函数的应用（一）（6大题型）精讲（原卷版）

函数的应用（一）重点：了解函数模型（如一次函数、二次函数、分段函数、幂函数等）的广泛应用；难点：能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题。一、一次函数模型1、一次函数为：2、求最值的方法：常转化为求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值．3、解决实际应用问题的一般步骤（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；（3）求模：求解数学模型，得出数学结论；（4）还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如图：二、二次函数模型1、二次函数：形如2、求最值的方法：在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题.二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答.3、解决实际应用问题的注意事项（1）函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以，要理解题意，选择适当的函数模型．（2）要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．（3）注意问题反馈，在解决函数模型后，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．三、幂函数模型1、幂函数模型为y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)，2、在计算幂函数解析式、求幂函数最值的时候，通常利用幂函数的图象、单调性、奇偶性等解题.四、对勾函数模型解决“对勾”函数的实际应用问题时，需关注该函数的定义域、单调性、值域和图像等，一般通过变形，构造利用基本不等式的条件求最值。五、应用分段函数时的三个注意点1、分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏；2、分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集；3、分段函数的值域求法为逐段求函数值的范围，最后比较再下结论。六、图像信息应用题的解答策略1、明确横轴、纵轴的意义，分析题中的具体含义；2、由图象判定函数模型；3、抓住特殊点的实际意义，特殊点一般包括最高点（最大值点）、最低点（最小值点）及折线的拐角点等；4、通过方程、不等式、函数等数学模型化实际问题。题型一一次函数模型的应用【例1】（2022秋·北京·高一校考期中）果蔬批发市场批发某种水果，不少于千克时，批发价为每千克元，小王携带现金3000元到市场采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为千克，小王付款后剩余现金为元，则与之间的函数关系为（）A．B．C．D．【变式11】（2023秋·四川·高一校考开学考试）冰墩墩（BingDwenDwen）、雪容融（ShueyRhonRhon）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉样物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶，决定从该网店进货并销售，第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．（1）求两种玩偶的进货价分别是多少？（2）第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶的进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？【变式12】（2022秋·安徽合肥·高一校考期中）车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有辆次，其中电动车保管费是每辆一次元，自行车保管费是每辆一次元．（1）若设停放的自行车的辆次为，总的保管费收入为元，试写出关于的函数关系式（2）若估计前来停放的辆次自行车和电动车中，电动车的辆次数不小于，但不大于，试求该车管站这个星期日收入保管费总数的范围．【变式13】（2023·全国·高一假期作业）某商场准备购进A，两种型号电脑，每台A型号电脑进价比每台型号电脑多500元，用40000元购进A型号电脑的数量与用30000元购进型号电脑的数量相同，请解答下列问题：（1）A，型号电脑每台进价各是多少元？（2）若每台A型号电脑售价为2500元，每台型号电脑售价为1800元，商场决定用不超过35000元同时购进A，两种型号电脑20台，且全部售出，请写出所获的利润（单位：元）与A型号电脑（单位：台）的函数关系式并求此时的最大利润．题型二二次函数模型的应用【例2】（2023秋·江西·高一校联考阶段练习）你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系式为，则烟花在冲击后爆裂的时刻是（）A．第4秒B．第5秒C．第秒D．第3秒【变式21】（2023·全国·高一专题练习）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为，已知此生产线年产量最大为吨.（1）求年产量为多少吨时，总成本最低，并求最低成本（2）若每吨产品平均出厂价为万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润最大利润是多少【变式22】（2023秋·江苏镇江·高一统考阶段练习）某企业生产甲、乙两种产品所得利润分别是（单位：万元）和（单位：万元），它们与投入资金（单位：万元）的关系有经验公式.今将4万元资金投入生产甲、乙两种产品，其中对甲种产品投资（单位：万元）.（1）试建立总利润（单位：万元）关于的函数关系式；（2）如何安排投入资金使得该企业所获利润最大？并求出获利润的最大值.【变式23】（2023·全国·高一专题练习）已知销售甲、乙两种商品所得利润分别是（单位：万元）和）（单位：万元），它们与投入资金t（单位：万元）的关系有经验公式分别为，，其中为常数．今将5万元资金经营甲、乙两种商品，设对甲种商品投入奖金x万元，其中．（1）当时，如何进行投资甲、乙两种商品才能使得总利润y最大；（2）存在，使得甲、乙两种商品投资总利润等于，求a的取值范围．题型三幂函数模型的应用【例3】（2023·全国·高一专题练习）2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：）（）A．10%B．20%C．22%D．32%【变式31】（2023秋·全国·高一随堂练习）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（）A．B．C．D．【变式32】（2022·全国·高一专题练习）为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．现在加密密钥为，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，则解密后得到的明文是（）A．B．C．2D．【变式33】（2021秋·高一校考课时练习）某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为(为常数)，其中x不超过5万元.已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年投入广告费用5万元，预计今年药品利润为万元.题型四对勾函数模型的应用【例4】（2023秋·重庆·高一校考阶段练习）第19届亚运会2023年9月在杭州市举办，本届亚运会以“绿色、智能、节俭、文明”为办会理念，展示杭州生态之美、文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展，筹备期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一万台需另投入80万元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完.当时，每万台的年销售收入

（万元）与年产量（万台）满足关系式:;当时，每万台的年销售收入

（万元）与年产量（万台）满足关系式:（1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润=销售收入一成本）;（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大?并求最大利润.【变式41】（2023秋·重庆·高一校考阶段练习）某中学为了迎接建校100周年校庆，决定在学校校史馆利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的荣誉室.由于荣誉室的后背靠墙，无需建造费用.甲乙两支队伍参与竞标，甲工程队给出的报价为：荣誉室前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计12600元，设荣举室的左右两面墙的长度均为米，乙工程队给出的整体报价为元，综合考虑各种条件，学校决定选择报价较低的队伍施工，如果报价相同，则选择乙队伍.（1）若，问学校该怎样选择；（2）在竞争压力下，甲工程队主动降价5400元，若乙工程队想要确保自己被选中，求实数的最大值.【变式42】（2023秋·江苏南京·高一校考阶段练习）某厂家拟在2023年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是4万件.已知生产该产品的固定投入为24万元，每生产一万件该产品需要再投入18万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）（1）计算k的值为多少，并将2023年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数：（2）该厂家2023年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大?最大利润是多少?【变式43】（2023秋·山东青岛·高一校考阶段练习）为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常需要建造隔热层，某地正在建设一座购物中心，现在计划对其建筑物建造可使用40年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用P（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：．若不建隔热层，每年能源消耗费用为9万元．设S为隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和．（1）求m的值及用x表示S；（2）当隔热层的厚度为多少时，总费用S达到最小，并求最小值．题型五分段函数模型的应用【例5】（2022秋·山东菏泽·高一校考期中）核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段.某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时（单位：小时）大致服从的关系为（、为常数）.已知第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时大致为（）A．16小时B．11小时C．9小时D．7小时【变式51】（2023秋·湖北·高一校联考阶段练习）年，月日，华为在华为商城正式上线，成为全球首款支持卫星通话的大众智能.其实在年月日，华为被美国列入实体名单，以所谓科技网络安全为借口，对华为施加多轮制裁.为了进一步增加市场竞争力，华为公司计划在年利用新技术生产某款新，通过市场分析，生产此款全年需投入固定成本万，每生产千部，需另投入成本万元，且由市场调研知此款售价万元，且每年内生产的当年能全部销售完.（1）求出年的利润万元关于年产量千部的表达式（2）年年产量为多少千部时，企业所获利润最大最大利润是多少【变式52】（2023秋·山东·高一校联考阶段练习）今年中秋国庆双节假期“合体”，人们的出游意愿进一步增强，国内长线游预订人次占比为.数据显示，中秋国庆假期，长线游预订占比近六成预订出游平均时长在5天以上.某旅游平台上，跨省游订单占比达，较2022年同期提升10个百分点.秋高气爽最适合登高爬山，某户外登山运动装备生产企业，2023年的固定成本为1000万元，每生产x千件装备，需另投入资金（万元）.经计算与市场评估得，调查发现，当生产10千件装备时需另投入资金万元.每千件装备的市场售价为300万元，从市场调查来看，2023年最多能售出150千件.（1）写出2023年利润W（万元）关于产量x（千件）的函数；（利润＝销售总额－总成本）（2）当2023年产量为多少千件时，该企业所获得的利润最大？最大利润是多少？【变式53】（2023秋·全国·高一专题练习）某服装厂生产一批羽绒服，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，其次品率p与日产量x（万件）之间满足关系：（其中m为小于12的正整数）.已知每生产1万件合格的羽绒服可以盈利3万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量（注：次品率＝次品数/生产量，如表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）.（1）试将生产这批羽绒服每天的盈利额y（万元）表示为日产量x（万件）的函数；（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？题型六图象信息应用题【例6】（2023·全国·高一专题练习）（多选）某打车平台欲对收费标准进行改革，现制定了甲､乙两种方案供乘客选择，其支付费用与打车里程数的函数关系大致如图所示，则下列说法正确的是（）A．当打车距离为时，乘客选择乙方案省钱B．当打车距离为时，乘客选择甲､乙方案均可C．打车以上时，每公里增加的费用甲方案比乙方案多D．甲方案内（含）付费5元，行程大于每增加1公里费用增加元【变式61】（2023·全国·高一专题练习）（多选）某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为，观影人数记为，关于的函数图像如图（1）所示．由于目