第2章等式与不等式单元复习热考题型

等式与不等式本章知识综合运用知识网络知识网络不等式的性质题型一【例题1】（1）下列结论正确的是不等式的性质题型一A.若a>b，则ac2>bc2B.若a2>b2，则a>bC.若a>b，c<0，则a＋c<b＋cD.若eq\r(a)<eq\r(b)，则a<b【答案】D【解析】选项A中，当c＝0时不符，所以A项错；选项B中，当a＝－2，b＝－1时，符合a2>b2，不满足a>b，B项错；选项C中，a＋c>b＋c，所以C项错；选项D中，因为0≤eq\r(a)<eq\r(b)，由不等式的可乘方性，(eq\r(a))2<(eq\r(b))2，即a<b.故选D.（2）(2020·四川成都高三二诊)已知a,b∈R,条件甲:a>b>0,条件乙:1a<1b,则甲是乙的((A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件【答案】A【解析】条件乙:1a<1b,即为1a1b若条件甲:a>b>0成立,则条件乙一定成立;反之,当条件乙成立,则0>a>b也可以,但是此时不满足条件甲:a>b>0,所以甲是乙成立的充分不必要条件,故选A.(3)若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是A.A≤B B.A≥BC.A<B或A>B D.A>B【答案】B【解析】∵A－B＝a2＋3ab－(4ab－b2)，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(b,2)))2＋eq\f(3,4)b2≥0，∴A≥B.【变式11】（2023·上海长宁·上海市延安中学校考三模）如果a<0<b，那么下列不等式中正确的是（A．a>b BC．a2<b【答案】D【详解】对于A中，若a=-1,b=2，则a对于B中，当a<0时，-a无意义，故对于C中，a2-b2=(但a+b不确定，所以a2与b对于D中，1a-1b=b-所以1a-1b=b故选：D.【变式12】（2022秋·上海静安·高一上海市回民中学校考期中）已知三个不等式：（1）ab<0；（2）bc<ad；（3）cA．0 B．1C．2 D．3【答案】D【详解】由ab<0与bc<ad将bc<ad两边同除ab，得到由ab<0与ca>ca>db，则ca-db>0由bc<ad与caca>db，则ca-db>0综上，共有3个真命题.故选：D.【变式13】已知b>0，且-4b≤a【答案】-【分析】设9a-c=ma-c+n4a【详解】由-4b≤令9a-c所以m+4n=9所以9a将-4b≤a-c将-b≤4a-c≤5两式相加可得：53即-b因为b>0，所以-所以9a-c故答案为：-1,20【变式14】设a>b>0，比较a【答案】a【分析】先判断两个式子的符号，然后利用作商法与1进行比较即可.【详解】∵a∴a∴a∴a【变式15】设a，b，c∈R【答案】证明见解析【分析】作差法比较大小，证得不等式成立.【详解】依题意x==bb+cx2=bb+cx-a当且仅当bb所以x2方法点拨方法点拨不等式及其性质的两个关注点(1)作差法是比较两个实数大小的基本方法.(2)应用不等式的基本性质可以证明不等式，但一定要注意应用条件；当判断不等式是否成立时，也常常选择特殊值法.不等式的解法不等式的解法题型题型二【例题2】解下列不等式：(1)-x(2)x-(3)x【答案】(1)1≤(2)x≤0或(3)x≤-2或【分析】（1）根据一元二次不等式的解法即可；（2）分类讨论即可求解不等式；（3）移项通分得到不等式组，解出即可.【详解】（1）-xx2所以解为1≤（2）当x<1时，不等式可化为-此时不等式解为x≤0当1≤x≤3时，不等式可化为此时不等式无解；当x>3时，不等式可化为x此时不等式解为x≥4综上：原不等式的解为x≤0或x（3）原不等式可化为2x与(2x所以不等式的解为：x≤-2或x【变式21】（2023秋·上海徐汇·高一上海市第四中学校考阶段练习）设x1，x2是方程x2+【答案】2023【分析】由根与系数关系及根的性质求目标式的值即可.【详解】由题设x1+x所以x1故答案为：2023【变式22】（1）（2023秋·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）不等式3x<1的解集为【答案】(-【分析】将不等式化为x(x【详解】由3x-1=3-xx<0所以不等式解集为x∈(-故答案为：(-（2）（2020秋·上海浦东新·高一上海市进才中学校考阶段练习）不等式|x-1|+【答案】(-【分析】原不等式等价于|x-1|>x【详解】原不等式等价于|x-1|>当x≥1时，|x当x<1时，|则原不等式解集为：(-∞故答案为：(-（3）解不等式：(1)-x(2)x+1（3）2x（4）x+【答案】(1)x(2)x54≤x<2（3）(-2,0)∪(1,+∞)【详解】（1）-x2+4x+5>0可化为x∴原不等式的解集为x∣-1<（2）x⇔∴原不等式的解集为x5（3）∵2x∴x>02<x解得：x>1或-原不等式的解集为(-2,0)∪(1,+∞)（4）由|x得x·1x+1<0∴原不等式的解集为(-1,0)．【变式23】（2023春·上海宝山·高一上海交大附中校考期中）已知集合A=x|x-【答案】[1,3).【分析】解含绝对值符号的不等式化简集合A，解分式不等式化简集合B，再利用交集的定义求解作答.【详解】依题意，解不等式|x-2|≤1，得-1≤x解不等式x-3x+1<0，得(所以A∩【变式24】（2023秋·上海徐汇·高一位育中学校考期末）已知全集为R，集合A=x|【答案】[－2，－1）【分析】分别求出集合A,B,进而求出【详解】因为A=x|3x+1≤1所以B=所以A∩【变式25】关于x的方程x2+(m(1)有两个正根；(2)一个根大于1，一个根小于1；(3)一个根在(-2,0)内，另一个根在(0,4)内；(4)一个根小于2，一个根大于4；(5)两个根都在(0,2)内．【答案】(1)0<(2)m(3)-(4)m(5)2【分析】根据二次方程根的分布的性质逐一解决每个小问.【详解】（1）令f(x)=x2由题得x1+x（2）若方程x2+(m-3)x+（3）若方程x2+(m-3)x+m（4）若方程x2+(m-3)则f(2)=3m（5）若方程x2+(m-3)x含参数不等式的解法含参数不等式的解法题型题型三【例题3】(1)若不等式ax2＋5x－2>0的解集是x1求求a的值；【答案】1）a=2；2）{x▏2<x<1}.(2)解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.【变式31】解关于x的不等式：(1)a(2)(【答案】(1)详见解析；(2)详见解析.【分析】（1）分解因式并含参讨论解不等式即可；（2）将分式不等式化为整式不等式，含参讨论即可.【详解】（1）ax若a=0，ax-2若a≠0，则不等式可化为：①若a<0，则2a<2，解不等式得x②若a∈0,1，则2a③若a=1，则x-2④若a>1，则2a<2综上所述：a=0时，不等式的解集为2,+∞；a<0a∈0,1时，不等式的解集为2,2a；a=1时，不等式的解集为∅（2）由(a若a=1，则x-2若a≠1，原不等式可化为：若a>1，则a-2a-若0<a<1，则a-若a=0，则-x+2若a<0，则a-2综上所述：当a>1时，不等式的解集为-∞,a-当0<a<1时，不等式的解集为2,a-2a-1；当【变式32】（2022秋·海南·高一校考期中）已知不等式ax2+bx+c≤0的解集为x【答案】x【分析】由不等式的解集与不等式的关系可知a<0，且关于x的方程ax2+bx+c=0的两根分别为-3、4，利用韦达定理可得出【详解】解：因为不等式ax2+bx+c≤0且关于x的方程ax2+bx+由韦达定理可得-3+4=-ba，-3×4=c所以，不等式bx2+2化简可得x2-2x-因此，不等式bx2+2【变式33】（2022秋·上海长宁·高一上海市延安中学校考阶段练习）已知x1､x2是关于x的一元二次方程(1)若x1､x2为两个不相等的正实数根，求实数(2)是否存在实数k，使得2x1-【答案】(1)k(2)不存在，理由见解析【分析】（1）依题意k≠0Δ>0且x1（2）由（1）可得k<0，利用韦达定理得到方程求出k的值，即可判断【详解】（1）解：由题意，一元二次方程有两个不相等的正实数根x1､x故k≠0Δ=(4k)2-（2）解：由题意，当k≠0Δ≥0，即k<0时，有x所以2=2(x解得k=1，与k<0故不存在实数k，使得2x不等式有解、不等式有解、恒成立问题题型题型四【例题4】（1）已知函数y＝x2＋ax＋3.1)当x∈R时，y≥a恒成立，求a的取值范围；2)当a∈[4,6]时，y≥0恒成立，求x的取值范围.【答案】1）[6,2];2){x|x≤－3－eq\r(6)或x≥－3＋eq\r(6)}.【解析】1）当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，则Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，解得－6≤a≤2，故a的取值范围为{a|－6≤a≤2}.即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋4x＋3≥0，,x2＋6x＋3≥0，))2）将y＝xa＋x2＋3看作关于a的一次函数，当a∈[4,6]时，y≥0恒成立，只需在a＝4和a＝6时y≥0即可，解得x≤－3－eq\r(6)或x≥－3＋eq\r(6)，故x的取值范围是{x|x≤－3－eq\r(6)或x≥－3＋eq\r(6)}.（2）（2020秋·上海奉贤·高一上海市奉贤中学校考阶段练习）（1）求不等式x+2（2）如果关于x的不等式x+2-x-2（3）已知关于x的方程x+a2+【答案】（1）(-4,0)；（2）(4,+∞)；（3）(-∞,-1]∪[1,+∞).【分析】（1）直接用去绝对值即可求解；（2）先用三角不等式求出最大值，再根据题意求解；（3）先用三角不等式求出x+a2+【详解】（1）因为x+2<2，所以解得-4<x（2）因为x+2不等式x+2-x-2故实数a的取值范围(4,+∞)（3）x+x+a2当且仅当两者都为2a此时x=1，a所以a【变式41】（2023秋·上海徐汇·高一上海市第四中学校考阶段练习）不等式x2+ax+3≤0的解集为∅，则【答案】-【分析】由一元二次不等式的解集，结合对应函数性质有Δ<0，即可求参数范围【详解】由题意Δ=故答案为：-【变式42】（2023春·上海黄浦·高一格致中学校考阶段练习）已知x>0，y>0，若2yx+8【答案】-【分析】先利用基本不等式求出2yx+8【详解】∵x>0，∴2yx+8∴m2+2故答案为：-4,2【变式43】（2023秋·上海徐汇·高一上海市第四中学校考阶段练习）已知关于x的不等式kx(1)若不等式的解集为A=2,3，求实数(2)若不等式在x∈2,3时恒成立，求实数【答案】(1)k=(2)0<k【分析】（1）由题意2,3是方程kx（2）问题化为f(x)=x2【详解】（1）由题设知：2,3是方程kx所以2k=2+3=5，即所以k=（2）令f(x)=x2-而f(x)开口向上且对称轴x所以0<k<6当6<1k<3⇒1当1k≥3⇒0<k≤13时，只需综上，0<k【变式44】（2021秋·上海徐汇·高一上海市第二中学校考阶段练习）关于x的不等式x2-8(1)解集为空集时，求实数m的取值范围；(2)解集为R时，求实数m的取值范围.【答案】(1)14(2)-∞【分析】(1)由题意可得mx2(2)由题意可得mx2+2(m【详解】（1）解：因为x2所以解集为空集时，mx2当m=0时，2x当m≠0时，m>0Δ所以实数m的取值范围是14（2）解：因为x2-8x+20=(x-当m=0时，2x当m≠0时，m<0Δ所以实数m的取值范围是-∞【变式45】（2021秋·上海徐汇·高一上海市西南位育中学校考期末）求解下列问题.（1）运用三角不等式证明：x-1+（2）已知关于x的不等式x-1-1≤2【答案】（1）证明见解析，x∈-1,1时等号成立；（2【解析】（1）利用绝对值三角不等式a+（2）关于x的不等式x-1-1≤2m-【详解】（1）因为a+所以x-当x-即x∈（2）关于x的不等式x-即x-只需x-因为x-所以2≤2m即实数m的取值范围是m≥【点睛】方法点睛：不等式有解问题与不等式恒成立问题是常考题型，不等式有解问题：a≤f(x)有解可以转化为a总结解决不等式恒成立、能成立问题的方法(1)利用一元二次不等式判别式与图形相结合.(2)分离参数法.(3)转化为最大(小)值问题.基本不等式求最值基本不等式求最值题型题型五【例题5】(1)若0<x<2，则x(2－x)的最大值是（）【答案】C【解析】因为0<x<2，所以2－x>0，x(2－x)≤(x+2-当且仅当x＝2－x，即x＝1时，等号成立.(2)若x>0，则x＋eq\f(2,2x＋1)－eq\f(3,2)的最小值是________.【答案】0【解析】x＋eq\f(2,2x＋1)－eq\f(3,2)＝x＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,x＋\f(1,2))－2≥0，当且仅当x＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,x＋\f(1,2))，即x＝eq\f(1,2)时等号成立，故x＋eq\f(2,2x＋1)－eq\f(3,2)的最小值是0.（3）若x>0，y>0，且x＋2y＝5，求eq\f(9,x)＋eq\f(2,y)的最小值，并求出取得最小值时x，y的值．【答案】eq\f(9,x)＋eq\f(2,y)的最小值为5，此时x＝3，y＝1.【解析】因为x>0，y>0，且x＋2y＝5，所以eq\f(9,x)＋eq\f(2,y)＝eq\f(1,5)(x＋2y)(eq\f(9,x)＋eq\f(2,y))＝eq\f(1,5)(13+18yx+2xy)≥eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(13＋2\r(\f(18y,x)·\f(2x,y))))＝5，当且仅当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝5，,\f(18y,x)＝\f(2x,y)，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝1))时等号成立．所以eq\f(9,x)＋eq\f(2,y)的最小值为5，此时x＝3，y＝1.基本不等式的关注点(1)前提：“一正”“二定”“三相等”.(2)拼凑：要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.(3)方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是配凑法.【变式51】（1）当x>3时，求函数y（2）当x<32（3）当x>-1时，求函数y（4）当x>-1时，求函数y（5）设x>-1，求函数y（6）①当x>32②求函数y=【答案】（1）42+3；（2）-52；（3）22;（4）2+2;（5）9,+∞;（6【分析】（1）将函数变形为y=（2）将函数变形为y=-（3）将函数变形为y=（4）将函数变形为y=1+2×（5）将函数变形为y=（6）①利用换元法，以及基本不等式求解；②利用换元法，结合对勾函数的单调性求解.【详解】（1）因为x>3，所以xy=当且仅当x-3=8所以函数y=x+（2）因为x<32y=因为2x-3<0所以-1当且仅当-12(2所以y=所以函数y=x+（3）因为x>-1，所以xy=当且仅当x+1=2x所以函数y=x2（4）y=令t=x+1>0所以y=1+2×因为t=x+1>0当且仅当t=2t，即t所以y=1+所以函数y=x2（5）y=因为x>-1，所以x所以x+1+当且仅当x+1=4x所以y=所以函数y=x+5（6）①令m=4x2-所以y=因为m+当且仅当m=4m，即m所以y=所以函数y=4②令n=x2+1，则所以y=因为函数y=3x+所以当n=1时，即x=0时，3n所以y=所以函数y=x2【变式52】（2023秋·江苏扬州·高三统考开学考试）已知a>0，b>0且1a【答案】2【分析】2a+b+3=2【详解】根据题意，2a∵1a∴2a而b+1可得2a+1+因此2a+b≥22，当且仅当b所以2a+b【变式53】x，y，z为正数，求10x2【答案】4【分析】将原式变形为10x2【详解】10x当且仅当x=y故10x2【变式54】（2022秋·上海黄浦·高一上海市光明中学校考期中）已知x>0，y>0且12x<y<2x,【答案】-【分析】依题意可得a≤12x-y【详解】因为x>0，y>0且x+y则a≤又1=1当且仅当2y-x2x∴a≤3+223故答案为：-∞【变式55】（2023秋·山东临沂·高一校考阶段练习）（1）若正数x,y满足x+3（2）已知x>0,y>0,x【答案】（1）5；（2）4.【分析】（1）利用“1”的妙用求出最小值作答.（2）利用均值不等式建立不等关系，再解一元二次不等式作答.【详解】（1）正数x，y满足x+3y=5因此3x当且仅当3xy=所以当x=2y=1时，（2）x>0,y>0,x+2因此(x+2y化为(x+2y由x=2y>0所以当x=2y=2时，基本不等式的实际应用基本不等式的实际应用题型题型六【例题6】某自来水厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m2的二级净水处理池(如图).池的深度一定，池的外围周壁建造单价为400元/m，中间的一条隔壁建造单价为100元/m，池底建造单价为60元/m2，池壁厚度忽略不计.问净水池的长为多少时，可使总造价最低？【答案】当净水池的长为15m时，可使总造价最低.【解析】解设水池的长为x米，则宽为eq\f(200,x)米.总造价y＝4002x+400x＋100·eq\f(200,x)＋200×60＝800eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(225,x)))＋12000≥800×2eq\r(x·\f(225,x))＋12000＝36000，当且仅当x＝eq\f(225,x)，即x＝15时，等号成立，即取得最小值36000.所以当净水池的长为15m时，可使总造价最低.【变式61】（2022秋·上海浦东新·高一上海市进才中学校考期中）随着中国经济的腾飞，互联网的快速发展，网络购物需求量不断增大．某物流公司为扩大经营，今年年初用192万元购进一批小型货车，公司每年需要付保险费共计12万元，除保险费外，从第一年到第n年所需维修费等各种费用总额为3nn-1(1)该批小型货车购买后第几年开始盈利？(2)求该批小型货车购买后年平均利润的最大值．【答案】(1)第5年(2)12万元【分析】(1)由题意可得当利润为正时开始盈利，即有-3(2)设该批小型货车购买n年后的年平均利润为y,则有y=-【详解】（1）解：由题意，得69n即-3化简，得n2-20所以该批小型货车购买后第5年开始盈利．（2）解：设该批小型货车购买n年后的年平均利润为y，则y=当且仅当n=64n，即n＝8时取“所以该批小型货车购买后的年平均利润最大值是12万元．【变式62】（2023秋·甘肃平凉·高二校考期末）为助力乡村振兴，某村决定建一果袋厂.经过市场调查，生产需投入年固定成本为2万元，每生产x万件，需另投入流动成本为Wx万元，在年产量不足8万件时，Wx=13x2+2x（万元）.在年产量不小于8万件时，Wx(1)写出年利润Qx（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-(2)年产量为多少万件时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)Q(2)年产量为10万件时，该厂所获利润最大，最大利润为15万元.【分析】（1）根据年利润年销售收入固定成本流动成本，分0<x<8和x≥8两种情况得到Qx（2）当0<x<8时，根据二次函数求最大值的方法来求最大值，当【详解】（1）因为每件产品售价为6元，则x万件产品销售收入为6x依题意得，当0<x<8时，当x≥8时，Q所以Qx（2）当0<x<8时，此时，当x=6时，Qx取得最大值当x≥8时，Q此时，当且仅当x=100x，即x=10时，Q综上所述，由于10<15，Qx最大值为15万元所以当年产量为10万件时，该厂所获利润最大，最大利润为15万元.不等式的运用不等式的运用题型题型七【例题7】（2021秋·上海徐汇·高一南洋中学校考阶段练习）（1）已知a>b，用比较法证明：（2）已知a,b,（3）已知p3+q【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【分析】（1）计算a3（2）b+c（3）假设p+q>2，则p>2-q，得【详解】（1）a>b，a3（2）b=6，当且仅当a=（3）假设p+q>2，则pp3+q3>8-12即q2-2q+1<0【变式71】已知x<a4,【答案】证明见解析.【分析】利用不等式的性质以及绝对值三角不等式即可证明.【详解】证明

∵x<a4根据绝对值三角不等式可得2x【变式72】已知a+(1)若a、b、(2)若c=1，且fx=x【答案】(1)证明见解析，当且仅当a=(2)a的取值范围a⩽23【分析】（1）、三次利用基本不等式，再相加整理化简即可证明；（2）、利用绝对值三角不等式求出fxmin，根据题意可知fxmin【详解】（1）∵a>0，b>0，c>0，∴a∴2a+2b+2∵a+b+c=3,（2）若c=1，∵a+b+∵fx=∵f当且仅当x-ax∵fx=x-a+x∴a的取值范围为a⩽2【变式73】（2020秋·上海浦东新·高一上海市进才中学校考期中）（1）已知a，b，c为实数，求证：|a（2）设x∈R，求方程|3【答案】（1）答案见解析【详解】（1）令a-c=则a-要证|a即证|要证|x只需证|x即证x2即证-xy显然-xy且当且仅当-xy≥0，即所以|x-y则|a-b|≤|【变式74】（2022秋·上海嘉定·高一校考期中）已知实数a､b､c､d，显然ab-cd(1)求证：ab-(2)若任取a，b∈1,10，a与c的误差､b与d的误差最大值均为，求ab与cd误差的最大值，并求出此时a､b､c､d【答案】(1)证明见解析，此时a=10，b=10，c【分析】（1）由ab-cd=（2）根据（1）的结论及两个实数误差的定义运算即可得解.【详解】（1）∵∴ab（2）因为|a-由（1）ab≤0.1×(10+10.1)=2.01，此时只需a=10,b模拟练习1．（2023·上海黄浦·格致中学校考三模）“-1<x<1”是“x-A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件【答案】A【分析】解绝对值不等式得到解集为x-1≤x≤1，从而得到-【详解】x-1+x+1≤2，当x<-1与x<-1取交集，得∅当-1≤x≤1时，1-x+当x>1时，x-1+x+1≤2，解得x综上：x-1+因为-1<x<1⇒-1≤故“-1<x<1”是“x故选：A2．（2022秋·上海虹口·高三上海财经大学附属北郊高级中学校考开学考试）设m,n∈R，定义运算“Δ”和“∇”如下：mΔn=m,m≤nn,m>A．mΔn≥2,C．mΔn≥2,【答案】D【分析】由运算“Δ”和“∇”定义，举例可判断选项A、B、C错误；由不等式的性质可证明选项D正确．【详解】由运算“Δ”和“∇”定义知，mΔn=m,m≤nn当m=1,n=5时，mΔn当p=q=1时，p∇q∵m+n≥2mn≥4，且∵pq≤p+q22≤4，故选：D．3．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）不等式3x+5x【答案】(-【分析】移项通分得x+1x-5【详解】3x+5x-1则x-1x+1故答案为：(