高三高考数学复习练习46正弦定理余弦定理

461．(2018·石家庄二检)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“sinA>sinB”是“a>b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】设△ABC外接圆的半径为R，若sinA>sinB，则2RsinA>2RsinB，即a>b；若a>b，则eq\f(a,2R)>eq\f(b,2R)，即sinA>sinB，所以在△ABC中，“sinA>sinB”是“a>b”的充要条件，故选C.【答案】C2．(2016·全国乙卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝eq\r(5)，c＝2，cosA＝eq\f(2,3)，则b等于()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C．2 D．3【解析】由余弦定理，得5＝b2＋22－2×b×2×eq\f(2,3)，解得b＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＝－\f(1,3)舍去))，故选D.【答案】D3．(2018·西安模拟)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，且sin2B＝sin2C，则△ABC的形状为()A．等腰三角形 B．锐角三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【解析】由bcosC＋ccosB＝asinA，得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sinA＝sin2A，在三角形中sinA≠0，∴sinA＝1，∴A＝90°，由sin2B＝sin2C，知b＝c，综上可知△ABC为等腰直角三角形．【答案】D4．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b＋c＝2a，3sinA＝5sinB，则角C等于()A.eq\f(2π,3) B.eq\f(π,3)C.eq\f(3π,4) D.eq\f(5π,6)【解析】因为3sinA＝5sinB，所以由正弦定理可得3a＝5b.因为b＋c＝2a，所以c＝2a－eq\f(3,5)a＝eq\f(7,5)a.令a＝5，b＝3，c＝7，则由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得49＝25＋9－2×3×5cosC，解得cosC＝－eq\f(1,2)，所以C＝eq\f(2π,3).【答案】A5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且eq\f(c－b,c－a)＝eq\f(sinA,sinC＋sinB)，则B等于()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D.eq\f(3π,4)【解析】根据正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，得eq\f(c－b,c－a)＝eq\f(sinA,sinC＋sinB)＝eq\f(a,c＋b)，即a2＋c2－b2＝ac，得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(1,2)，故B＝eq\f(π,3)，故选C.【答案】C6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝eq\f(π,6)，C＝eq\f(π,4)，则△ABC的面积为()A．2eq\r(3)＋2 B.eq\r(3)＋1C．2eq\r(3)－2 D.eq\r(3)－1【解析】∵b＝2，B＝eq\f(π,6)，C＝eq\f(π,4).由正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，得c＝eq\f(bsinC,sinB)＝eq\f(2×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝2eq\r(2)，A＝π－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋\f(π,4)))＝eq\f(7,12)π，∴sinA＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(π,3)))＝sineq\f(π,4)coseq\f(π,3)＋coseq\f(π,4)sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).则S△ABC＝eq\f(1,2)bc·sinA＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)×eq\f(\r(6)＋\r(2),4)＝eq\r(3)＋1.【答案】B7．(2016·全国甲卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝eq\f(4,5)，cosC＝eq\f(5,13)，a＝1，则b＝________．【解析】在△ABC中，由cosA＝eq\f(4,5)，cosC＝eq\f(5,13)，可得sinA＝eq\f(3,5)，sinC＝eq\f(12,13)，sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosA·sinC＝eq\f(63,65)，由正弦定理得b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(21,13).【答案】eq\f(21,13)8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋c2－b2)tanB＝eq\r(3)ac，则角B的值为________．【解析】由余弦定理，得eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝cosB，结合已知等式得cosB·tanB＝eq\f(\r(3),2)，∴sinB＝eq\f(\r(3),2)，∴B＝eq\f(π,3)或eq\f(2π,3).【答案】eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)9．(2018·昆明检测)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若cosB＝eq\f(4,5)，a＝10，△ABC的面积为42，则b＋eq\f(a,sinA)的值等于________．【解析】依题可得sinB＝eq\f(3,5)，又S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝42，则c＝14.故b＝eq\r(a2＋c2－2accosB)＝6eq\r(2)，所以b＋eq\f(a,sinA)＝b＋eq\f(b,sinB)＝16eq\r(2).【答案】16eq\r(2)10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asinB＝eq\r(3)bcosA．若a＝4，则△ABC周长的最大值为________．【解析】由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，可将asinB＝eq\r(3)bcosA转化为sinAsinB＝eq\r(3)sinBcosA.又在△ABC中，sinB>0，∴sinA＝eq\r(3)cosA，即tanA＝eq\r(3).∵0<A<π，∴A＝eq\f(π,3).由余弦定理得a2＝16＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－3bc≥(b＋c)2－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋c,2)))eq\s\up12(2)，则(b＋c)2≤64，即b＋c≤8(当且仅当b＝c＝4时等号成立)，∴△ABC周长＝a＋b＋c＝4＋b＋c≤12，即最大值为12.【答案】1211.(2017·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin2eq\f(B,2).(1)求cosB；(2)若a＋c＝6，△ABC的面积为2，求b.【解析】(1)由题设及A＋B＋C＝π得sinB＝8sin2eq\f(B,2)，故sinB＝4(1－cosB)．上式两边平方，整理得17cos2B－32cosB＋15＝0，解得cosB＝1(舍去)，或cosB＝eq\f(15,17).故cosB＝eq\f(15,17).(2)由cosB＝eq\f(15,17)得sinB＝eq\f(8,17)，故S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(4,17)ac.又S△ABC＝2，则ac＝eq\f(17,2).由余弦定理及a＋c＝6得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)＝36－2×eq\f(17,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(15,17)))＝4.所以b＝2.12．(2018·云南二检)已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C对的边，b＝eq\r(3).(1)若C＝eq\f(5π,6)，△ABC的面积为eq\f(\r(3),2)，求c；(2)若B＝eq\f(π,3)，求2a－c的取值范围．【解析】(1)∵C＝eq\f(5π,6)，△ABC的面积为eq\f(\r(3),2)，b＝eq\r(3)，∴eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×a×eq\r(3)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),2).∴a＝2.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋3－2×2×eq\r(3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))＝13.∴c＝eq\r(13).(2)由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，∴a＝eq\f(bsinA,sinB)＝2sinA，c＝eq\f(bsinC,sinB)＝2sinC.∴2a－c＝4sinA－2sinC＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－C))－