压轴题综合训练（三）（解析版）-2020-2021学年七年级数学下学期期末考试压轴题专练（人教版尖子生专用）

压轴题综合训练（三）（时间：60分钟总分：100）班级姓名得分一、选择题方程(m−2016)x|m|−2015+(n+4)yA.m=±2016；n=±4 B.m=2016，n=4

C.m=−2016，【答案】D【知识点】二元一次方程的概念【解析】【分析】

此题主要考查了二元一次方程的定义，关键是掌握二元一次方程必须符合以下三个条件：

(1)方程中只含有2个未知数；

(2)含未知数项的最高次数为一次；

(3)方程是整式方程．

根据二元一次方程的定义可得：|m|−2015=1，n−3=1且m−2016≠0，n+4≠0，求出m、n的值．

【解答】

解：由题意得：|m|−2015=1，n−3=1，

解得：m=±2016，n=±4，

∵m−2016≠0，n+4≠0，

解得：m≠2016，n≠−4，

∴m=−2016，n=4．

故选D若关于x的一元一次不等式组3−2x>2x−a>0恰有3个整数解，那么a的取值范围是(    )A.−2<a<1 B.−3<a≤−2 C.−3≤a<−2 D.−3<a<−2【答案】C【知识点】一元一次不等式组的整数解【解析】【分析】

本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能得出关于a的不等式组．先求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据已知得出答案即可．

【解答】解：解不等式3−2x>2，得：x<12，

解不等式x−a>0，得：x>a，

则不等式组的解集为a<x<12，

∵不等式组恰有3个整数解，

∴不等式组的整数解为−2、−1、0，

则−3≤a<−2，

如图1的长方形纸带中∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中∠CFE度数是(

A.105° B.120° C.130° 【答案】A【知识点】翻折变换(折叠问题)、平行线的性质【解析】【分析】

本题考查了翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是找出∠CFE=180°−3∠BFE.解决该题型题目时，根据翻折变换找出相等的边角关系是关键．由矩形的性质可知AD//BC，由此可得出∠BFE=∠DEF=25°，再根据翻折的性质可知每翻折一次减少一个∠BFE的度数，由此即可算出∠CFE度数；

【解答】

解：∵四边形ABCD为长方形，

∴AD//BC，

∴∠BFE=∠DEF=25°，

由翻折的性质可知：

图2中，∠EFC=180°−∠BFE=155°，∠BFC=∠EFC−∠BFE=130°，

图3中，∠CFE=∠BFC−∠BFE=105°．

故选A．

如图，已知P(3,2)，B(−2,0)，点Q从P点出发，先移动到y轴上的点M处，再沿垂直于y轴的方向向左移动1个单位至点N处，最后移动到点B处停止，当点Q移动的路径最短时(即三条线段PM、MN、NB长度之和最小)，点M的坐标为(    )A.(0,12) B.(0,23) 【答案】A【知识点】轴对称-最短路线问题、平移中的坐标变化【解析】解：如图，将BN沿NM方向平移MN长的距离得到AM，连接AB，则BN=AM，

∴四边形ABNM是平行四边形，

∴MN=AB=1，

∴当A，M，P在同一直线上时，AM+PM有最小值，最小值等于线段AP的长，即BN+PM的最小值等于AP长，

此时PM、MN、NB长度之和最小，

∵P(3,2)，B(−2,0)，AB=1，

∴A(−1,0)，

设AP的解析式为y=kx+b，则

0=−k+b2=3k+b，解得k=12b=12，

∴y=12x+12，

令x=0，则y=12，即M(0,12)，

故选：A．

将BN沿NM方向平移MN长的距离得到AM，连接AB，可得四边形ABNM是平行四边形，根据当A，M，P在同一直线上时，AM+PM有最小值，最小值等于线段AP的长，即BN+PM的最小值等于二、填空题某人步行了5小时，先沿着平路走，然后上山，最后又沿原路返回．假如他在平路上每小时走4里，上山每小时走3里，下山的速度是6里/小时，则他从出发到返回原地的平均速度是______里/小时．【答案】4【知识点】二元一次方程的应用、由实际问题抽象出二元一次方程【解析】解：设平路有x里，山路有y里．

根据题意得：x4+y3+y6+x4=5，

即x2+y2=5，

∴x+y=10(里)．

∴此人共走的路程=2×10=20(里)，

∴平均速度=20÷5=4(里/小时)．

故答案为4．

由于平均速度=总路程÷总时间，而总时间为5小时，所以求出此人行驶的总路程即可．为此，设平路有x里，山路有y里，根据平路用时+上坡用时+下坡用时+已知关于x的不等式组5x−a>3(x−1)2x−1≤7的所有整数解的和为7，则a的取值范围是_______________．【答案】7≤a<9或−3≤a<−1【知识点】一元一次不等式组的整数解【解析】【分析】

本题考查的是解一元一次不等式组的整数解有关知识．

先求出求出不等式组的解集，再根据已知得出关于a的不等式组，求出不等式组的解集即可．

【解答】

解：5x−a>3(x−1) ①2x−1≤7 ②．

∵解不等式 ①得：x>a−32，

解不等式 ②得：x≤4，

∴不等式组的解集为a−32<x≤4，

∵关于x的不等式组5x−a>3(x−1)2x−1≤7的所有整数解的和为7，

∴当a−32>0时，这两个整数解一定是3和4，

∴2≤a−32<3，

∴7≤a<9，

当a−32<0时，−3≤a−32<−2

大正方形的边长为5厘米，小正方形的边长为2厘米，起始状态如图所示．大正方形固定不动，把小正方形以1厘米/秒的速度向右沿直线平移，设平移的时间为t秒，两个正方形重叠部分的面积为S平方厘米．当S=2时，小正方形平移的时间为____________秒．【答案】1或6【知识点】平移的基本性质【解析】【分析】

本题考查了平移的性质，主要利用了长方形的面积，难点在于分两种情况解答．

先求出重叠部分长方形的宽，再分重叠部分在大正方形的左边和右边两种情况讨论求解．

【解答】

解：当S=2时，重叠部分长方形的宽=2÷2=1cm，

重叠部分在大正方形的左边时，t=1÷1=1秒，

重叠部分在大正方形的右边时，t=(5+2−1)÷1=6秒，

综上所述，小正方形平移的时间为1或6秒．

故答案为1或6．

如图，建立平面直角坐标系，点A、B均在由面积为1的相同的小矩形组成的网格的格点上．若P是x轴上使得PA−PB的值最大的点，Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点，则OP⋅OQ=______．

【答案】5【知识点】坐标与图形性质、轴对称-最短路线问题【解析】解：连接AB并延长交x轴于点P，由三角形的三边关系可知，点P即为x轴上使得|PA−PB|的值最大的点，

∵点B是矩形ACPD的中心，

∴点P即为AB延长线上的点，此时P(3,0)即OP=3；

作A点关于y轴的对称点A′连接A′B交y轴于点Q，则A′B即为QA+QB的最小值，

∵A′(−1,2)，B(2,1)，

设过A′B的直线为：y=kx+b，则

2=−k+b1=2k+b，解得k=−13b=53，

∴Q(0,53)，即OQ=53，

∴OP⋅OQ=3×53=5．

故答案为：5．

连接AB并延长交x轴于点P，作A点关于y轴的对称点A′连接A′B交y轴于点三、解答题阅读下列一段材料，运用相关知识解决问题．换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．例如解方程组1x+1y=122x+1y=20，设m=1x，n=1y，则原方程组可化为m+n=122m+n=20，解化解之后的方程组得m=8n=4，即1x=81y=4，所以原方程组的解为x=18y=14．

运用以上知识解决下列问题：

(1)【答案】解：(1)x=1y=2；

(2)x=4y=0；

(3)设2x=A，3y=B，则原方程组可化为12A−3B=111①2A=2B=86②,

由①得：4A−B=37③，

由②得：A+B=43④，

③+④得：5A=80，

∴A=16，

把A=16代入④得：【知识点】解二元一次方程组-加减消元法、换元法、二元一次方程组的解【解析】【分析】

此题主要考查了运用换元法解二元一次方程组，能正确设元是解答此题的关键．

(1)根据示例设m=1x，n=2y，则原方程组可化为m+n=23m+n=4，解化解之后的方程组得m=1n=1，即1x=12y=1，求解即可；

(2)根据题意得x−2=2y+1=1，求出方程组的解即可；

(3)设2x=A，3y=B，则原方程组可化为12A−3B=1112A=2B=86，解方程组求出A、B的值，即可进一步求出x、y的值．

【解答】

解：(1)设m=1x，n=2y，则原方程组可化为m+n=23m+n=4,

解得m=1n=1,

即新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记作〈x〉，即当x为非负整数时，若n−n+12，则〈x〉=n.反之，当n为非负整数时，若〈x〉=n，则n−12≤x<n+12，如试解决下列问题：(1)填空：①〈π〉=________；②若〈2x−1〉=3，则实数x的取值范围为________．(2)求满足⟨x⟩=43x(3)若关于x的不等式组2x−43≤x−1,<a>−x>0的整数解恰好有3个【答案】(1)①3

；② 1.75≤x<2.25【知识点】一元一次不等式组的应用、近似数、一元一次不等式组的解法【解析】解：(1)①由题意可得：<π>=3；

故答案为：3，

②∵<2x−1>=3，

∴2.5≤2x−1<3.5

∴1.75≤x<2.25；

故答案为：1.75≤x<2.25；

(2)∵x≥0，43x为整数，

设43x=k，k为整数，则x=34k，

∴<34k>=k，

∴k−12≤34k<k+12，k≥o，

∴0≤k≤2，

∴k=0，1，2，

则x=0，34，32．

(3)解不等式组得：−1≤x<<a>，

由不等式组整数解恰有3个得，1<<a>≤2，

∴〈a〉=2，

故1.5≤a<2.5．

(1)①利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为<x>，进而得出<π>的值；

②利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为<x>，进而得出x的取值范围；

(2)利用已知两条直线l1，l2，l1//l2，点A，B在直线l1上，点A在点B的左边，点C，D(1)如图①，求证：AD // BC；(2)点M，N在线段CD上，点M在点N的左边且满足∠MAC=∠BAC，且AN平分∠CAD；(Ⅰ)如图②，当∠ACD=30o时，求(Ⅱ)如图③，当∠CAD=8∠MAN时，求∠ACD的度数．【答案】(1)证明：，∴∠BAD=180°−∠ADC=65°，又∵∠ABC=115°，∴∠BAD+∠ABC=180°，；(2)解：(Ⅰ，∴∠BAC=∠ACD=30°，∵∠MAC=∠BAC，∴∠MAC=30°，由(1)已得：∠BAD=65°，∴∠DAC=∠BAD−∠BAC=35°，∴∠DAM=∠DAC−∠MAC=35°−30°=5°；(Ⅱ)设∠MAN=x，则∠CAD=8x，∵AN平分∠CAD，∴∠CAN=1∴∠MAC=∠CAN+∠MAN=5x，∵∠MAC=∠BAC，∴∠BAC=5x，由(1)已得：∠BAD=65°，∴∠CAD+∠BAC=∠BAD=65°，即8x+5x=65°，解得x=5°，∴∠BAC=5x=25°，又∵l∴∠ACD=∠BAC=25°．【知识点】角的计算、角的平分线、平行线的判定与性质【解析】本题考查了平行线的判定和性质，角的平分线以及角的计算，熟练运用性质和定义是解题关键．

(1)利用平行线的性质和已知可求出∠BAD，再由平行线的判定可得；

(2)(Ⅰ)由平行线的性质和已知求出∠MAC=30°，再由(1)和已知可求出；

(Ⅱ)设∠MAN=x，则∠CAD=8x，利用角平分线定义进而可得∠BAC=5x，继而可得8x+5x=65°，可解出x的值，再由平行线的性质可得．

已知多项式4x6y2−3x2y−x−7，次数是b，4a与b互为相反数，在数轴上，点A表示数a(1)a=____，b=____；(2)若小蚂蚁甲从点A处以3个单位长度/秒的速度向左运动，同时小蚂蚁乙从点B处以4个单位长度/秒的速度也向左运动，丙同学观察两只小蚂蚁运动，在它们刚开始运动时，在原点O处放置一颗饭粒，乙在碰到饭粒后立即背着饭粒以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t秒，求甲、乙两只小蚂蚁到原点的距离相等时所对应的时间t.(写出解答过程)(3)若小蚂蚁甲和乙约好分别从A，B两点，分别沿数轴甲向左，乙向右以相同的速度爬行，经过一段时间原路返回，刚好在14s时一起重新回到原出发点A和B，设小蚂蚁们出发t(s)时的速度为v(mm/s)，v与t之间的关系如下表．(其中s表示时间单位秒，mm表示路程单位毫米)t(s)0<t≤33<t≤66<t≤14v(mm/s)81012①当3<t≤6时，你知道小蚂蚁甲与乙之间的距离吗？(用含有t的代数式表示)；②当t为__________时，小蚂蚁甲乙之间的距离是50mm.(请直接写出答案)【答案】解：(1)−2；8

(2)分两种情况讨论：

①甲乙两小蚂蚁均向左运动，即0≤t≤2时，此时OA=2+3t，OB=8−4t；

∵OA=OB，

∴2+3t=8−4t，

解得：t=67；

②甲向左运动，乙向右运动，即t>2时，此时OA=2+3t，OB=4t−8；

∵OA=OB，

∴2+3t=4t−8，

解得：t=10；

∴甲、乙两只小蚂蚁到原点的距离相等时所对应的时间t为67秒或10秒；

(3)①∵小蚂蚁甲和乙同时出发以相同的速度爬行，

∴小蚂蚁甲和乙爬行的路程是相同的，各自爬行的总路程都等于：

8×3+10×3+12×8=150(mm)，

∵原路返回，刚好在14s时一起重新回到原出发点A和B，

∴小蚂蚁甲和乙