高等数学-第6章-6.3-二阶微分方程

PAGEPAGE4§6.3二阶微分方程二阶微分方程的一般形式是或.一、可降阶的二阶微分方程1．方程方程右边只含有，连续积分两次，即可求得方程的通解.例1求微分方程的通解.解，，所以，原方程的通解是.2．方程方程不显含，设，则，代入原方程，得，这是关于未知函数的一阶微分方程，设其通解为，则有积分即可得原方程的通解.例2求微分方程的通解.解设，则，代入原方程，得，这是一阶线性微分方程，其通解为，因为，所以，积分，得原方程的通解为。3．方程方程中不显含，设，则，代入原方程，得，这是关于未知函数的一阶微分方程，设其通解为，则即用分离变量法即可求得原方程的通解.例3求微分方程的通解.解设，则，代入原方程，得即当时，用分离变量法可解得，它包含了.代入，得即再用分离变量法，可得原方程的通解为.二、二阶线性微分方程形如（6.11）的微分方程称为二阶线性微分方程.当时，方程（6.11）称为二阶线性齐次微分方程；当时，方程（6.11）称为二阶线性非齐次微分方程.下面讨论二阶线性齐次微分方程.1．二阶线性齐次微分方程解的结构定义6.5设是定义在区间上的函数，如果存在不全为零的常数，使得,则称在区间上线性相关；否则，称在区间上线性无关.定理6.1设是定义在区间上的函数，则线性无关的充要条件是不恒为常数.证明从略.例如，线性无关；线性无关；线性相关.定理6.2（解的迭加原理）如果函数是方程（6.11）的两个解,则也是方程（6.11）的解,其中是任意常数.证明从略.定理6.3设是齐次方程的两个线性无关的解，则其通解为.证明从略.2．二阶常系数线性齐次微分方程形如(6.12)的方程称为二阶常系数线性齐次微分方程,其中为常数.根据定理6.2，要求方程(6.12)的通解，只须求出其两个线性无关的特解就可以了，下面讨论这两个特解的求法.先来分析方程(6.12)可能具有什么形式的特解，从方程的形式上看，它的特点是，与各乘以常数因子后相加等于零，如果能找到一个函数，使得，与之间只相差一个常数，这样的函数就有可能是方程(6.12)的特解.易知在初等函数中，函数符合上述要求，于是，令来尝试求解，其中为待定常数.将，，代入方程(6.12)，得，即，（6.13）由此可见，如果是方程（6.13）的根，则就是方程（6.12）的特解，这样，齐次方程（6.12）的求解问题就转化为代数方程（6.13）的求根问题。称方程（6.13）为微分方程（6.12）的特征方程，并称特征方程的两个根为特征根.根据初等代数的知识，特征根有三种可能的情况，下面分别讨论.（1）特征方程有两个不相等的实根特征根为（），方程（6.12）的两个特解为,，且线性无关，从而方程（6.12）的通解为，（2）特征方程有两个相等的实根特征根为（），这样只能得到方程（6.12）的一个特解,因此，我们还要设法找出另一个特解，并使与线性无关，即常数，为此设即，其中为待定函数.将，，代入方程(6.12)，得，因为，，，所以，积分,得。为简便起见，取,得，从而方程(6.12)通解为.（3）特征方程有一对共轭复根特征根为（）,方程（6.12）的两个复数形式的特解为,.应用欧拉公式,得,.令,,根据定理6.2,,也是方程（6.12）的特解,且线性无关,故方程（6.12）的通解为.综上所述,要求二阶常系数线性齐次微分方程(6.12)的通解,只须先求出其特征方程(6.13)的根,再根据根的情况便可确定其通解,现列表总结如下:表6.1特征方程的根微分方程通解有两个不相等的实根：有两个相等的实根：有一对共轭复根：例4求微分方程的通解.解特征方程为,特征根为。所以