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文档简介
2.2.3直线与平面平行的性质2.2.4平面与平面平行的性质
直线与平面平行的性质定理文字语言图形语言符号语言一条直线与一个平面平行,则过
这条直线的任一平面与此平面
的①
交线
与该直线平行(简
记为线面平行⇒线线平行)
⇒a∥b
平面与平面平行的性质定理文字语言图形语言符号语言如果两个平行平面同时和第三
个平面③
相交
,那么它们的
④
交线
平行
⇒⑤
a∥b
两个平面平行的其他性质(1)已知两个平面平行,则一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面.(2)夹在两个平行平面间的平行线段相等.(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.(4)两条直线被三个平行平面所截,截得的线段对应成比例.(5)如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面互相平行.
判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”.a∥平面α,则直线a与平面α内的任意一条直线都无公共点.
(√)α∥β,则平面α内有无数条直线平行于平面β.(√)ABCD中,AB∥CD,AB⊂平面α,CD⊄平面α,则直线CD与平面α内的任意直
线平行.
(
✕)由题意知,CD∥α,则平面α内的直线与CD可能平行,也可能异面.
与平行相关的计算问题
与平行相关的计算问题主要考查线段的长度和平面图形的面积,一般根据线(面)
面平行得到线段的比例关系和平面图形的相似(全等)关系再求解.
如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA=4,BC=6,与PA,BC都平行的截面四边形EFGH的
周长为l,试确定l的取值范围.
思路点拨由已知可证得四边形EFGH是平行四边形,从而l=2(EF+HE)=8+
,由0<
<1,求得l的取值范围.解析
∵PA∥平面EFGH,PA⊂平面PAB,平面PAB∩平面EFGH=EH,∴PA∥EH,同理,PA∥FG,BC∥EF,BC∥HG,∴EH∥FG,EF∥HG,∴四边形EFGH为平行四边形.∵EF∥BC,∴△AEF∽△ABC,∴
=
,∴EF=
.又EH∥PA,∴△BEH∽△BAP,∴
=
,∴HE=
.∴l=2(EF+HE)=
=
=
=8+
.∵0<
<1,∴8<l<12.
平行关系的探索性问题
平行关系的探索性问题主要考查空间想象能力,也考查元素(直线、平面)的运动
变化.求解此类问题要注意逆向推理.常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行,三者之间不是孤立的,而是相互联系、相互转化的.它们之间的转化关
系如下:
如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O为四边
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