2020-2021学年新教材高中数学模块质量检测新人教A版必修第一册

模块质量检测

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的)

1.已知集合/={x|x<3},8={x|2>4},则/A8=()

A.。B.{x|0〈x〈3}

C.{^|1<K3}D.{x\2<x<3]

2.函数/(x)=e'+2x—3的零点所在的一个区间是()

A.(—2,—1)B.(—1,0)

C.(0,1)D.(1,2)

3.函数了=产与~^的定义域为()

—3万—2

A.(—8,1]

B.[-1,1]

C.[1,2)U(2,+oo)

D.「1,-加息，)

4.下列函数在(0,1)为减函数的是()

A.y=lgxB.y=2x

厂n1

C.y^~cosxD.y—T

Lx-\

5.现有四个函数：①p=x・sinx；②y=x・cosx；@y=x,|cosx|；@y=x92X

的图象(部分)如下，则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是()

A.①④②③B.①④③②

C.④①②③D.③④②①

6.某商家准备在2020年春节来临前连续2次对某一商品销售价格进行提价且每次提价

10%,然后在春节活动期间连续2次对该商品进行降价且每次降价10%,则该商品的最终售

价与原来价格相比()

A.略有降低B.略有提高

C.相等D.无法确定

7.下列命题中正确的是()

it

A.y=cosx的图象向右平移万个单位长度得到y=sinx的图象

it.

B.y=sinx的图象向右平移万个单位长度得到y=cosx的图象

C.当。＜0时，y=sinx的图象向左平移|个单位长度可得了=51,11(矛+。)的图象

(nAjt

D.y=sin(2x+旬的图象是由y=sin2x的图象向左平移至个单位长度得到的

[2，+2,

8.若函数f(x)=在(一8,a]上的最大值为4,则a的取值范

[log2X—,X〉1

围为()

A.[0,17]B.(—8,17]

C.[1,17]D.[1,+8)

二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中,

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得。分)

9.下列命题是真命题的是()

1

贝4-

A.若基函数/'(x)=/过点4-2-

B.3xd(0,1),ix

2

C.VxG(0,+°°),log]X>log]X

23

D.命题xGR,sinx+cosx〈l"的否定是"VxGR,sinx+cos

10.已知0〈a〈伙1,则下列不等式成立的是()

A.B.Ina>lnb

11.已知函数f(x)=a*—其中a〉0且aWl,则下列结论正确的是()

A.函数F(x)是奇函数

B.函数/<x)在其定义域上有零点

C.函数f(x)的图象过定点(0,1)

D.当a〉l时，函数/"(X)在其定义域上为单调递增函数

[sinx,sinx,

12.对于函数F(x)=下列四个结论正确的是()

[cosx,sinx>cosx,

A.f(x)是以n为周期的函数

B.当且仅当(AeZ)时，f(x)取得最小值一1

JI

C.f(x)图象的对称轴为直线g(AGZ)

D.当且仅当2"兀〈x〈5+24几(4£Z)时，0〈广

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)

4

13.若扇形圆心角为120。，扇形面积为§兀，则扇形半径为.

14.已知a>0,且zWl,loga2=x,则/=；/.

15.已知1gx+lgy=2,则的最小值是______.

xy

16-.在角%、氏、&、…、&。的终边上分别有一点4、A、P'、•••、凡，如果点8

的坐标为(sin(15°~k°),sin(75°-\-k°)),1WAW30,AeN,则cos氏+cos%+cos

1-cos夕30=.

四、解答题(本题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算

步骤)

17.(10分)已知P—{x\/—8x—20^0},非空集合S—{x\1—.若xGP

是xGS的必要条件，求加的取值范围.

18.(12分)在平面直角坐标系x沙中，角。的顶点与原点。重合，始边与x轴的正半

轴重合，它的终边过点《/一审3可4、，以角。的终边为始边，逆时针旋转J才I得到角£.

⑴求tana的值；

(2)求cos(。+£)的值.

19.(12分)某企业开发生产了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为2500

万元，每生产x百件，需另投入成本c(x)(单位：万元)，当年产量不足30百件时，c(x)=

lOf+lOOx；当年产量不小于30百件时，c(x)=501x+"0°°―4500；若每件电子产品的

X

售价为5万元，通过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完.

(1)求年利润y(万元)关于年产量x(百件)的函数关系式；

(2)年产量为多少百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？

20.(12分)已知f(x)=log(3，+l)+I"x(xeR)是偶函数.

⑴求A的值;

(2)若函数y=f(x)的图象与直线y=，x+a有公共点，求a的取值范围.

21.(12分)在①函数(x-0为奇函数；②当入=2时，f(x)=小；③等是函数f(x)

的一个零点这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答，已知函数/"(x)=2sin(ox

+0)(。〉0,0<F(x)的图象相邻两条对称轴间的距离为口，.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求函数f(x)在［0,2m］上的单调递增区间.

Pa

22.(12分)已知实数a>0,定义域为R的函数f(x)=—+=是偶函数，其中e为自然对

ae

数的底数.

(1)求实数a值；

(2)判断该函数f(x)在(0,+8)上的单调性并用定义证明；

⑶是否存在实数如使得对任意的力WR,不等式2)"(2一而恒成立.若存在，

求出实数加的取值范围；若不存在，请说明理由.

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1.解析：依据函数尸2'是增函数，可得6={x|2'>4}={x|x>2},则/n6={x|2〃<3}.

答案：D

2.解析：f(x)=e'+2x—3,函数单调递增，计算得到/•(())=—2〈0；

f(l)=e—1〉0,故函数在(0,1)有唯一零点.

答案：C

3.解析：由函数尸总享净

29一3x—2W0,

—1WXW1,

解得XL1

xW2且£一,,

即一且xW一

所以所求函数的定义域为一1，—1^U^—1,1.

答案：D

4.解析：对数函数，底数大于1时，在x〉0上增函数，不满足题意；指数函数，底数

大于1时，在x〉0上增函数，不满足题意；余弦函数，从最高点往下走，即xG[O,n]上

为减函数；反比例型函数，在(一8,9与+8)上分别为减函数，不满足题意.故选C.

答案：C

5.解析：①y=x・sinx为偶函数，它的图象关于y轴对称，故第一个图象即是；②y

=x-cosx为奇函数，它的图象关于原点对称，它在(0,3上的值为正数，在仔，上

的值为负数，故第三个图象满足；③尸|cosx|为奇函数，当x>0时，F(x)20,故第四

个图象满足；④y=x-2",为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第二个图象满足，

故选A.

答案：A

6.解析：设现价为b,原价为a,贝!J8=3(1+10%)2(1—10%)2=(1—0.01)2水&故选

A.

答案：A

兀

7.解析：尸cosX的图象向右平移了个单位长度得到

故A正确；尸sinx的图象向右平移了个单位长度得到p=sin(x—2)=—cosx的图象，

故B错误；尸sinx的图象向左平移|。|个单位长度得到y=sin(x+|0|)=sin(x—。)

的图象，故c错误；尸sin2x的图象向左平移女个单位长度得到尸sin[2(x+曰=

sin(2x+引的图象，故D错误.

答案：A

8.解析：易知f(x)=2"+2,xWl在(-8,1]上单调递增，分(x)=log2(x—1),x>l

在(1,+8)上单调递增.因为『(1)=4,『(17)=4,所以a的取值范围为[1,17].

答案：C

9.解析：==：.a=—2,A错误；在同一平面直角坐标系上画出尸仔

与尸log|x两函数图象，如图1所示.

由图可知m(0,1),g)>log|x,故B正确；在同一平面直角坐标系上画出y=log|x

与p=log|x两函数图象，如图2所示.

由图可知，当(0,1)时，log|x>log|x,当x=l时，log|x=log|x,当x£(l,+°°)

故C错误；根据特称命题的否定为全称命题可知，命题“三x£R,sinx

+cos的否定是“Vx£R,sinx+cos，故D正确.故选BD.

答案：BD

10.解析：因为0<a<Z?<L尸8"为减函数，所以因为°<水伏匕y=lnx

为增函数，所以In水ln6<0,又因为在区间(一8,0)上为减函数，在区间(0,+°°)

上也为减函数,所以十〉系,同理可得’故选ACD.

答案：ACD

11.解析：F(x)=/—3"=/一„定义域为R,f{-x)=a'—a=—f{x},f{x)

为奇函数，且f(0)=0,故选项A,B正确，选项C错误；石>1,og(l,y=a,尸在R

上均为增函数，F(x)在其定义域上为单调递增函数，所以选项D正确.故选ABD.

答案：ABD

[sinx,sinxWcosx,

12.解析：函数/'(x)=J的最小正周期为2it,

[cosx,sinx>cosx

画出『(x)在一个周期内的图象,

5TT

4

JI5JI

可得当2k立十］WxW2A兀kRZ时，

f{x)=cosx,

,5兀9JI,

当24兀兀+丁，4£Z时，

f{x}=sinx,

JI

可得f(力的对称轴方程为x=—+kn,kRZ,

3兀

当x=24n+m或x=24n+/-,4GZ时，F(x)取得最小值一1；

jt

当且仅当2An<x<k+2Am(AGZ)时，Ax)〉。，

f(x)的最大值为可得。〈/(为)三乎，

综上可得，正确的有CD.

答案：CD

13.解析：依题意可知，圆心角的弧度数为等，设扇形半径为r,贝4义等产=等，r

OZJoo

答案：2

14.解析：①由指对数的互化，hg,2=m/=2；②/+产=3++=22+各

17

T,

小417

答案：2—

15.解析：由lgx+lgy=2得：灯=100,所以；+!=之犯(；+；)=心(入+02短历

xy1uuyjiuuou

I，当且仅当x=y=10时，取等号，故填看

1

答幕5_

16.解析：A(sin(15°~k°),sin(75°+k°)),即A(sin(15°~k°),cos(15°

~k°))

由三角函数定义知cos。衣=sin(15°—k°)

cos%+cos即+cos93H-----------Feos^30=sin140+sin13°H---Hsin(—14°)

+sin(—15°)

=sin14°+sin13°+,,,—sin14°—sin15°

=­sin15°

=—sin(45°-30°)

=cos45°sin30°—sin45°cos30°

_巾一乖

4,

答案：也押

17.解析：由X2-8X—20W0,得一2W在10,

...9={x|-2WxW10},

P

11S“一

2X-m1+w10x

由xe户是xes的必要条件，知住长

"1-0Wl+0,

贝仁1一0》一2,；.0W辰3.

」+辰10,

...当时，xe户是xes的必要条件，即所求小的取值范围是[0,3].

18.解析：(1厂.•角a的顶点与原点。重合，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点

4

5___4

tana飞=一亍

5

JI

(2)以角a的终边为始边，逆时针旋转下得到角£,

：.B=a+—

34

--

由⑴利用任意角的三角函数的定义可得cosa=5sin5

sin2a=2sin^cosa=一云,cos2。=2cos2。-1=一区.

(兀、JiJIy/2

/.cos(。+£)=cosl2a+-l=cos2^cos——sin2asin-=-^-(cos2a—sin2a

50,

19.解析：(1)当0〈矛〈30时，y=500^-10/-100^-2500=—10f+400x—2500；

“、工10000,(,10000、

当x230时，y=500x—501x------------+4500-2500=2000-|x+----------；

-1Of+400^-2500,0〈水30,

..y=(10000'

2000—[x+---xN30.

2

(2)当0CK30时，y=-10(^-20)+l500,.•.当x=20时，ym=l500；

,工(,10000、I10000

当x230时，y=2000—[x+---1^2000—2、]x----------=2000-200=1800,

当且仅当x=,即x=100时，跖£=1800>1500,

l°X°°°

・••年产量为100百件时，该企业获得利润最大，最大利润为1800万元.

20.解析：(1)丁尸人工)是偶函数，・•・/1(—x)=广(才)，

-%x

/.log3(3+l)~^kx=log3(3+1)+^kx,

(3一*+]、

化简得log3(3、+]J=«x，"%

即log31=Ax,/.log33=Ajr,

••x'='kx,

即(A+l)x=0对任意的x£R都成立，・,・4=—1；

(2)由题意知，方程log3(3"+l)—有解,

y+f

亦即log(3,r+l)—x=a,即log=a有解,

33”

.'.1Og3fl=d有解,

由*>0,得Iog3^1+^j

|>0,故於0,即a的取值范围是(0,+8).

21.解析：・・,函数Ax)的图象相邻对称轴间的距离为兀，

2兀

JI,・.G1,

T=—G)=2

/.f{x)=2sin(x+。).

方案一：选条件①

为奇函数,

解得：。=飞~+«兀，k^Z.

jiji/Ji

(1)V0<,/.6=飞,f{x)=2sin［x+g

,、,兀JIJI

(2)由——-\-2k^Wx+qW5+2A兀,kRZ,

,5JI

得一入兀+24兀，kRZ,

o6

5JiJI,7兀13n

:,令k=0,得——,令4=1,得一^-WxW~,

6b66

「兀「7

，函数/(X)在［0,2口］上的单调递增区间为0,豆，-TI,2Jt

方案二：选条件②

^^=2siG+.,$行+.=*,

JI

：・6=2kb,A£Z或0=g+2An,A£Z,

JIJI,fJIA

(1)V0<Af(x)=2sinx+~；

No\Oy

,、,兀JlJl

(2)由—Wx+§W5+2A兀,keZ,

『5JI

得—77兀+2A兀兀，kGZ,

06

『5兀Ji『7兀13

・••令AA=0,1#-,令k=l,得,

006o

「兀1「7

J函数f(x)在［0,2兀］上的单调递增区间为0,—,己兀，2兀

方案三：选条件③

2

V-n是函数广(x)的一个零点，

:•(I兀)=2sin(|兀+0)=0,

2兀

/.6=kx,kGZ.

3

JIJI(Tl\

(1)V0</.f{x}=2sinx+-；

Zo\oJ

JIJIJI

(2)由一方+2A兀Wx+kW丁+2A兀,keZ,

乙OLt

5JI

得一六H+24兀+2^JI，A£Z,

66

5JIJI7兀