浙江省绍兴市新昌县澄潭中学高三数学理期末试卷含解析

浙江省绍兴市新昌县澄潭中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A． B．4 C． D．6参考答案： B【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【专题】计算题；数形结合；空间位置关系与距离；立体几何．【分析】由已知中的三视图，求出棱锥的底面积和高，进而可得棱锥的体积．【解答】解：由已知中的三视图，可得：棱锥的底面积S=×2×4=4；高h=×2=，故棱锥的体积V==4，故选：B．【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．2.复数的共轭复数是

A． B．— C．i

D．—i参考答案：D由，∴的共轭复数为-i,选D.3.已知双曲线，则该双曲线的渐近线方程为（）A．9x±4y=0 B．4x±9y=0 C．3x±2y=0 D．2x±3y=0参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用双曲线方程的性质求解．【解答】解：双曲线的渐近线方程为：=0，整理，得：2x±3y=0．故选：D．【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线简单性质的合理运用．4.六个人从左到右排成一列，其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法总数有（）A．48种 B．384种 C．432种 D．288种参考答案：C【考点】计数原理的应用．【专题】应用题；方程思想；综合法；排列组合．【分析】首先分析题目甲、乙两人至少有一人在两端的排法，此题适合从反面考虑，然后求出甲、乙两人没有一人在两端的排法，进而用总的排法减去它即可得到答案．【解答】解：此题可以从反面入手：甲、乙两人没有一人在两端，即甲、乙排在中间4个位置，故有A42种，剩下4人随便排即可，则有A44种排法，因为6个人排成一排一共有A66种排法，所以甲、乙两人至少有一人在两端的排法有A66﹣A42A44=432．故选：C．【点评】此题主要考查排列组合及简单的计数原理的问题，象这种见到至少、至多字眼时一般利用正难则反的思想．此类排队或者排数问题在高考中属于重点考查内容，希望同学们多多掌握．5.设偶函数，当时，，则

A．

B．

C．

D．

参考答案：B6.下列叙述中，正确的个数是（）①命题p：“?x∈[2，+∞），x2﹣2≥0”的否定形式为￢p：“?x∈（﹣∞，2），x2﹣2＜0”；②O是△ABC所在平面上一点，若?=?=?，则O是△ABC的垂心；③在△ABC中，A＜B是cos2A＞cos2B的充要条件；④函数y=sin（2x+）sin（2x）的最小正周期是π．A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B【考点】命题的真假判断与应用．【分析】求出命题p的否定形式可判断①，由已知条件得到OB⊥AC，同理可得O是△ABC三条高线的交点可判断②，由二倍角公式和正弦定理可判断③，直接求出函数y=sin（2x+）sin（2x）的最小正周期可判断④．【解答】解：对于①，命题p：“?x∈[2，+∞），x2﹣2≥0”的否定形式为￢p：“?x∈[2，+∞），x2﹣2＜0”，故①错误；对于②，由?=?，得到，又，得，可得OB⊥AC，因此，点O在AC边上的高BE上，同理可得：O点在BC边上的高AF和AB边上的高CD上，即点O是△ABC三条高线的交点，因此，点O是△ABC的垂心，故②正确；对于③，在△ABC中，cos2A＞cos2B?1﹣2sin2A＞1﹣2sin2B?sin2A＜sin2B?sinA＜sinB?a＜b?A＜B，∴“A＜B”是“cos2A＞cos2B”的充要条件，故③正确；对于④，y=sin（2x+）sin（2x）=，∴T==，故④错误．∴正确的个数是：2．故选：B．7.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a，b，c，已知，,则角A=（

）A．30° B．60° C．120° D．150°参考答案：A8.已知i是虚数单位，a，b∈R，且，则a＋b＝（A）1 （B）－1 （C）－2 （D）－3参考答案：D略9.是虚数单位，等于A.

B.

C.1

D.－1参考答案：D略10.已知直线l1是抛物线C：y2=8x的准线，P是C上的一动点，则P到直线l1与直线l2：3x﹣4y+24=0的距离之和的最小值为（）A．

B． C．6 D．参考答案：C【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】由题意可知：点P到直线3x﹣4y+24=0的距离为丨PA丨，点P到x=﹣2的距离为丨PB丨，则点P到直线l2：3x﹣4y+24=0和x=﹣2的距离之和为丨PF丨+丨PB丨，当A，P和F共线时，点P到直线l2：3x﹣4y+24=0和直线x=﹣2的距离之和的最小，利用点到直线的距离公式，即可求得答案．【解答】解：由抛物线的方程，焦点F（2，0），准线方程x=﹣2，根据题意作图如右图，点P到直线l2：3x﹣4y+24=0的距离为丨PA丨，点P到x=﹣2的距离为丨PB丨；而由抛物线的定义知：丨PB丨=丨PF丨，故点P到直线l2：3x﹣4y+24=0和x=﹣2的距离之和为丨PF丨+丨PA丨，而点F（2，0），到直线l2：3x﹣4y+24=0的距离为=6，P到直线l2：3x﹣4y+24=0和直线x=﹣2的距离之和的最小值：6，故选：C．【点评】本题考查抛物线的定义的应用及简单几何性质，考查点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.________________.参考答案：【分析】本题考察基本的定积分运算，难度不大，但同样可以从两个角度入手，其一就是常规的定积分运算，其二就是利用定积分的几何含义进行分析【解】方法一：，故填.方法二：由于定积分性质可知，对于奇函数，若积分对应的区间关于原点对称，那么积分的结果一定为（通过图像也可以判别），故填.12.已知椭圆的左右焦点分别为,离心率为,直线,为点关于直线对称的点,若为等腰三角形,则的值为

▲．参考答案：13.已知x，y∈R+，且满足x+2y=2xy，那么3x+4y的最小值为

．参考答案：5+2

【考点】基本不等式．【分析】由正数x，y满足x+2y=2xy，得到+=1，再利用基本不等式即可求出．【解答】解：由正数x，y满足x+2y=2xy，∴+=1，∴3x+4y=（3x+4y）（+）=3+2++≥5+2=5+2，当且仅当x=，y=时取等号，故3x+4y的最小值为：，故答案为：5+214.若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是．参考答案：6【考点】集合的相等．【分析】利用集合的相等关系，结合①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，即可得出结论．【解答】解：由题意，a=2时，b=1，c=4，d=3；b=3，c=1，d=4；a=3时，b=1，c=4，d=2；b=1，c=2，d=4；b=2，c=1，d=4；a=4时，b=1，c=3，d=2；∴符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6个．15.则关于x的不等式：的解集是_______________.

参考答案：略16.在直角坐标系xOy中，已知A（-1，0），B（0，1），则满足且在圆上的点P的个数为

▲

．参考答案：2略17.给出下列命题：①若函数的一个对称中心是，则的值等;②函数；③若函数的图象向左平移个单位后得到的图象与原图像关于直线对称，则的最小值是；④已知函数，若

对任意恒成立，则：其中正确结论的序号是

参考答案：①③④三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，AB=2，BC=2，点P在底面上的射影在AC上，E，F分别是AB，BC的中点．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PAC；（Ⅱ）在PC边上是否存在点M，使得FM∥平面PDE？若存在，求出的值；不存在，请说明理由．参考答案：【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）由题意和向量法可证AC⊥DE，再由题意和线面垂直的性质可得DE⊥平面PAC；（Ⅱ）当点M在PC边上且满足=3时，FM∥平面PDE，作MN∥PD交CD与N，连接NF，可证平面MNF∥平面PDE，由面面平行的性质可得．【解答】（Ⅰ）证明：由题意可得||=2，||=2，且⊥，∴=+，=﹣=﹣，∴?=（+）?（﹣）=﹣?﹣=﹣?﹣=×8﹣0﹣4=0，∴⊥，即AC⊥DE，又点P在底面上的射影在AC上，∴平面PAC⊥平面ABCD，又AC为平面PAC与平面ABCD的交线，DE?平面ABCD，∴DE⊥平面PAC；（Ⅱ）当点M在PC边上且满足=3时，FM∥平面PDE，下面证明：作MN∥PD交CD与N，连接NF，在底面矩形中可证NF∥DE，由MN∥PD可得MN∥平面PDE，由NF∥DE可得NF∥平面PDE，再由MN和NF相交可得平面MNF∥平面PDE，又MF?平面MNF，∴FM∥平面PDE．【点评】本题考查直线和平面平行和垂直的判定，作辅助线是解决问题的关键，属中档题．19.已知椭圆的右焦点为，右顶点为，离心离为，点满足条件．（Ⅰ）求的值．（Ⅱ）设过点的直线与椭圆相交于、两点，记和的面积分别为、，求证：．参考答案：见解析解：（Ⅰ）∵椭圆的方程为，∴，，，∴，，，∵，∴．（Ⅱ）若直线的斜率不存在，则有，，符合题意，若直线的斜率存在，设直线的方程为，，，由，得，可知恒成立，且，，∵，∴，∵和的面积分别为：，，∴．20.已知函数f（x）=x2，g（x）=elnx．（Ⅰ）设函数F（x）=f（x）﹣g（x），求F（x）的单调区间；（Ⅱ）若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m，对x∈R恒成立，且g（x）≤kx+m，对x∈（0，+∞）恒成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”，试问：f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程，若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）在定义域内解不等式F′（x）＞0，F′（x）＜0可得函数的单调区间；（Ⅱ）由（I）可知，当x=时，F（x）取得最小值F（）=0，则f（x）与g（x）的图象在x=处有公共点（，）．假设f（x）与g（x）存在“分界线”，则其必过点（，）．故设其方程为：y﹣=k（x﹣），由f（x）≥kx+﹣k对x∈R恒成立，可求得k=，则“分界线“的方程为：y=．只需在证明g（x）≤对x∈（0，+∞）恒成立即可；【解答】解：（I）由于函数f（x）=，g（x）=elnx，因此，F（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣elnx，则F′（x）=x﹣==，x∈（0，+∞），当0＜x＜时，F′（x）＜0，∴F（x）在（0，）上是减函数；当x＞时，F′（x）＞0，∴F（x）在（，+∞）上是增函数；因此，函数F（x）的单调减区间是（0，），单调增区间是（，+∞）．（II）由（I）可知，当x=时，F（x）取得最小值F（）=0，则f（x）与g（x）的图象在x=处有公共点（，）．假设f（x）与g（x）存在“分界线”，则其必过点（，）．故设其方程为：y﹣=k（x﹣），即y=kx+﹣k，由f（x）≥kx+﹣k对x∈R恒成立，则对x∈R恒成立，∴=4k2﹣8k+4e=e（k﹣）2≤0成立，因此k=，“分界线“的方程为：y=．下面证明g（x）≤对x∈（0，+∞）恒成立，设G（x）=elnx﹣x+，则G′（x）==，∴当0＜x＜时，G′（x）＞0，当x＞时，G′（x）＜0，当x=时，G（x）取得最大值0，则g（x）≤x对x∈（0，+∞）恒成立，故所求“分界线“的方程为：y=．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调区间、最值及恒成立问题，考查转化思想，探究性题目往往先假设成立，再做一般性证明．21.（13分）已知矩形纸片ABCD中，AB=6，AD=12，将矩形纸片的右下角折起，使该角的顶点B落在矩形的边AD上，且折痕MN的两端点，M、N分别位于边AB、BC上，