北京房山区第二职业中学高一数学理下学期摸底试题含解析

北京房山区第二职业中学高一数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.数列1,3,7,15,…的一个通项公式是（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】根据所给数据的特点，归纳出一个通项公式即可．【详解】经过观察，，，，，……故推测，故选D．【点睛】本题主要考查了归纳法得到数列的通项公式，属于基础题．2.对于实数m，n定义运算“⊕”：m⊕n=，设f（x）=（2x﹣1）⊕（x﹣1），且关于x的方程f（x）=a恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是（） A．（﹣，0） B．（﹣，0） C．（0，） D．（0，）参考答案：A【考点】函数的零点与方程根的关系． 【专题】综合题；函数的性质及应用． 【分析】由新定义，可以求出函数的解析式，进而求出x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根时，实数m的取值范围，及三个实根之间的关系，进而求出x1x2x3的取值范围． 【解答】解：由2x﹣1≤x﹣1，得x≤0，此时f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1）=﹣（2x﹣1）2+2（2x﹣1）（x﹣1）﹣1=﹣2x， 由2x﹣1＞x﹣1，得x＞0，此时f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1）=（x﹣1）2﹣（2x﹣1）（x﹣1）=﹣x2+x， ∴f（x）=（2x﹣1）⊕（x﹣1）=， 作出函数的图象可得， 要使方程f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，不妨设x1＜x2＜x3， 则0＜x2＜＜x3＜1，且x2和x3，关于x=对称， ∴x2+x3=2×=1．则x2+x3≥2，0＜x2x3＜，等号取不到． 当﹣2x=时，解得x=﹣， ∴﹣＜x1＜0， ∵0＜x2x3＜， ∴﹣＜x1x2x3＜0， 即x1x2x3的取值范围是（﹣，0）， 故选：A． 【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，根据已知新定义，求出函数的解析式，并分析出函数图象是解答的关键． 3.设，向量且，则A．

B. C.

D.10参考答案：B由题意可知：，则，

4.设min{p，q，r}为表示p，q，r三者中较小的一个，若函数f（x）=min{x+1，﹣2x+7，x2﹣x+1}，则不等式f（x）＞1的解集为（）A．（0，2） B．（﹣∞，0） C．（1，+∞） D．（1，3）参考答案：D【考点】函数的图象．【分析】由题意得f（x）=，作出函数f（x）的图象如图所示，根据图象可得答案．【解答】解：由题意得f（x）=，作出函数f（x）的图象如图所示，则f（x）＞1的解集为（1，3）．故选：D．5.一个几何体的三视图及尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，该几何体的表面积是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D解：根据三视图可知该几何体是半个圆锥躺放在平面上，可知底面半径为2，高为，母线长为6，这样可以得到该几何体的表面积为

6.阅读如右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是(

)

A．2

B．3

C．4

D．5参考答案：C略7.定义行列式运算，将函数的图象向左平移t（t＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则t的最小值为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据已知中行列式运算，我们易写出函数的解析式，利用辅助角公式，可将函数的解析式化为正弦型函数的形式，结合函数f（x）的图象向左平移t（t＞0）个单位后图象对应的函数为偶函数，易得平移后，初相角的终边落在y轴上，写出满足条件的t的取值，即可得到答案．【解答】解：∵，∴=cos2x﹣sin2x=2sin（2x+）将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向左平移t（t＞0）个单位后可以得到函数f（x）=2sin（2x++2t）的图象则所得图象对应的函数为偶函数，则+2t=+kπ，k∈N*当k=1时，t取最小值为故选C8.函数的定义域为()A．(1,3]

B．(1,2)∪(2,3]

C．(1,9]

D．(1,2)∪(2,9]参考答案：D9.设，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A10.若2弧度的圆心角所对的弧长为2cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是（）A．4cm2 B．2cm2 C．4πcm2 D．1cm2参考答案：D【考点】扇形面积公式．【分析】结合弧长公式，求圆的半径，再利用扇形的面积公式，可得结论．【解答】解：弧度是2的圆心角所对的弧长为2，所以根据弧长公式，可得圆的半径为1，所以扇形的面积为：×2×1=1cm2，故选D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的图象过点，则的值为

．参考答案：212.等比数列的各项均为正数，且，则

。参考答案：513.若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为．参考答案：【考点】H2：正弦函数的图象；H7：余弦函数的图象．【分析】设x=a与f（x）=sinx的交点为M（a，y1），x=a与g（x）=cosx的交点为N（a，y2），求出|MN|的表达式，利用三角函数的有界性，求出最大值．【解答】解：设x=a与f（x）=sinx的交点为M（a，y1），x=a与g（x）=cosx的交点为N（a，y2），则|MN|=|y1﹣y2|=|sina﹣cosa|=|sin（a﹣）|≤．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的图象与性质，在解决三角函数周期等问题时，我们往往构造函数，利用函数的图象解题．14.已知是三个不同的平面，命题“且”是真命题，如果把中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有▲个；参考答案：2

略15.在△ABC中，若，则等于

．参考答案：2【考点】HP：正弦定理．【分析】首先根据正弦定理可得：a=2sinA，b=2sinB，c=2sinC，然后化简所求即可得解．【解答】解：由正弦定理可得：==2，可得：a=2sinA，b=2sinB，c=2sinC，则==2，故答案为：2．16.已知函数

则f(1),f(2)，c三者之间的大小关系为

参考答案：17.已知是第二象限的角，，则

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知，求的值．参考答案：【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据诱导公式化解后，即可计算的值．【解答】解：由==2cosα．则=2cos（）=2cos（）=．19.已知三棱锥P-ABC，底面ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形，PA⊥AC，BA=BC=PA=2，二面角P-AC-B的大小为120°.（1）求直线PC与平面ABC所成角的大小；（2）求二面角P-BC-A的正切值.参考答案：解（Ⅰ）过点P作PO⊥底面ABC，垂足为O，连接AO、CO，则∠为所求线面角，，平面.则∠PAO为二面角P-AC-B平面角的补角∴∠，又，，直线PC与面ABC所成角的大小为30°.

（Ⅱ）过作于点,连接，则为二面角P-BC-A的平面角，平面,,设与相交于,在中，则二面角P-BC-A的正切值为.

20.（12分）已知O为坐标原点，向量=（sinα，1），=（cosα，0），=（﹣sinα，2），点P满足=（1）记f（α）=?，α∈（﹣，），求函数f（α）的值域；（2）若O，P，C三点共线，求|+|的值．参考答案：考点： 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．分析： （1）设出P的坐标，由向量的坐标得到点的坐标，再由点的坐标求出所用向量的坐标，结合=求出P的坐标，代入f（α）=?化简，由α的范围可求函数f（α）的值域；（2）由O，P，C三点共线，由向量共线的充要条件求出tanα的值，结合|+|=，利用万能公式，代入即可求出|+|的值．解答： （1）设点P的坐标为（x，y），∵=（sinα，1），=（cosα，0），=（﹣sinα，2），∴A（sinα，1），B（cosα，0），C（﹣sinα，2），∴=（cosα﹣sinα，﹣1），=（x﹣cosα，y），由=，得cosα﹣sinα=x﹣cosα，y=﹣1．∴x=2cosα﹣sinα，y=﹣1，∴点P的坐标为（2cosα﹣sinα，﹣1），∴，．则f（α）=?=2sinαcosα﹣2sin2α+1=sin2α+cos2α=．∵α∈（﹣，），∴，∴f（α）∈（﹣1，]；（2）∵O，P，C三点共线，∴﹣1×（﹣sinα）=2×（2cosα﹣sinα），∴tanα=，∴sin2α=，∴|+|=．点评： 本题考查的知识点是平面向量数量积的坐标表示，正弦型函数的单调性，两角和与差的正弦，二倍角的正弦，二倍角的余弦，三点共线，解题的关键是根据向量共线的充要条件求出tanα的值，是中档题．21.已知函数f（x）=x﹣．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明；（2）用定义证明函数f（x）在区间[1，+∞）上为增函数；（3）若函数f（x）在区间[2，a]上的最大值与最小值之和不小于，求a的取值范围．参考答案：【考点】函数奇偶性的性质；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）判断出函数是奇函数再证明，确定函数定义域且关于原点对称，利用奇函数的定义可判断；（2）判断函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，证明按照取值、作差、变形定号、下结论步骤即可；（3）根据（2）的结论得函数在区间[2，a]上的单调性，再求出最大值、最小值，根据条件列出不等式求出a得范围．【解答】解：（1）函数是奇函数．…∵定义域：（﹣∞，0）∪（0，+∞），定义域关于原点对称，…且

…∴函数是奇函数．…（2）证明：设任意实数x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2

…则﹣（）══==

…∵x1＜x2，x1，x2∈[1，+∞）∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0，x1x2+1＞0，…∴＜0

…∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）

…∴函数f（x）在区间[1，+∞）上为增函数．…（3）∵[2，a]?[1，+∞）∴函数f（x）在区间[2，a]上也为增函数．…∴，

…若函数f（x）在区间[2，a]上的最大值与最小值之和不小于，则

…解得a≥4，∴a的取值范围是[4，+∞）．…22.（9分）经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量（件）与价格（元）均为时间t（天）的函数，且销售量近似满足g（t）=80﹣2t（件），价格近似满足f（t）=20﹣|t﹣10|（元）．（1）试写出该种商品的日销售额y与时间t（0≤t≤20）的函数关系表达式；（2）求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．参考答案：考点： 分段函数的应用；函数解析式的求解及常用方法．专题： 计算题；应用题；分类讨论；函数的性质及应用．分析： （1）根据y=g（t）?f（t），可得该种商品的日销售额y与时间t（0≤t≤20）的函数表达式；（2）分段求最值，可求该种商品的日销售额y的最大值和最小值．解答： （1）依题意，可得：，所以；（2）当0≤t≤10时，y=（30+t）（40﹣t）=﹣（t﹣5）2+1225，y的取值范围是，在t=5时，y取得最大值为1225；当10＜t≤20时，=（50﹣t）（40﹣t）=（t﹣45）2﹣25，y的取值范围是解答： （1）∵f（﹣x）=a﹣x﹣ax=﹣f（x），∴f（x）是定义域为R的奇函数，∵f（x）=ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1），且f（1）＜0，∴，又∵a＞0，且a≠1，∴0＜a＜1．∵ax单调递减，a﹣x单调递增，∴f（x）在R上单调递减．不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0化为：f（x2+tx）＜f（x﹣4），∴x2+tx＞x﹣4，即x2+（t﹣1）x+4＞0恒成立，∴△=（t﹣1）2﹣16＜0，解得：﹣3＜t＜5．（2）∵f（1）=，∴，即2a2﹣3a﹣2=0．∴