高等数学下册第十章习题答案详解

高等数学下册第十章习题答案详解1.根据二重积分性质，比较与的大小，其中(1)表示以、、为顶点的三角形；(2)表示矩形区域.多元函数积分学 二重积分的概念与性质 二重积分的性质解：（1）区域D如图10-1所示，由于区域D夹在直线x+y=1与x+y=2之间，显然有图10-1从而故有所以（2）区域D如图10-2所示.显然，当时，有.图10-2从而ln(x+y)>1故有所以2.根据二重积分性质，估计下列积分的值：多元函数积分学 二重积分的概念与性质 二重积分的性质(1)，；(2)，；(3),.解：（1）因为当时，有,因而.从而故即而（σ为区域D的面积），由σ=4得.(2)因为，从而故即而所以（3）因为当时，所以故即而所以3.设为正常数，根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：多元函数积分学 二重积分的概念与性质 二重积分的性质(1)，；(2)，.解：（1）在几何上表示以D为底，以z轴为轴，以（0，0，a）为顶点的圆锥的体积，所以（2）在几何上表示以原点（0，0，0）为圆心，以a为半径的上半球的体积，故4.设为连续函数，求,.（提示：利用积分中值定理）多元函数积分学 二重积分的概念与性质 二重积分的性质解：因为f(x，y)为连续函数，由二重积分的中值定理得，使得又由于D是以（x0，y0）为圆心，r为半径的圆盘，所以当时，于是：5.画出积分区域，把化为累次积分：多元函数积分学 二重积分的概念与性质 二重积分的性质(1)；(2)；(3).解：（1）区域D如图10-3所示，D亦可表示为.所以(2)区域D如图10-4所示，直线y=x-2与抛物线x=y2的交点为（1，-1），（4，2），区域D可表示为.图10-3图10-4所以（3）区域D如图10-5所示，直线y=2x与曲线的交点(1，2)，与x=2的交点为(2，4),曲线与x=2的交点为（2，1），区域D可表示为图10-5所以.6.画出积分区域，改变累次积分的积分次序：多元函数积分学 二重积分的概念与性质 二重积分的性质(1)； (2)；(3)；(4)；(5).解：（1）相应二重保健的积分区域为D：如图10-6所示.图10-6D亦可表示为：所以(2)相应二重积分的积分区域D：如图10-7所示.图10-7D亦可表示为：所以(3)相应二重积分的积分区域D为：如图10-8所示.图10-8D亦可看成D1与D2的和，其中D1：D2：所以.(4)相应二重积分的积分区域D为：如图10-9所示.图10-9D亦可看成由D1与D2两部分之和，其中D1：D2：所以(5)相应二重积分的积分区域D由D1与D2两部分组成，其中D1：D2：如图10-10所示.图10-10D亦可表示为：所以7.设连续，且，其中是由直线及曲线所围成的区域，求.8.计算下列二重积分：多元函数积分学 二重积分的概念与性质 二重积分的性质(1)，；(2)，由抛物线,直线与所围；(3)，是以，，为顶点的三角形；(4)，.解：（1）(2)积分区域D如图10-12所示.图10-12D可表示为：所示(3)积分区域D如图10-13所示.图10-13D可表示为：所以9.计算下列二次积分：多元函数积分学 二重积分的计算 累次积分法(1)； (2).解：（1）因为求不出来，故应改变积分次序。积分区域D：0≤y≤1,y≤x≤，如图10-14所示。图10-14D也可表示为：0≤x≤1,x2≤y≤x.所以(2)因为求不出来，故应改变积分次序。积分区域D分为两部分，其中如图10-15所示：图10-15积分区域D亦可表示为：于是：10.在极坐标系下计算二重积分：多元函数积分学 二重积分的计算 换元法(1),;(2),为圆所围成的区域；(3),是由，及直线所围成的在第一象限内的闭区域；(4)，是由曲线所包围的闭区域.解：(1)积分区域D如图10-16所示：图10-16D亦可采用极坐标表示为：π≤r≤2π,0≤θ≤2π所以(2)积分区域D可用极坐标表示为：0≤r≤1,0≤θ≤2π.所以：(3)积分区域D如图10-17所示.图10-17D可用极坐标表示为：0≤θ≤,1≤r≤2.所以：(4)积分区域D如图10-18所示，图10-18D可用极坐标表示为：所以：11.将下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：多元函数积分学 二重积分的计算 换元法(1); (2);(3); (4).解：（1）积分区域D如图10-19所示.图10-19D亦可用极坐标表示为：所以：(2)积分区域D如图10-20所示.图10-20D可用极坐标表示为：于是：(3)积分区域D如图10-21所示.图10-21D也可用极坐标表示为：.于是：(4)积分区域D如图10-22所示.图10-22D可用极坐标表示为：于是:*12.作适当坐标变换，计算下列二重积分：多元函数积分学 二重积分的计算 1-3累次积分发 4-6换元法(1),其中是由在第一象限所围平面区域；(2)，；(3)，令；(4),;(5),;(6),.解：(1)积分区域D如图10-23所示：图10-23令xy=u,,则于是：(2)积分区域D如图10-24所示。图10-24令x+y=u,x-y=v,则且-1≤u≤1,-1≤v≤1.于是：（3）积分区域Dxy:0≤x≤1,1-x≤y≤2-x令x=v,x+y=u,则y=u-v积分区域Dxy变为Duv:0≤v≤1,1≤u≤2.且于是(4)令x=arcosθ,y=brsinθ则积分区域D变为Drθ：0≤θ≤2π,0≤r≤1,于是：(5)令x=rcosθ，y=rsinθ.即作极坐标变换，则D变为：0≤r≤3,0≤θ≤2π.于是：（6）积分区域D如图10-25所示：D可分为D1,D2∪D3,D4四个部分.它们可分为用极坐标表示为。图10-25D1:0≤θ≤π,0≤r≤2sinθ,D2∪D3:0≤θ≤π,2sinθ≤r≤2,D4:π≤θ≤2π,0≤r≤2于是：习题10-2*1.试讨论下列无界区域上二重积分的收敛性：多元函数积分学 反常二重积分 反常二重积分敛散性判别当时当时解：（1）当时当时故当m>1时，原积分收敛，当m≤1时发散。（2）由于被积函数是正的，并且关于x轴和y轴都对称，故由于,故积分当p>1时收敛，p<1时发散，p=1时显然也发散，因此.同理有：.由此可知仅当p>1且q>1时收敛，其他情形均发散。(3)由0<m<|φ(x,y)|≤M,可知积分与积分同时收敛同时发散。由于被积函数是正的，故由于，当0≤y≤1时，有(若p≥0),(若p<0),故(若p≥0),若p<0，则有相反的不等式。由于,故积分当时收敛，时发散，而时，由知积分也发散。由此可知：积分，从而积分当时收敛，当时发散。*2.计算积分多元函数积分学 反常二重积分 反常二重积分的计算解：由于而收敛，故收敛，从而，采用极坐标有：*3.试讨论下列无界函数的二重积分的收敛性：多元函数积分学 反常二重积分 反常二重积分敛散性判别法 (1);(2)解：(1)故当m<1时，原积分收敛，当m≥1时，原积分发散。（2）由于x2+xy+y2=(当(x,y)≠(0,0)时)故(当(x,y)≠(0,0)时)再注意到广义重积分收敛必绝对收敛，即知积分与同敛散。由于(当(x,y)≠(0,0)时)，采用极坐标即得而为常义积分，其值为有限数，而由此可知：原积分当p<1时收敛，当p≥1时发散。习题10-31.化三重积分为三次积分，其中积分区域分别是.(1)由双曲抛物面及平面所围成的闭区域；(2)由曲面及平面所围成的闭区域；(3)由曲面及所围成的闭区域；(4)由曲面，，所围成的在第一卦限内的闭区域.多元函数积分学 三重积分 三重积分的概念解：(1)积分区域Ω如图10-26所示，图10-26Ω可表示为：故(2)积分区域Ω如图10-27所示。图10-27Ω可表示为：故(3)由消去z得即，所以Ω在xOy面的投影区域为x2+y2≤1，如图10-28所示。图10-28Ω可表示为：-1≤x≤1,,x2+2y2≤z≤2-x2故(4)积分区域如图10-29所示。Ω可表示为：图10-29故2.在直角坐标系下计算三重积分：多元函数积分学 三重积分 三重积分的计算(1),其中是由曲面与平面，和所围成的闭区域；(2)，其中为平面所围的四面体；(3)，是两个球：和的公共部分；(4)，其中是由所围成；(5)，其中是由所围成；(6)，其中是由所围成.解：(1)积分区域Ω如图10-30所示。图10-30Ω可表示为：(2)积分区域Ω如图10-31所示，Ω可表示为：图10-31故(3)积分区域Ω如图10-32所示。图10-32由方程x2+y2+z2=R及x2+y2+z2=2Rz得两球的交线为：,且平面把积分区域Ω分为两部分，且积分区域Ω在z轴上的投影区间为[0,R],记过上任意一点z的平行于xOy面的平面与Ω相交的平面区域为D1(z),过上任意一点z的平行于xOy面的平面与Ω的相交的平面区域为D2(z)，则(4)积分区域Ω如图10-34所示。图10-34Ω可表示为：故(5)积分区域Ω如图10-35所示。图10-35Ω在y轴上的投影区间为[0,2]，故(6)积分区域Ω如图10-36所示。图10-36Ω可表示为：故3.如果三重积分的被积函数是三个函数的乘积，即，积分区域为，证明这个三重积分等于三个单积分的乘积，即.多元函数积分学 三重积分 三重积分的计算证：4.利用柱面坐标计算下列三重积分：多元函数积分学 三重积分 三重积分的计算(1)，其中是由曲面及所围成的闭区域；(2)，其中是由曲面及平面所围成的闭区域.图10-37解：(1)由及消去得,因而区域Ω在xOy面上的投影区域为,如图10-37所示，在柱面坐标系下：Ω可表示为：图10-37故(2)积分区域如图10-38所示，在柱面坐标系下，Ω可表示为图10-38图10-38故5.利用球面坐标计算下列三重积分：多元函数积分学 三重积分 三重积分的计算(1)，其中是由球面所围成的闭区域；(2)，其中由不等式所确定.解：（1）(2)积分区域Ω如图10-49所示，在球面坐标系下，Ω可表示为图10-39故图10-396.选用适当的坐标计算下列三重积分：多元函数积分学 三重积分 三重积分的计算(1)，其中为柱面及平面所围成的在第一卦限内的闭区域；(2)，其中是由球面所围成的闭区域；(3)，其中是由曲面及平面所围成的闭区域；(4)，其中由不等式所确定.解：（1）积分区闭Ω如图10-40所示.利用柱面坐标计算，Ω在柱面坐标系下表示为：图10-40,0≤r≤1，0≤z≤1,故本题也可采用直角坐标计算，在直角坐标系下，Ω可表示为：故(2)积分区域Ω如图10-41所示。用球面坐标计算，在球面坐标系下Ω可表示为：图10-41故(3)积分区域Ω如图10-42所示。利用柱面坐标计算，在柱面坐标系下，Ω可表示为：图10-42故(4)积分区域如图10-43所示。利用球面坐标计算，在球面坐标系下，Ω可表示为：图10-43故习题10-41.球心在原点、半径为的球体，在其上任意一点的密度的大小与这点到球心的距离成正比，求这球体的质量.多元函数积分学 重积分的应用 物体的质量解：利用球面坐标计算：Ω：则2.求球面含在圆柱面内部的那部分面积.多元函数积分学 重积分的应用 空间曲面的面积解：如图10-44所示：图10-44上半球面的方程为，由得由对称性知3.求锥面被柱面所割下部分的曲面面积.多元函数积分学 重积分的应用 空间曲面的面积解：由z2=x2+y2,z2=2x两式消去z得x2+y2=2x，则所求曲面在xOy面上的投影区域D为：x2+y2≤2x,而故所求曲面的面积为.4.求底圆半径相等的两个直交圆柱面及所围立体的表面积.多元函数积分学 重积分的应用 空间曲面的面积解：由对称性知，所围立体的表面积等于第一卦限中位于圆柱面x2+y2=R2内的部分面积的16倍，如图10-45所示。图10-45这部分曲面的方程为，于是所求面积为.5.设薄片所占的闭区域如下，求均匀薄片的重心.多元函数积分学 重积分的应用 平面薄片的重心(1)由，所围成；(2)是半椭圆形闭区域：，；(3)是介于两个圆之间的闭区域.解：(1)闭区域D如图10-46所示。图10-46闭区域D的面积A为所求重心为.(2)因为闭区域D对称于y轴，所以=0,又闭区域D的面积。.所以：所求重心为.(3)闭区域D如图10-47所示：图10-47由于闭区域D关于x轴对称，所以,又故所求重心为6.设平面薄片所占的闭区域由抛物线及直线所围成，它在点处的面密度，求该薄片的重心.多元函数积分学 重积分的应用 平面薄片的重心解：闭区域D如图10-48所示：图10-48薄片的质量为从而所求重心为.7.设有一等腰直角三角形薄片，腰长为，各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的平方，求这薄片的重心.多元函数积分学 重积分的应用 平面薄片的重心解：建立直角坐标系如图10-49所示。图10-49由已知ρ(x,y)=x2+y2,且从而即所求重心为.8.设均匀薄片(面密度为常数1)所占闭区域如下，求指定的转动惯量：多元函数积分学 重积分的应用 平面薄片的转动惯量(1)，求；(2)由抛物线与直线所围成，求和；(3)为矩形闭区域：，求和解：（1）令x=arcosθ,y=brsinθ,则在此变换下D：变化为：r≤1,即0≤r≤1,0≤θ≤2π,且,所以(2)闭区域D如图10-50所示图10-50(3)9.已知均匀矩形板(面密度为常量)的长和宽分别为和，计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量.多元函数积分学 重积分的应用 平面薄片的转动惯量解：取形心为原点，取两旋转轴为坐标轴，建立坐标系如图10-51所示.图10-5110.求直线与坐标围成的三角区域对轴及坐标原点的转动惯量(面密度为常数).多元函数积分学 重积分的应用 平面薄片的转动惯量解：所围三角区域D如图10-52所示：图10-5211.求由抛物线及直线所围成的均匀薄片(面密度为常数)对于直线的转动惯量.多元函数积分学 重积分的应用 平面薄片的转动惯量图10-53解：习题10-5计算下列对弧长的曲线积分：多元函数积分学 重积分的应用 对弧长的曲线积分(1)，其中为圆周；(2)，其中为连接及两点的直线段；(3)，其中为由直线及抛物线所围成的区域的整个边界；(4),其中为圆周，直线及轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；(5)，其中Γ为曲线上相应于从0变到2的这段弧；解：(1).(2)L的方程为y=1-x（0≤x≤1）.(3)L由曲线L1：y=x2(0≤x≤1),及L2：y=x(0≤x≤1)组成（如图10-54所示）。图10-54故（4）如图10-55所示，L=L1+L2+L3图10-55其中L1：y=0(0≤x≤a)，从而L2:x=acost,y=asint,0≤t≤故L3:y=x(0≤x≤a).故所以(5)习题10-61.计算曲面积分，其中为抛物面在面上方的部分，分别如下：多元函数积分学 重积分的应用 对面积的曲面积分(1)； (2)；(3).解：抛物面z=2-(x2+y2)与xOy面的交线是xOy面上的圆x2+y2=2，因而曲面在xOy面上的投影区域Dxy:x2+y2≤2,且ds=故(1)(2)(3)2.计算，其中是：多元函数积分学 重积分的应用 对面积的曲面积分 (1)锥面z=及平面所围成的区域的整个边界曲面；(2)锥面被平面和所截得的部分.解：（1），其中:故.因此(2)所截得锥面为故.3.计算下列对面积的曲面积分：多元函数积分学 重积分的应用 对面积的曲面积分(1)，其中为平面在第卦限中的部分；(2)，其中为平面在第卦限中的部分；(3)，其中为球面上的部分；(4)，其中为锥面被柱面所截得的有限部分；(5),其中为上半球面.解：（1）(如图10-56所示)图10-56故(2):z=6-2x-2y(如图10-57所示)。图10-57故(3)且其在xOy面上的投影为Dxy:x2+y2≤a2-h2且故.(4)故(5)Dxy:x2+y2≤R2故4.求抛物面壳的质量，此壳的面密度大小为.多元函数积分学 重积分的应用 物体的质量解：5.求面密度为的均匀半球壳对于轴的转动惯量多元函数积分学 重积分的应用 平面薄片的转动惯量解：习题十填空题：（1）二次积分的值等于多元函数积分学 二重积分的计算 累次积分法 （2）设则二重积分的值是多元函数积分学 二重积分的概念与性质 换元法（3）设则多元函数积分学 三重积分 三重积分的计算(4)已知曲线（5）设选择题：（1）设在矩形区域上有二阶连续偏导数，则二重积分的值为（B） 多元函数积分学 二重积分的概念与性质 二重积分的性质 （2）如图所示，正方形被其对角线划分为四个区域(A) 多元函数积分学 二重积分 二重积分的性质（3）设为上的连续函数，则有（）. 多元函数积分学 三重积分 三重积分的计算(4)设连续函数，则等于（C）多元函数积分学 二重积分的计算 换元法 (5)设连续函数，则等于（B） 多元函数积分学 二重积分的概念与性质 二重积分的定义设区域计算二重积分多元函数积分学 二重积分的计算 换元法解：函数是变量的偶函数，函数是变量的奇函数.则故.计算二次积分。多元函数积分学 二重积分的计算 累次积分解：交换积分次序有.设区域计算二重积分多元函数积分学 二重积分的计算 换元法解：在极坐标下积分区域为，所以.已知函数具有二阶连续偏导数，且其中，计算二重积分 多元函数积分学 二重积分的计算 累次积分解：于是，7.设表示不超过的最大整数，计算二重积分 多元函数积分学 二重积分的计算