有相同的焦点 D.有相同的顶点[答案]B[解析]∵(25－k)－(9－k)＝25－9＝16，∴焦距相等.二、填空题8.若点O和点F分别为椭圆eq\f(x2,2)＋y2＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则|OP|2＋|PF|2的最小值为________.[答案]2[解析]设P(x0，y0)，而F(－1,0)，∴|OP|2＋|PF|2＝xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋(x0＋1)2＋yeq\o\al(2,0).又yeq\o\al(2,0)＝1－eq\f(x\o\al(2,0),2)，∴|OP|2＋|PF|2＝xeq\o\al(2,0)＋2x0＋3＝(x0＋1)2＋2≥2.∴|OP|2＋|PF|2的最小值为2.9.若椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的焦点在x轴上，过点(1，eq\f(1,2))作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是____________.[答案]eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1[解析]∵x＝1是圆x2＋y2＝1的一条切线.∴椭圆的右焦点为(1,0)，即c＝1.设P(1，eq\f(1,2))，则kOP＝eq\f(1,2)，∵OP⊥AB，∴kAB＝－2，则直线AB的方程为y＝－2(x－1)，它与y轴的交点为(0,2).∴b＝2，a2＝b2＋c2＝5，故椭圆的方程为eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1.10.若椭圆x2＋my2＝1的离心率为eq\f(\r(3),2)，则m＝________.[答案]eq\f(1,4)或4[解析]方程化为x2＋eq\f(y2,\f(1,m))＝1，则有m>0且m≠1.当eq\f(1,m)<1，即m>1时，依题意有eq\f(\r(1－\f(1,m)),1)＝eq\f(\r(3),2)，解得m＝4，满足m>1；当eq\f(1,m)>1，即0<m<1时，依题意有eq\f(\r(\f(1,m)－1),\r(\f(1,m)))＝eq\f(\r(3),2)，解得m＝eq\f(1,4)，满足0<m<1.综上，m＝eq\f(1,4)或4.三、解答题11.分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)离心率是eq\f(2,3)，长轴长是6；(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.解(1)设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0).由已知得2a＝6，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,3)，∴a＝3，c＝2.∴b2＝a2－c2＝9－4＝5.∴椭圆的标准方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1或eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,9)＝1.(2)设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0).如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2上的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18，故所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1.12.已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)，过点E(eq\f(a2,c)，0)的直线与椭圆相交于点A，B两点，且F1A∥F2B，|F1A|＝2|F2B|，求椭圆的离心率.解由F1A∥F2B，|F1A|＝2|F2B|，得eq\f(|EF2|,|EF1|)＝eq\f(|F2B|,|F1A|)＝eq\f(1,2)，从而eq\f(\f(a2,c)－c,\f(a2,c)＋c)＝eq\f(1,2)，整理得a2＝3c2.故离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3).13.已知椭圆E的中心为坐标原点O，两个焦点分别为A(－1，0)，B(1,0)，一个顶点为H(2,0).(1)求椭圆E的标准方程；(2)对于x轴上的点P(t,0)，椭圆E上存在点M，使得MP⊥MH，求实数t的取值范围.解(1)由题意可得，c＝1，a＝2，∴b＝eq\r(3).∴所求椭圆E的标准方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)设M(x0，y0)(x0≠±2)，则eq\f(x\o\al(2,0),4)＋eq\f(y\o\al(2,0),3)＝1.①eq\o(MP,\s\up6(→))＝(t－x0，－y0)，eq\o(MH,\s\up6(→))＝(2－x0，－y0)，由MP⊥MH可得eq