高考数学一轮复习知识点与练习合情推理和演绎推理

1．合情推理归纳推理①定义：从个别事实中推演出一般性的结论，称为归纳推理 (简称归纳法)．②特点：归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．类比推理①定义：根据两个 (或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理 (简称类比法)．②特点：类比推理是由特殊到特殊的推理．合情推理：合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程．归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理．2．演绎推理演绎推理：一种由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．“三段论”是演绎推理的一般模式①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．()(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．()(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．()“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．()一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是an＝n(n∈N*)．()专注·专业·口碑·极致 -1-(6)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确． ( )1．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，，则a10＋b10＝________.2．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是________．①使用了归纳推理；②使用了类比推理；③使用了“三段论”，但推理形式错误；④使用了“三段论”，但小前提错误．3．(2014·建福)已知集合{a，b，c}＝{0,1,2}，且下列三个关系：① a≠2，②b＝2，③c≠0有且只有一个正确，则 100a＋10b＋c＝________.4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为 1∶2，则它们的面积比为 1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为 1∶2，则它们的体积比为 __________．5．(教材改编)在等差数列{an}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋＋an＝a1＋a2＋＋a19－n(n<19，n∈N*)成立，类比上述性质，在等比数列 {bn}中，若b9＝1，则b1b2b3b4 bn＝________________.题型一 归纳推理命题点1 与数字有关的等式的推理例1 (2015·陕西)观察下列等式：1－1＝1，221－1＋1－1＝1＋1，234341－1＋1－1＋1－1＝1＋1＋1，，23456456据此规律，第n个等式可为_______________．命题点2 与不等式有关的推理专注·专业·口碑·极致 -2-例214xx427xxx＋27≥4，，已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式：x＋≥2，x＋2＝＋＋2≥3，x＋3＝＋＋x3xx22xx333a*类比得x＋xn≥n＋1(n∈N)，则a＝________.命题点3与数列有关的推理例3古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，，第n个三角形数为nn＋11212＝n＋n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表22达式：三角形数121n，N(n,3)＝n＋22正方形数N(n,4)＝n2，五边形数321n，N(n,5)＝n－22六边形数N(n,6)＝2n2－n可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝____________.命题点4 与图形变化有关的推理例4 某种平面分形图如下图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为°；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来段与原线段两夹角为120°，，依此规律得到n级分形图．n级分形图中共有________条线段；(2)n级分形图中所有线段长度之和为 ________．

1，两两夹角为1的线段，且这两条线3思维升华 归纳推理问题的常见类型及解题策略与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．观察下图，可推断出“x”处应该填的数字是________．专注·专业·口碑·极致 -3-如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，，依此类推，如果一个六边形点阵共有 169个点，那么它的层数为 ________．题型二类比推理例5已知数列{anam＝a，an＝b(n－m≥1，m，n∈N*m＋n＝nb－ma.类比等差}为等差数列，若)，则an－m数列{an}的上述结论，对于等比数列nn*m＝c，bn＝d(n－m≥2，m，n∈N*)，则可{b}(b>0，n∈N)，若b以得到bm＋n＝________.思维升华(1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等．在平面上，设ha，hb，hc是三角形ABC三条边上的高，P为三角形内任一点，P到相应三边的距离分别为P，P，P，我们可以得到结论：Pa＋Pb＋Pc＝1.把它类比到空间，则三棱锥中的类abchahbhc似结论为______________________．题型三 演绎推理例6数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝n＋2Sn(n∈N*)．证明：nSn(1)数列 是等比数列；n(2)Sn＋1＝4an.思维升华 演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立专注·专业·口碑·极致 -4-的充分条件作为大前提．某国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅．”结论显然是错误的，是因为 ________．①大前提错误； ②小前提错误；③推理形式错误； ④非以上错误．10．高考中的合情推理问题典例(1)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数 1,3,6,10，记为数列{an}，将可被 5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：b2014是数列{an}的第________项；②b2k－1＝________.(用k表示)设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y＝f(x)满足：(1)T＝{f(x)|x∈S}；(2)对任意x1，x2∈S，当x1<x2时，恒有f(x1)<f(x2)．那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是________．①A＝N*，B＝N；②A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|x＝－8或0<x≤10}；③A＝{x|0<x<1}，B＝R；④A＝Z，B＝Q.温馨提醒(1)解决归纳推理问题，常因条件不足，了解不全面而致误．应由条件多列举一些特殊情况再进行归纳．解决类比问题，应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的缘由，再去类比另一类问题．[方法与技巧]1．合情推理的过程概括为专注·专业·口碑·极致 -5-从具体问题出发 ―→观察、分析、比较、联想 ―→归纳、类比 ―→提出猜想2．演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论．数学问题的证明主要通过演绎推理来进行．[失误与防范]1．合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明．2．演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．3．合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据．A组专项基础训练(时间：40分钟)1．下列推理是归纳推理的是________．①A，B为定点，动点P满足PA＋PB＝2a>AB，则P点的轨迹为椭圆；②由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式；2222x2y2③由圆x＋y＝r的面积πr，猜想出椭圆a2＋b2＝1的面积S＝πab；④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．2．正弦函数是奇函数， f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理________．①结论正确； ②大前提不正确；③小前提不正确； ④全不正确．3．平面内有 n条直线，最多可将平面分成 f(n)个区域，则 f(n)的表达式为 f(n)＝__________.4．给出下列三个类比结论：(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sinαsinβ；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.其中正确结论的个数是________．5．若数列{an}是等差数列，则数列{bn}(bn＝a1＋a2＋＋an)也为等差数列．类比这一性质可知，若正n项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为__________．①dn＝c1＋c2＋＋cn②dn＝c1·c2··cnnn专注·专业·口碑·极致 -6-nc1n＋c2n＋＋cnn④dn＝n③dn＝nc1·c2··cn6．观察下列不等式：31＋22<2，151＋22＋32<3，1 1 1 71＋2＋2＋2<，2 3 4 4照此规律，第五个不等式为 ________________________．x22y7．若P0(x0，y0)在椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)外，过P0作椭圆的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在的直线方程是x0xy0y＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P0(x0，y0)在双曲线x2y2a2＋22－2＝1(a>0，babb>0)外，过P0作双曲线的两条切线，切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程是 ________________．8．已知等差数列 {an}中，有a11＋a12＋＋a20＝a1＋a2＋＋a30，则在等比数列 {bn}中，会有类似的结10 30论：______________________.9．设f(x)＝1，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给3x＋3出证明．B组 专项能力提升(时间：30分钟)11．已知①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等；③正方形是矩形．根据“三段论”推理出一个结论．则这个结论是 ________．(填序号)12．在平面几何中有如下结论：正三角形 ABC的内切圆面积为 S1，外接圆面积为 S2，则S1＝1，推广S2 4到空间可以得到类似结论：已知正四面体 P—ABC的内切球体积为 V1，外接球体积为 V2，则V1＝V2________.专注·专业·口碑·极致 -7-13．如图(1)若从点O所作的两条射线 OM、ON上分别有点 M1、M2与点N1、N2，则三角形面积之比SS

OM1N1＝OM1ON1，若从点O所作的不在同一平面内的三条射线OP、OQ和OR上分别有点OM2·.如图(2)OM2N2ON2P1、P2，点Q1、Q2和点R1