2020-2021学年南昌二中高二年级上册期末数学试卷(理科)(含解析)

2020-2021学年南昌二中高二上学期期末数学试卷(理科)

一、单选题(本大题共12小题，共60.0分)

J1-VX6[-L1)

设/(*)=［的值为()

x2-Lxe[L2]

复数i(l一炉等于(

A.-2C.—21D.2i

3.下列命题中正确的是()

A.若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“pAq”为真命题

B.asina=："是"a=£充分不必要条件

26

C.Z为直线，a,S为两个不同的平面，若ILB，a_L0,则〃/a

XaX

D.命题“YxeR,2>0的否定是3x0eR,2°<0”

4.观察下列等式，1?+23=32，!？+23+33=62,13+23+33+43=102,根据上述规律，13+

23+33+43+53+63=()

A.192B.202C.212D.222

5.设/Q)=黑是(一0)U(0,+8)上的偶函数,当％<0时,f'(x)g(x)—f(x)g'(x)>0,且/'(2)=

0,则不等式F(%)<0的解集是()

A.(-2,0)U(2,+oo)B.(-2,0)U(0,2)

C.(―8,—2)U(2,+8)D.(-00,-2)U(0,2)

6.椭圆，+《=1缶>6>0)的左焦点尸到过顶点2(—£1,0)、8(0,6)的直线的距离等于16,贝U椭

圆的离心率为()

A.-B.-C.UD.包

2567

7.“直线2的方程为y=k(x-2)”是“直线Z经过点(2,0)”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

8.求由y=eL久=2,y=1围成的曲边梯形的面积时，若选择x为积分变量，则积分区间为()

A.[0,e2]B.[0,1]C.[1,2]D.[0,2]

9.某个命题和正整数九有关，如果当n=k,k为正整数时命题成立，那么可推得当n=k+l时，

命题也成立.现已知当n=7时命题不成立，那么可以推得（）

A.当n=6时该命题不成立B.当n=6时该命题成立

C.当n=8时该命题不成立D.当几=8时该命题成立

10.下列函数中，既是偶函数，又是（0,+8）上的减函数的是（）

A.y=|B.y=2XC.y=ln|x|D.y=—x2+1

11.过抛物线y2=2px的焦点F作直线交抛物线于4B两点，再过4、B分别作抛物线的切线512,

设匕与%的交点为P（*o，yo），则工。的值（）

A.0B.-pC.D.不确定

12.函数y=/（%）的导函数y=（（比）的图象如图所示，下列说法正确的是（）

A.函数/'（X）在x=处取得极小值

B.函数/（%）在久=冷处取得极大值

C.函数/（久）的单调递减区间是。2m3）

D.函数/（%）无极大值

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.由曲线y=-%2+2x+1与直线y=1围成的封闭图形的面积为.

14.已知复数z满足（1+2i）z=1-3i（是虚数单位），则|z|=.

15.如图，设F「尸2分别是双曲线提—真=1（见6>0）的左、右焦点，过点?2作渐近线的垂线，垂

足为点4若△AaF2的面积为立。2,则双曲线的离心率e=.

4

16.若ln(x+l)—1Wax+b对任意x>—1的恒成立，则的最小值是.

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.在直角坐标系中，以原点为极点，工轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系.已

知直线Z的直角坐标方程为久+y-1=0,曲线C的极坐标方程为p(l+cos2。)=2asin。(a>0).

(1)设t为参数，若x=l-求直线/的参数方程及曲线C的普通方程；

(2)已知直线I与曲线C交于4B,设P(l,0),S.\PA\,\AB\,|PB|依次成等比数列，求实数a的值.

18.命题p：函数y=/-4%+1在区间(一8«)上是减函数

命题q：函数y=log(7-2a)%在(0,+8)上是增函数.

若pvq为真命题，pAq为假命题，求实数a的取值范围.

19.已知函数/(%)=ex——ax(a6R).

(I)若函数/(%)的图象在久=0处的切线方程为y=2%+b,求a,b的值;

(口)若函数在R上是增函数，求实数Q的取值范围.

20.设％,y,Z为整数，且％2+y2+z2=3,证明：

(l)xy+yz+zx<3；

(2)—+—+^>3.

xyyzzx

21.(本小题14分)如图，已知某椭圆的焦点是用!-<“：酮离蝇和，过点0并垂直于x轴的直线与椭

圆的一个交点为B,且同酉图卒卜=眠，椭圆上不同的两点魂.跖谡场舟网例。满足条件：|嘱国、

，擎|、慢网成等差数列.

(1)求该椭圆的方程；

(2)求弦ac中点的横坐标；

⑶设弦4C的垂直平分线的方程为朋=融4■•魏i,求m的取值范围.

22.已知函数/'(%)=—4%+4.

(I)求函数的极值；

(口)求函数在区间［-3,4］上的最大值和最小值.

参考答案及解析

L答案：A

解析：

本题考查定积分的应用.

解：由题意也

二L也-e(3-1)^

x4

=­\

23

故选A.

2.答案：B

解析：解：­••i(l-i)2=i(-2i)=-2i2=2

故选2.

首先进行复数的平方运算，得到两个复数的乘法运算的形式，再进行复数的乘法运算，得到-2/2,

再根据虚数单位的乘方的结果，得到最后的值.

本题考查复数的代数形式的混合运算，考查复数的乘方运算，考查虚数的单位的性质，本题是一个

基础题，若出现认真计算，一定能得到分数.

3.答案：D

解析：解：尔•••命题p为真命题，命题q为假命题，.•・命题“pAq”为假命题，故A错误；

B、以=,可以推出5出&=、反之则不能，例如a=?,故2错误；

oz3

C、已知/为直线，a,£为两个不同的平面，•:a[0,I【BI〃a或Iua,故C错误；

D、命题2%>0的否定是3％06/?,2&W0”，故。正确；

故选D;

A、根据复合命题的真假，交集的性质，进行判断；

B、sina=a=120。也可以，从而进行判断；

C、根据空间立体集合中，线面垂直，线面平行的性质进行判断；

根据否定的规则进行判断；

此题以三角函数，空间立体几何为载体，考查复合命题的真假问题，是一道基础题；

4.答案:C

解析：

解答此类的方法是从特殊的前几个式子进行分析找出规律.观察前几个式子的变化规律，发现每一

个等式左边为立方和，右边为平方的形式，且左边的底数在增加，右边的底数也在增加.从中找规

律性即可.

解：,••所给等式左边的底数依次分别为L2；1,2,3；1,2,3,4；

右边的底数依次分别为3,6,10,(注意：这里3+3=6,6+4=10),

.•・由底数内在规律可知：第五个等式左边的底数为1,2,3,4,5,6,

右边的底数为10+5+6=21.又左边为立方和，右边为平方的形式，

故有/+23+33+43+53+63=212.

故选C.

5.答案：C

解析：

本题考查导数的性质及应用、函数的奇偶性、单调性等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能

力,考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题.当x<0时，F'(x)=EMr=

/叫)-俨，⑺>0,从而FQ)在(_8,0)上单调递增，在(0,+8)单调递减，利用/(2)=0,得到

F(-2)=F(2)=0,由此能求出F(x)<0的解集.

解：。F(x)=色是(-8,0)u(0,+8)上的偶函数，

9\.x)

,・•当%<0时,/'(%)g(%)-f(x)g'(x)>0

<。时，F3=*了=小)喂茅W⑺>。，

•1.F(x)在(-8,0)上单调递增，

"F(x)为偶函数,

根据偶函数的性质可得函数尸。)在(0,+8)单调递减，

又/(2)=0,./(—2)=F(2)=怒=0,

F(x)<0的解集为(—8,—2)U(2,+oo).

故选C.

6.答案：A

解析：解：•・,直线4B的方程为七+，=1,BPhx-ay+ab=0(a>h>0),

•・・左焦点F(—c,0)到48的距离d等于jb,

.1"|_包,

yla2+b27，

.•.一=±又b2=a2—c2,

a2+b27

・又

••8c2-14ac+5a2=o,e=a

两端同除以a?得：8e2-14e+5=0,

解得：6=^或6=|(舍去).

•,.椭圆的离心率为去

故选：A.

依题意，可求得直线4B的方程，利用点到直线间的距离公式可得到关于a,b,c的关系式，结合a?=

b2+c2与e=(即可求得该椭圆的离心率.

本题考查椭圆的简单性质与点到直线间的距离公式，求得弃为="是关键，考查转化思想与分析

Va2+b27

运算能力，属于中档题.

7.答案：A

解析：解：若直线/的方程为y=kQ—2),

则直线/过(2,0),是充分条件，

若直线Z经过点(2,0),

则直线方程不一定是：y=k(x-2),

比如直线：x=0,故不是必要条件，

故选：A.

根据充分必要条件的定义判断即可.

本题考查了充分必要条件，考查直线方程问题，是一道基础题.

8.答案：D

解析：解：联立必二；，解得久=0.

・•・若选择久为积分变量，则积分区间为[0,2].

故选D.

联立%;；，解得％=0,及已知即可得出积分区间.

正确理解积分区间是解题的关键.

9.答案:A

解析：解：命题与逆否命题的真假性相同，所以当几=k,k为正整数时命题成立，那么可推得当n=

k+1时，命题也成立.现已知当几=7时命题不成立，那么可以推得当几=6时该命题不成立.

故选：A.

利用命题与逆否命题的真假性相同，结合数学归纳法推出结果即可.

本题考查数学归纳法的应用，逆否命题与原命题的真假关系，考查转化思想.

10.答案:D

解析：

本题考查函数单调性与奇偶性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题.

根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案.

解：根据题意，依次分析选项：

对于4y4是奇函数，不符合题意；

对于B,y=2L是指数函数，不是偶函数，不符合题意;

对于c,y=1n|x|=0,是偶函数，但在(0,+8)上是增函数，不符合题意;

对于D,y=-x2+l,为开口向下的二次函数，既是偶函数，又是(0,+8)上的减函数，符合题意；

故选。.

1L答案：C

解析：解：由抛物线*=2px得其焦点坐标为尸名,0).

设4(ty/，yi)，B羽,、2)，

直线Z：X=my+p

y2=2px

P'得：y2~2pmy-p2=0.

(X=my+

•••71y2=-P2-©•

又抛物线方程为：y2=2px,即x=点外，

求导得x'=jy，

••・抛物线过点4切线方程为x-专资=,(y-%)-②

抛物线过点8的切线方程为％-5秃=iy2(y-y2)...③

zpP

由①②③得：X=-p

与12的交点P的横坐标%o=-]

故选：C

由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，由斜截式写出过焦点的直线方程，和抛物线方程联立求出4

8两点横坐标的积，再利用导数写出过4B两点的切线方程，然后整体运算可求得两切线的交点的

横坐标为定值-今

本题考查了轨迹方程，训练了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了整体运算思想方法，

是中档题

12.答案：C

解析：解：函数/0)的导函数[0)的图象如图所示，

可得%6(-8,久2),(%3，+8),/''(%)>0,所以函数/(X)是增函数.X6(x2,x3),f'(x)<0,函数是

减函数.

函数/Q)在X=%2时取极大值，在X=%3，函数取得极小值，

所以选项C正确.

故选：c.

直接利用导函数的图象的值域，判断函数的单调性即可.

本题考查函数的导数以及函数的图象的应用，考查基本知识的应用.

13.答案：|

解析：解：由题意，令一/+2%+1=1,可得％=0或%=2；

二曲线y=-x2+2x+1与直线y=1交于点4(0,1)和B(2,l)；

因此，围成的封闭图形的面积是

S=/：(-/+2x+1-l)dx=(-|x3+x2)|g=(一|+4)=

故答案为：

先确定积分区间，再确定被积函数，利用定积分求得曲线围成的封闭图形面积.

本题考查了利用定积分求面积应用问题，解题的关键是确定积分区间与被积函数.

14.答案：V2

解析：解：由(l+2i)z=1—3i,得z=fj

.=旦=修=巫=近

"11—1।1+।2/-|l+2i|-V5-

故答案为：V2.

把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解.

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题.

6答案：2或警

解析：解：如图：设双曲线的渐近线OA的倾斜角为氏则双曲线的离心率为e=U，

cosd

在中，\OA\=\OF2\cosd,\AF2\=\OF2\sind,

22

因此SAAFMZ=2XIX\OA\\AF2\=^csin26=^-c,

所以s讥28="可得2。=?或2。所以。=£或:

23363

所以双曲线的离心率为：6=2或空1

3

故答案为：2或壁.

3

画出图形,设双曲线的渐近线。4的倾斜角为。，则双曲线的离心率为e=二4,通过求解S-FF=%,

COS04

转化求解离心率即可.

本题考查双曲线的简单性的应用，考查数形结合以及转化思想的应用，是中档题.

16.答案:1—e

解析：

本题考查不等式的恒成立问题注意转化为求函数的最值问题，运用导数判断单调性，求极值和最值

是解题的关键，属于中档题.

令y=InQ+1)-ax-6-1,求出导数，分类讨论，进而得到62a+a-2,通过导数求出单

调区间和极值、最值，进而得到的最小值.

a

解：令y=ln(%+1)-a%-b-L则丫'=^71一。，

若a〈0,则y'>0恒成立，时函数递增，无最值.

若a>0,由y'=0得：x=匕匕

当一时，y'>0,原函数递增；

当久,此时，y'<0,原函数递减.

则％=1处取得极大值，也为最大值即13=一伉。+a-b-2,

—ITICL+CL—b—240,

・,•b>—Ina+a—2,

匕(Ina2

一之1--------------,

aaa

令t=1—也，，

aa

.1+lna

・•.((),「)上，t'<0,(?-1,+8)上，f>0,

CL=e19^min=1—C•

2的最小值为1—e.

a

故答案为：1-e.

17.答案：解：⑴将％=1一号力代入％+y—1=0,

得到y=/t.

fx=

所以直线I的参数方程为2(t为参数).

I7R2

曲线C的极坐标方程为p(l+cos20)=2asin6{a>0).

即2P2apsin"(a>0),

fKxtsO-=J,psiiW-y,

•••曲线C的普通方程为久2=ay(a>0).

(2)将直线1的参数方程代入/=ay,

整理得：t2-(2V2+V2a)t+2=0,

设4B在直线1上对应的参数分别为功，

tI+±2—2A/2^+匕%=2,

由于|P4|,\AB\,|PB|依次成等比数列,

所以：\AB\2=\PA\■\PB\,

即：I打一七『=tj.,»2，(11+12)2=5t1t2,

代入整理得：a2+4a-1=0,由于a>0,

解得：a=花—2.

实数a的值为b-2.

解析：本题考查的知识要点：普通方程、参数方程、极坐标方程的互化，直线参数方程的几何意义.

(1)直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化.

(2)结合直线和曲线的位置关系和直线的几何意义，利用一元二次方程根与系数的关系求出结果.

18.答案：解：对于命题p：函数丫=%2-4%+1=(%-2)2-3在区间(一8,0)上是减函数，命题p为

真命题，则。<2.

命题q为真命题，函数y=log(7-2a)%在(。,+8)上是增函数，则则aV3.

・••pVq为真命题，pAq为减命题，.・.p,q一真一假.

•♦・一会或m

la>3la<3

解得ae0,或2Va<3.

由此可知，a的取值范围为(2,3).

解析：对于命题P：函数丫=/一4%+1=(%-2)2-3在区间(一8«)上是减函数，利用二次函数的

单调性即可得出Q的取值范围.命题q为真命题，利用对数函数的单调性即可得出取值范围.由pvq

为真命题，pAq为减命题，可得p,q一真一假.

本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属

于中档题.

19.答案：解：(I)・.・/'(%)=靖一%—a,

f(0)=1-a=2,解得：a=-l,

•••/(%)=ex—+x,

・•・/(0)=1,

•••1=2x0+b,角军得：b=1.

(II)由题意/'(%)>0,即e*-x-a>0恒成立，

・•・a<ex-%恒成立，

设h(%)=ex—x,则"(%)=—1,

令"(%)>0,解得：%>0,

令1(%)<0,解得：%<0,

・,・力(%)在(-8,0)递减,在(0,+8)递增，

•••=九(。)=1，

・,•a<1.

解析：本题考察了函数的单调性，导数的应用，求参数的范围，是一道基础题.

(I)先求出/'(%)=峭一%-a,从而((0)=1-a=2,解得：a--1,=ex-|x2+%,解

得：b=1.

(口)由题意:(%)>0,即靖一%—a20恒成立，得a4靖―久恒成立，设九(%)=靖—%,求出

%(%)加71="(0)=1，从而a<1.

20.答案：证明：(1)由％2+y2>2xy,y2+z2>2yz,z2+%2>2zx,

相加可得％2+y2+Z2>xy+yz+zx,

由％2+y2+=3,可得%y+yz+zx<3(当第=y=z取得等号);

(2)由柯西不等式可得(%y+yz+2%)禽+£+£)

z2x2y2

22

>(xy-…---\-yz--y-----Fzx---)=(z+%+y)

%yZzx"

%2+y2+z2+2(xy+yz+zx)=3+2(xy+yz+zx),

则纪+次+”22+—--

xyyzzxxy+yz+zx

i1

由(1)可得诉"羡2m

22,,2

则7二+r二+匕22+1=3,

xyyzzx

故原不等式成立.

2222

解析：(1)运用重要不等式可得/+y2>2xy,y+z>2yz,z+x>2zx,累加即可得证；

(2)由柯西不等式可得(xy+yz+zx)(《+式+”)2(三+lyz-^+Izx-^)2,化简整理,

xyyzzxxy'yz'zx

结合(1)的结论即可得证.

本题考查不等式的证明，注意运用重要不等式和柯西不等式，以及不等式的性质，考查推理能力,

属于中档题.

21.答案：(1)一带―=：1；(2)=4；(3)一—嚅猫嘴一

黛螂3:5:

解析：试题解析：(1)由椭圆定义及条件知,如，=|舞酉用医用=嘱，得a=5,又c=4,所以b=

埼二3.故椭圆方程为二带匹=工(2)由点端%照H在椭