高等数学C习题答案-1

班级姓名学号班级姓名学号PAGE72PAGE1高等数学（少学时）习题解答第一章函数与极限习题1-11.求下列函数的定义域:(1);解：；(2)解：；(3);解：由，得；(4).解：由.2.设的定义域为，求的定义域.解：3.设,求.解：；；4.判断下列函数的奇偶性:(1);解：；非奇非偶；(2);解：；偶函数；(3);解：；奇函数；(4).解：；偶函数.5.求的反函数.解：；反函数为：6.对于下列每组函数写出的表达式:(1);解：；(2),.解：7.火车站收取行李费的规定如下：当行李不超过50kg时，按基本运费计算，如从上海到某地以0.15元/kg计算基本运费,当超过50kg时，超重部分按0.25元/kg收费.试求上海到该地的行李费y（元）与重量x(kg)之间的函数关系.解：8.某产品共有1500吨，每吨定价150元，一次销售不超过100吨时，按原价出售，若一次销售量超过100吨，但不超过500吨时，超出部分按9折出售；如果一次销售量超过500吨，超过500吨的部分按8折出售，试将该产品一次出售的收入y表示成一次销量的函数.解：设一次销售量为x吨，习题1-21.观察下列数列的变化趋势,判断它们是否有极限,若有极限写出它们的极限:(1);解：极限是1；(2);解：极限不存在；(3);解：极限是；(4).解：极限不存在；2．判断下列各题是否正确，并说明原因.(1)如果数列发散，则必是无界数列.解：错，反例：(2)数列有界是数列收敛的充分必要条件.解：错，必要但不充分条件（3）且当时有则解：对，夹逼定理（4）.解：错，极限是0（5）.解：错，极限是e3*.用数列极限的定义证明.证明：，存在既.习题1-31.判断下列各题是否正确,并说明原因.(1）如果=5，但，则不存在.解：错，=4（2）存在的充分必要条件是和都存在.解：正确(3)如果在的某一去心邻域内,且则解：正确2.设求;是否存在,为什么?解：，，，不存在.3.设,求.解：；.左右极限不相等，极限不存在.4*.根据函数的定义证明:(1),解：(2).解：5*.根据函数极限的定义证明:的充要条件是.证明：必要性：有。特别的，当有成立，又有，所以。充分性：，则当有成立，又有成立，则取显然有成立。所以习题1-41．判断下列各题是否正确,并说明原因.（1）零是无穷小.解：对，（2）两个无穷小之和仍是无穷小.解：对.（3）两个无穷大之和仍是无穷大.解：错，，，（4）无界变量必是无穷大量.解：错（5）无穷大量必是无界变量.解：对2.当时,指出下列函数哪些是无穷小?哪些是无穷大?(1);解：既不是无穷大也不是无穷小(2);解：,无穷小(3);解：,无穷大(4);解：=1，既不是无穷大也不是无穷小(5);解：,无穷小(6).解：,无穷大.3.求下列极限:(1);解：=(2).解：,4.函数在内是否有界?这个函数是否为时的无穷大?为什么?解：在内无界，在内总可以找到,使得，.它不是时的无穷大，取，，但此时5.求函数的图形的渐近线.解：.习题1-51.求下列极限:(1);解：(2);解：(3);解：(4);解：(5);解：(6);解：=(7);解：==(8)解：=(9);解：=(10).解：=2.求下列极限:(1);解：=(2);解：=(3);解：=(4);解：(5);解：=(6).解：=习题1-6当时,与相比,哪一个是较高阶的无穷小?解：当时,无穷小和是否是同阶无穷小?是否是等价无穷小?解：，所以.证明:当时,有.证明：。所以当时，4.利用等价无穷小的性质求下列极限:(1);解：(2).解：习题1-71．判断下列各题是否正确，并说明原因.（1）在其定义域内一点处连续的充分必要条件是在既左连续又右连续.解：正确，连续定义。（2）在连续，在不连续，则在一定不连续.解：正确。（3）在处连续，在处不连续，则在一定不连续.解：错误，不一定。2.讨论的连续性,并画出其图形.解：又3.指出下列函数的间断点属于哪一类.若是可去间断点,则补充或改变函数的定义使其连续.⑴;解：(2).解：为其跳跃间断点。4.求函数的连续区间,并求.解：5.求下列极限：⑴;解：⑵;解：=1⑶.解：=6.，7.证明方程在1与2之间至少有一个根.证明：设，则显然，，由零点定理可以得到，在1与2之间至少有一个根。8.证明:若使.习题1-81．熟悉MATLAB的窗口操作：利用“demo”命令演示MATLAB的使用方法．2．通过上机练习，熟悉数组的各种输入方式，了解各种数组运算符的含义．3．某零售店9种商品的进价（元）、售价（元）及一周的销售量如表1-6所示，问哪种商品的利润最大，哪种商品的利润最小；求这一周该9种商品的总收入和总利润．表1-6货号12345单件进价7.158.253.2010.306.68单件售价11.1015.006.0016.259.90销量5681205753580395货号6789单件进价12.0316.8517.519.30单件售价18.2520.8024.1515.50销量210415388106944．画出的图形，由此总结幂函数的性质．5．在极坐标系中画出心形线，阿基米德螺线，对数螺线，三叶玫瑰线的图形．6．利用MATLAB求下列极限：（1）；（2）；（3）．7．利用求极限命令说明时，与是等价无穷小，并画图比较它们收敛到0的速度．8．某顾客向银行存入本金元，年后他在银行的存款额是本金及利息之和．设银行规定年复利率为，试计算连续复利情况下顾客的最终存款额（连续复利即银行连续不断地向顾客付利息）．解：设，则第二章导数与微分习题2-11.设质点作变速直线运动，在时刻的位置为，求下列各值：（1）质点从1秒到秒这段时间内的平均速度；解：（2）质点从秒到秒这段时间内的平均速度；解：（3）质点在1秒时的瞬时速度；解：当=0时，（4）质点在秒时的瞬时速度.解：2.下列各题中均假定存在，按导数定义观察下列极限，指出这些极限表示什么,并将答案填在括号内.⑴（）；⑵（），其中,且存在.⑶（）.3.求下列函数的导数：⑴;解：⑵;解：⑶;解：⑷.解：4.求曲线上点处的切线方程和法线方程.解：，所以切线方程为化简得，法线方程为化简得5.曲线上哪一点处的切线与直线平行,求过这一点的切线方程.解：，当时，，所以过点（2，4）的切线方程与直线平行，切线方程是：，。6.讨论函数在点处的连续性与可导性.解：因为（有界量乘以无穷小）所以函数在处连续因为所以函数在处可导.7.设讨论取何值时,在点处可导.解：要使得在点处可导，则必有，而；所以，又因为在点连续，既左连续又右连续，所以8.设表示重1单位的金属从加热到时所吸收的热量，当金属从升温到时，所需热量为，与之比称为到的平均比热，试解答下列问题：（1）如何定义在时金属的比热；解：时金属的比热既时的平均比热，（2）当（其中均为常数）时，求比热.解：习题2-21.求下列函数的导数：（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：（5）解：（6）;解：（7）解：（8）;解：（9)；解：（10）.解：2.已知,求.解：因为所以3.求下列函数的导数：（1）;解：（2）;解：（3）;解：（4）;解：（5）;解：（6）;解：（7）;解：（8）;解：（9）;解：（10）.解：4.求下列函数的导数：（1）解：（2）解：（3）解：（4）;解：（5）；解：（6）;解：(7)；解：（8）；解：（9）；解：（10）解：5.设可导，求下列函数的导数：（1）解：（2）解：6.求下列方程所确定的隐函数的导数:（1）;解：方程两边关于求导得：所以(2);解：方程两边关于求导得：所以（3）；解：方程两边关于求导得：（4）.解：方程两边关于求导得：7.求曲线在点处的切线方程和法线方程.解：方程两边关于求导得：所以，从而：切线斜率，法线斜率，所以切线方程为，即；法线方程为，即。8.用对数求导法求下列函数的导数:（1）;解：方程两边同时求导得：（2）.解：所以9.求由参数方程所确定的曲线在处的切线方程和法线方程.解：当时，法线方程是：10*.注水入深，上顶直径的正圆锥形容器中，其速率为.当水深为时,其表面上升的速率为多少？解：设水面高度为h米，水面圆半径是r米，上顶半径，、由相似三角形得，所以，，所以11*.一人以的速度通过一座高为的桥,在此人的正下方有一小船以的速度与桥垂直方向前进，求末人与小船的分离速度.解：设时间为t秒，则在t秒内船走过路程,人走过路程是，又因为是空间的，所以人船相距，所以，分离速度，代入t=5得到。习题2-31.求下列函数的二阶导数：（1）；解：，（2）；解：（3）；解：（4）.解：2.设求解：逐项求导得：3.求下列函数的阶导数的一般表达式：（1）；解：（2）.解：（3）；解：（4）.解：4.求由方程所确定的隐函数的二阶导数.解：两边同时关于x的导数，得到，。5.求下列参数方程所确定的函数的二阶导数:（1）解：，(2)解：，习题2-41.已知，求当分别为1，0.1，0.01时的.解：，所以当=1时，当=0.1时，当=0.01时，2.求下列函数的微分:（1）；解：（2）；解：（3）；解：（4）.解：3.求由下列方程所确定的隐函数的微分：（1）；解：两边同时求导：则，（2）.解：两边同时求导：，所以4.将适当的函数填入下列括号内，使等式成立：（1）（2）（3）（4）（5）;（6）;（7）;（8）.5.计算三角函数值的近似值.解：因为所以6.计算根式的近似值.解：因为所以7.当较小时，证明下列近似公式：（1）;解：，，所以（2）.解：，，所以。习题２-51．用“diff”命令求下列导数：（1），求；（2），求；（3）．2．求高阶导数：（1），求；（2）的50阶导数．3．某人高1.8米，他在水平路面上以每秒1.6米的速度走向一街灯，若此街灯在路面上方5米，当此人与灯的水平距离为4米时，人影端点移动的速率为多少？解，如图：以DE，BC分别表示人高和灯高，设DE=x，AB=y表示人和人影端点到灯的水平距离，则,，于是，所以4．已知，完成以下任务：（1）直接求，画出图形，并求出的值；（2）用一次多项式拟合，并求出的值；（3）用多项式求导法求（分别取），并在同一坐标系中画出各图形；（4）对照（1）和（3）的图形，能得出什么结论？第三章中值定理与导数的应用习题３-１1.验证罗尔定理对函数在区间上的正确性.解：在区间上满足罗尔定理的条件.2.验证拉格朗日中值定理对函数在区间上的正确性.解：函数在区间上满足拉格朗日中值定理的条件，则，又因为，所以且有3.对函数及在区间上验证柯西中值定理的正确性.解：及在区间上连续，在内可导，在内有：，所以及满足柯西定理的全部条件，有4.证明恒等式：.解：取函数，则.则取，所以同理，所以5.若方程有一个正根，证明方程必有一个小于的正根.证明：取函数。上连续，在内可导，且由罗尔定理知至少存在一点使即方程必有一个小于的正根。6.证明方程只有一个正根.证明：设在[0,1]上连续，且，由零点定理，在（0,1）至少存在一个正根。假设存在两个正根，有，显然在上连续可导，则由罗尔定理得到：存在，使得，这是矛盾的。所以方程只有一个正根。7.证明：若函数在内满足关系式，且，则.证明：则，又习题3－21.用洛必达法则求下列极限：(1)；解：=(2)；解：=(3)；解：=(4)；解：(5)解：(6)；解：=(7)；解：(8)；解：=(9)；解：=(10).解：设，则，所以=2.验证极限存在，但不能用洛必达法则得出.解：由于不存在，故不能使用洛必达法则来求此极限，但不表示此极限不存在，此极限可如下求得：3.讨论函数在点处的连续性.解：，习题3－31.判定函数的单调性.解：，等号当且仅当在时成立，所以在上单调递减。2.确定下列函数的单调区间：(1)；解：令，所以在在；在在。(2)解：，令，所以在；在。(3)；解：，所以在上单调递增。(4).解：，，3.证明下列不等式：(1)当时，；证明：设，因为所以在上单调递增，又因为，所以，既。(2)当时，；证明：设，则，，当时，，同(1)题可证，所以，在上单调递增，既。(3)当时，.证明：两边取对数，等价得到；设，同上可证在上单调递增，既。4.试证方程只有一个实根.证明：显然有实根，就是方程的根。下证实根具有唯一性。，使得，这是些孤立奇点，不够成区间，所以单调递减，从而零点唯一。5.判定下列曲线的凹凸性：(1)；解：，所以函数在正半轴上是凹的。(2).解：所以在定义域R上都是凹的。6.求下列曲线的拐点及凹或凸的区间：(1)；解：，解得，又因为上是凸区间，上是凹区间，所以是函数的拐点。(2)；解：， ，所以凸区间是，凹区间是，拐点是（2，）。 7.问、为何值时，点为曲线的拐点？解：，因为是拐点，所以，又因为点在曲线上，所以，解得。8.求出曲线的各种渐近线.解：水平渐近线；垂直渐近线。9.描绘函数的图形.解：函数定义域为无奇偶性。，，分段讨论函数性质，画图略。习题3－41.求下列函数的极值：(1)；解：，此函数没有不可导点，极小值是，极大值是。(2)；解：得，所以存在极小值(3)；解：，，，； (4)；解：，所以极大值是，极小值是。(5)；解：，， ， (6).解：，所以函数没有极值。2.试问为何值时，函数在处取得极值？它是极大值还是极小值？解：当时，，根据的正负性可得。3.求下列函数的最大值、最小值：(1)，；解： (2)，.解：。4.？解：。5.某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋,现有存砖只够砌20米长的墙壁,问围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？解：设垂直于墙壁的巨型长为x，则另一边长为20-2x，小屋面积是：，，从而，这时面积平方米。6.某公司每件产品的价格是1500元，一年生产件产品的总成本是假设产品当年都能售出，求此公司的最大年利润.解：设生产x件产品的利润是S,则，，所以最大年利润是7.一银行的统计资料表明,存放在银行中的总存款量正比于银行付给存户利率的平方.现在假设银行可以用的利率再投资这笔钱.试问为得到最大利润,银行所支付给存户的利率应定为多少?解：假设银行支付给存户的年利率是r(0<r≤1),这样银行的总存款量为(为比例系数)把这笔钱以的年利率贷出一年后可得款额为,而银行支付给存户的款额为,银行获利为-，又因为是(0,1)中唯一的极值点，故取8%的年利率付给存户银行可获得最大利润。习题3－51.试证明方程在区间内有唯一的实根，并用二分法求这个根的近似值，使误差不超过.解：2.试证明方程在区间内有唯一的实根，并用切线法求这个根的近似值，使误差不超过.解：3.求方程的近似根，使误差不超过.解：习题3—61．解方程组2．某地区现有人口200万，10年前为100万，又知平均每年净迁入人口8万，问10年来人口的平均增长率是多少?解：3．分别用二分法和牛顿迭代法求方程在的实根，要求误差不超过，并比较两种方法哪一种速度更快？4．分别求出在点和点的7阶泰勒展开式．5．求的极值．6．一房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房租定为多少元时可获得最大收入？解：设租金为x元/月，则总所入，，从而是最大值点。此时习题4－1求下列不定积分：⑴；解：=⑵；解：=⑶；解：=-⑷；解：=⑸；解：=⑹；解：⑺；解：⑻；解：=⑼；解：=3⑽；解：⑾；解：=⑿；解：⒀；解：⒁；解：⒂；解：⒃.解：=一曲线通过点，且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线方程．解：设该曲线的方程为,则由题意得,所以.又因为曲线通过点(e2,3),所以有3f(e2)lne2C2C321.于是所求曲线的方程为习题4－2在下列各式等号右端的空白处填入适当系数，使等式成立。⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻(9)⑽⑾⑿.求下列不定积分：（其中均为常数）⑴；解：=⑵；解：⑶；解：⑷；解：⑸；解：=⑹；解：⑺；解：=⑻；解：⑼；解：=⑽；解：=⑾；解：⑿；解：=⒀；解：=⒁；解：=⒂；解：⒃；解：⒄；解：⒅；解：=⒆；解：令，=⒇．解：x>3时，x<-3时，令x=-u，==习题4－3求下列不定积分：⑴；解：=⑵；解：=⑶；解：⑷；解：=⑸；解：⑹；解：因为,所以⑺；解：=⑻；解：=⑼；解：==⑽；解：==⑾；解：令，==⑿；解：=所以=⒀；解：=⒁.解：=所以=习题4-4一、求下列不定积分:⑴；解：=⑵；解：⑶；解：==⑷；解：==⑸；解：⑹；解：=⑺；解：=⑻.解：令，则,,代入得=⑼；解：=⑽；解：令，==⑾；解：⑿；解：习题4-51、利用积分表求下列不定积分：(1)解：=(2)解：(3)解：(4)解：(5)解：(6)解：(7)解：(8)解：习题5-1按定积分定义证明：．证明：利用定积分的几何意义，说明下列等式：（1）；解：所围成的四分之一圆的面积，既圆（2）．解：的代数和为零，既：3．设及在上连续，证明：（1）若在上，，且，则在上；证明：假如不成立，则必有,根据在上的连续性，在上存在一点，再由连续性，存在这与条件矛盾，所以在上.（2）若在上，，且，则．证明：因为则只有，根据结论（1），.矛盾，因此4．不求出定积分的值，比较下列各对定积分的大小：（1）与 ； 解：当时，有，且不恒等于，，即。（2）与．解：当时，有，且不恒等于，，即。5．估计下列积分的值。（1）；解：因为当既（2）．解：令，，所以在上单调增加，，，即6．证明不等式：．证明：因为当既习题5-21．计算下列各导数：（1）；解：=（2）；解：=（3）．解：=2．设函数由方程所确定，求．解：方程两边对求导，得：，所以.3．求下列极限：（1）；解：=（2）．解：=4．计算下列定积分：（1）；解：=（2）；解：=（3）；解：（4）．解：5．设求和．解：==6．设求在内的表达式．解：当时，当时，当时，7．．解：是偶函数，8．设上连续且，，证明：（1）；（2）方程在内有且仅有一个根．证明：(1)(2)，则根据零点定理，在内有根。又因为，所以上单调递增，显然只有一个根。习题5-３1．用换元积分法和分部积分法计算下列定积分： （1）；解：=（2）；解：=（3）；解：=（4）；解：=（5）；解：=（6）；解：令=（7）；解：（8）．解：（9）；解：==（10）.解：2．利用函数的奇偶性计算下列定积分：（1）；解：被积函数是奇函数，积分区间关于原点对称，所以=0（2）；解：被积函数是奇函数，积分区间关于原点对称，所以=0（3）．解：被积函数是偶函数，所以=3．设求．解：令，==4．设函数在上连续，试证明：．证明：令，则左边右边5．设为上以为周期的连续函数，证明对任何实数，恒有证明：令，则，所以是与无关的常数。6．已知，求．证明：==47．用三种定积分近似计算的方法计算的近似值(将积分区间十等分)．解：矩形法：ln2=0.6688；梯形法：ln2=0.6938；抛物线法：ln2=0.6931习题5-４1．判别下列广义积分的收敛性，若收敛，算出它的值：（1）；解：发散（2）；解：即广义积分收敛于.（3）；解：=所以广义积分发散。（4）；解：=（5）；解：而所以（6）；解：所以广义积分发散.（7），其中解：2．讨论的敛散性。解：因为的无穷间断点，所以，又因为，所以发散，从而发散。3．当为何值时，广义积分收敛？当为何值时，该广义积分发散？解：，，所以=，（1），。（2），。（3），广义积分收敛。习题5-５1．求正弦曲线和直线及x轴所围成的平面图形的面积．解：S=32．设曲线，（1）求过曲线上点（2，2）处的切线方程；解：代入（2，2），得（2）求由曲线、切线、轴所围成的平面图形的面积．解：3．求对数螺线（）及射线所围成的图形的面积．解：4．求位于曲线下方，该曲线过原点的切线的左方以及轴上方之间的图形的面积．解：5．设有一截锥体，其高为，上、下底均为椭圆，椭圆的轴长分别为、和、，求这截锥体的体积．解：由△∽△得，所以，同理.故截面椭圆的面积为：所求截锥体体积为：6．求由抛物线，与直线所围成的图形绕轴旋转而成的旋转体的体积．解：，由得，由得，则7．求曲线上相应于的一段弧的长度．解：8．计算抛物线从顶点到这曲线上的一点的弧长．解：9．计算星形线，的全长．解：利用对称性，只计算第一象限的部分，然后乘以四倍即可：对应，对应，习题5-６1．由物理知识知道，弹簧在拉伸过程中，所需的力（单位：N）与伸长量（单位：cm）成正比，即（是比例常数），如果把弹簧由原长拉伸8cm，计算所作的功．解：功2．半径为米的半球形水池充满了水，要把池内的水完全吸尽，需作多少功？解：将位于处、厚度为的薄层水抽出来，其质量3．一块矩形木板长10米，宽5米．木板垂直于水平面，沉没于水中，其一宽与水面一样高，求木板一侧受到的压力．（水的密度）解：木板在处所受的压强为。位于处、长为5米、宽为米的小矩形受到的压力元素（吨）。整块木板一侧受到的压力（吨）。4．等腰三角形薄板，铅直沉入水中，其底与水面相齐，薄板的高为，底为．（1）计算薄板一侧所受压力；（2）若倒转薄板，使顶点与水面相齐，而底平行于水面，则水对薄板一侧的压力增加了多少？解：（1）木板在处所受的压强为。位于处、宽为的小矩形长是受到的压力元素整块木板一侧受到的压力。(2)木板在处所受的压强为。位于处、宽为的小矩形长是受到的压力元素,整块木板一侧受到的压力：，所以压力增大一倍。5．有一根长为的细棒，其上任一点处（棒的一端与原点重合）的密度为，求棒的平均密度．解：6．一质量为的质点位于原点，一根密度为、长为的均匀细棒区间在x轴上，求细棒对质点的引力解：位于处、长为的小段，其质量为，对质点的引力元素。细棒对质点的引力习题5-71．利用MATLAB求下列积分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．2．某制造公司在生产了一批超音速运输机之后停产了．但该公司承诺将为客户终身供应一种适于该机型的特殊润滑油．一年后该批飞机的用油率（单位：升／年）由下式给出：，其中表示飞机服役的年数（），该公司要一次性生产该批飞机一年以后所需的所有润滑油并在需要时分发出去，请问需要生产此润滑油多少升？解：（升）3．半径为的球沉入水中，其最高点与水面相接，球的密度为１，现将球从水中取出，问要做多少功？解：4．用不同的命令分别计算，并比较所得结果，说明哪一种近似计算方法所得结果更接近于实际值．习题6-11．求下列微分方程的阶数.（1）；解：二阶（2）；解：二阶（3）；解：一阶（4）；解：一阶（5）.解：一阶2.指出下列题目中的函数是否是所给微分方程的解.（1）；解：是（2）；解：是（3）；解：是（4）；解：是3.验证（其中C是任意常数）是微分方程的通解，并求出满足初始条件的特解.解：，4.写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程.（1）曲线在点处的切线斜率等于该点横坐标的平方；解：（2）曲线上点处的法线与x轴的交点为Q，且线段PQ被y轴平分.解：5.一质点由原点开始（t=0）沿直线运动，已知时刻t的加速度为，t=1时的加速度为，求位移x与时间t之间的关系.解：，且t=1时的加速度为，所以,又因为t=0时，，所以所以习题6-21.求下列微分方程的通解.（1）；解：两端积分得得（2）；解：得（3）；解：（4）；解：分离变量得，两端积分得，整理得，，即（5）；解：得：（6）。解：得2.求下列微分方程满足所给初值问题的特解.（1）；解：因为所以（2）；解：得cosy=Ccosx又因为，所以C=（3）；解：（4）;解：所以3.求下列齐次方程的解.（1）解：原方程可表示成,这是齐次方程.令,则,.原方程可转化为,两边积分得,进而得,或（2）；解：原方程可表示成,这是齐次方程.令,则,.原方程可转化为，两边积分解得：（3）解：方程可变形为，令，则代入方程得，分离变量得，两端积分化简得，将代入得通解为即（或）（4）；解：令，则，代入方程得分离变量得，两端积分整理得，即，将代入得，故所求特解为4.求下列一阶线性微分方程的解.（1）；解：，设是原方程的解，代入原方程得：所以原方程的解为：（2）；解：方程变形为，，故方程的通解为（3）；解：5.求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点处的切线斜率等于解：解：由题意得微分方程,,,故通解为，把代入得，所以曲线方程为6.一曲线通过点（2，3），它在两坐标轴之间的任意一切线段均被切点平分，求这曲线的方程.解：由已知的微分方程为，方程的通解为，将带入通解得,故所求曲线方程为。7.小船从河边点O出发驶向对岸（两岸为平行直线），设船速为a，船行方向始终与河岸垂直，又设河宽为h，河中任意一点处的水流速度与该店到两岸距离的乘积成正比（比例系数为k），求小船的行船路线.解：设动点为船的位置，则因为，所以：习题6-31.求下列微分方程的通解.（1）；解：，（2）；解：（3）；解：令，原方程化为，分离变量得，故，即，亦即，所以原方程的通解为.（4）；解：令，原方程化为，即，分离变量得，故，即，亦即，分离变量得，所以，即原方