2020-2021学年北京市东城区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2020-2021学年北京市东城区九年级第一学期期末数学试卷

一、选择题（共8小题）.

1.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A.直角三角形B.圆C.等边三角形D.四边形

2.在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象上存在点尸。，3"）。〃>0,〃>0）的是（）

2,

A.y=-B.y=-x-1C.y=-x-1D.y=-3x

x

3.若关于x的方程/-2QX+1=0的一个根是-1,则〃的值是（）

A.1B.-1C.--D.-3

3

4.若菱形的面积为定值，则它的一条对角线的长与另一条对角线的长满足的函数关系是

（）

A.正比例函数关系B.反比例函数关系

C.一次函数关系D.二次函数关系

5.在平面直角坐标系尤2y中，△ABC与△ABC关于原点。成中心对称的是（）

6.不透明的袋子里有50张2022年北京冬奥会宣传卡片，卡片上印有会徽、吉祥物冰墩墩、

吉祥物雪容融图案，每张卡片只有一种图案，除图案不同外其余均相同，其中印有冰墩

墩的卡片共有〃张.从中随机摸出1张卡片，若印有冰墩墩图案的概率是看，则"的值

D

是（)

A.250B.10C.5D.1

7.如图，在圆形花圃中有两条笔直的小径，两端都在花圃边界上，分别记为AC,BD,设

交点为产，点C,。之间有一座假山，为了测量C,D之间的距离，小明已经测量了线段

A尸和尸。的长度，只需再测量一条线段的长度，就可以计算C,。之间的距离.小明应

该测量的是（）

A.线段B.线段CPC.线段A8D.线段AO

8.如图所示，在矩形纸片上剪下一个扇形和一个圆形，使之恰好能围成一个圆锥模型.若

r满足的数量关系是（)

C.R=3rD.R=4厂

二、填空题（共8小题）.

9.写出一个二次函数，使其满足：①图象开口向下；②当尤＞0时，y随着x的增大而减小,

这个二次函数的解析式可以是.

10.如图，点A在O。上，弦垂直平分。4,垂足为D若。4=4,则的长为.

11.A盒中有2个黄球、1个白球，B盒中有1个黄球、1个白球，这些球除颜色外无其他

差别，分别从每个盒中随机取出1个球，取出的2个球都是白球的概率是.

12.2017年生产1吨某种商品的成本是3000元，由于原料价格上涨，两年后，2019年生产

1吨该商品的成本是5000元，求该种商品成本的年平均增长率.设年平均增长率为尤，

则所列的方程应为（不增加其它未知数）.

13.在平面直角坐标系尤Oy中，将抛物线沿着>轴平移2个单位长度，所得抛物线的

解析式为.

14.如图，AABC是等边三角形，若将AC绕点A逆时针旋转角a后得到AC,连接8C和

CC,则NBCC的度数为.

C

15.已知抛物线y=x2-2x+c与直线相交于A,8两点，若点A的横坐标尤A=-1，则

点B的横坐标XB的值为.

16.如图1,在AABC中，AB>AC,。是边8C上一动点，设8,。两点之间的距离为x,

A,。两点之间的距离为》表示y与x的函数关系的图象如图2所示.则线段AC的长

为,线段A8的长为.

三、解答题（共52分，第17-21题，每小题5分，第22题6分，第23-25题每小题5分）

17.己知：如图，线段AB.

求作：以为斜边的直角△ABC,使得一个内角等于30°.

作法：①作线段AB的垂直平分线交AB于点O；

②以点。为圆心，0A长为半径画圆；

③以点B为圆心，08长为半径画弧，与。。相交，记其中一个交点为C；

④分别连接AC,BC.

AABC就是所求作的直角三角形.

(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；

(2)完成下面的证明.

证明：连接0C,

是。。的直径，

AZACB=°()(填推理的依据).

.•.△ABC是以A8为斜边的直角三角形.

•：OC=OB=BC,

是等边三角形.

AZCOB=60°.

/.ZA=°.

AB

18.在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与y轴交于点A(0,-1),且过点3(1,

4),C(-2,1).

(1)求二次函数的解析式；

(2)当-IWxWO时，求y的取值范围.

19.如图，AM平分/BAD,作交AM于点尸，点C在的延长线上，CF=BF,

DC的延长线交AM于点E.

(1)求证：AB=BF；

(2)右AB—1,AD=4t求SAEFC：SAEAO的值.

(1)若方程有两个相等的实数根，用含机的代数式表示仍

(2)若方程有两个不相等的实数根，且加=-4.

①求〃的取值范围；

②写出一个满足条件的n的值，并求此时方程的根.

21.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线y=K过点A(1,1),与直线y=4x交于8,C

x

两点(点8的横坐标小于点C的横坐标).

(1)求k的值；

(2)求点B,C的坐标；

(3)若直线与双曲线y=K交于点。(t,yi),与直线y=4x交于点E(t,y2),

x

当时，写出r的取值范围.

22.如图，在RtA4BC中，ZC=90°,A。平分NB4C,交于点。，以点。为圆心,

DC长为半径画O。.

(1)补全图形，判断直线与的位置关系，并证明；

(2)若2。=5,AC=2DC,求。£)的半径.

23.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线-2bx+\.

(1)若此抛物线经过点(-2,-2),求6的值；

(2)求抛物线的顶点坐标(用含匕的式子表示)；

(3)若抛物线上存在两点A(m,m)和2(n,n),且阿＞2,网＜2,求b的取值范围.

24.在△ABC中，AB=2M，CZ)_LA8于点D,CD=42.

(1)如图1,当点。是线段AB的中点时，

@AC的长为；

②延长AC至点E,使得CE=AC,此时CE与CB的数量关系是,/BCE与NA

的数量关系是;

(2)如图2,当点。不是线段A8的中点时，画NBCE(点E与点。在直线BC的异侧)，

使/BCE=2/A,CE=CB,连接AE.

①按要求补全图形；

②求AE的长.

图1图2

25.在平面直角坐标系xOy中，。。的半径为1.

给出如下定义：记线段A8的中点为当点M不在。。上时，平移线段A8,使点〃

落在。。上，得到线段Ab(A,9分别为点A,B的对应点)线段ATT长度的最小值称

为线段到O。的“平移距离”.

(1)已知点A的坐标为(-1,0),点B在x轴上.

①若点B与原点。重合，则线段AB到OO的“平移距离”为；

②若线段A3到。。的“平移距离”为2,则点8的坐标为；

⑵若点A,5都在直线尸浜+4上，且AB=2,记线段A8到。。的“平移距离”为

O

出,求小的最小值；

(3)若点A的坐标为(3,4),且42=2,记线段AB到。。的“平移距离”为办，直

接写出d2的取值范

参考答案

一、选择题（共8小题）.

1.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A.直角三角形B.圆C.等边三角形D.四边形

解：4直角三角形不一定是轴对称图形，一定不是中心对称图形，故本选项不合题意；

8、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；

C、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；

。、四边形不一定是轴对称图形，也不一定是中心对称图形，故本选项不合题意.

故选：B.

2.在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象上存在点尸（优，w）（m>0,n>0）的是（）

2,

A.y=-B.y=-尤-1C.y=-x-1D.y=-3x

x-

解：由题意，图象经过第一、三象限的函数是满足条件的，

A、函数y='的图象在一、三象限，满足条件；

x

8、函数y=-X-1的图象经过二、三、四象限，不经过第一象限，不满足条件；

C、函数y=-f-1的图象经过三、四象限，不经过第一象限，不满足条件；

D、函数y=-3x的图象经过二、四象限，不经过第一象限，不满足条件；

故选：A.

3.若关于x的方程4*一2〃冗+1=0的一个根是-1,则〃的值是（）

A.1B.-1C.D.-3

解：:关于X的方程ax-2ax+l=0的一个根是-1,

4+2〃+1=0,

...3〃+1=0,

解得a=-

故选：C.

4.若菱形的面积为定值，则它的一条对角线的长与另一条对角线的长满足的函数关系是

()

A.正比例函数关系B.反比例函数关系

C.一次函数关系D.二次函数关系

解：设菱形的面积为S,两条对角线的长分别为X、》则有，

聂=S,

而菱形的面积为定值，即2s为定值，是常数不变，

所以y是龙的反比例函数，

故选：B.

5.在平面直角坐标系尤Oy中，AABC与△A8C关于原点。成中心对称的是（）

解：A、△ABC与△A9C关于y轴对称，所以A选项不符合题意；

B、ZkABC与△ABC关于x轴对称，所以B选项不符合题意；

C、△ABC与44方,。关于（-/，0）对称，所以C选项不符合题意;

D、△ABC与△ABC关于原点对称，所以。选项符合题意；

故选：D.

6.不透明的袋子里有50张2022年北京冬奥会宣传卡片，卡片上印有会徽、吉祥物冰墩墩、

吉祥物雪容融图案，每张卡片只有一种图案，除图案不同外其余均相同，其中印有冰墩

墩的卡片共有〃张.从中随机摸出1张卡片，若印有冰墩墩图案的概率是占，则〃的值

D

是（）

A.250B.10C.5D.1

解：由题意得，

旦=工

而一T

解得"=10,

故选：B.

7.如图，在圆形花圃中有两条笔直的小径，两端都在花圃边界上，分别记为AC,BD,设

交点为P,点C,。之间有一座假山，为了测量C,。之间的距离，小明已经测量了线段

AP和尸。的长度，只需再测量一条线段的长度，就可以计算C,。之间的距离.小明应

该测量的是（）

A.线段BPB.线段CPC.线段ABD.线段AD

解：如图，连接A8.

NDBP=ZABP,NDPC=ZAPB,

：.△APBsADPC,

：.AP-.DP=AB：DC.

•••只需再测量AB线段的长度，就可以计算C,D之间的距离.

8.如图所示，在矩形纸片上剪下一个扇形和一个圆形，使之恰好能围成一个圆锥模型.若

则R与，满足的数量关系是（）

A.B.R=2rC.R=3rD.7?=4r

解：扇形的弧长是：嘿旦=与

ioU2

圆的半径为r,则底面圆的周长是2nr,

圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到：争

2nr,

即：R=4厂,

R与厂之间的关系是R=4几

故选：D.

二、填空题（本题共24分，每小题3分）

9.写出一个二次函数，使其满足：①图象开口向下；②当%>0时，y随着x的增大而减小,

这个二次函数的解析式可以是y=-f-2x-l

解：二次函数yuaf+bx+c,

①开口向下,

②当尤>0时，y随着龙的增大而减小，-?/。，即b<0；

2a

•.•只要满足以上两个条件就行,

如〃=-1,b=-2,c=-l时，二次函数的解析式是y=-2x-1.

故答案为：y=1.

10.如图，点A在o。上，弦BC垂直平分。4,垂足为D.若。4=4,则BC的长为」

解：连接。c,

VBCXOA,

：.ZODC=90°,BD=CD,

'：OD=AD,

CD=VOC2-OD2=V42-22=2V3>

：.BC=2CD=4-/3,

故答案为4-y3-

11.A盒中有2个黄球、1个白球，8盒中有1个黄球、1个白球，这些球除颜色外无其他

差别，分别从每个盒中随机取出1个球，取出的2个球都是白球的概率是.

解：根据题意画图如下：

共有6种等可能的结果数，其中取出的2个球都是白球的有1种，

则取出的2个球都是白球的概率是

6

故答案为：

0

12.2017年生产1吨某种商品的成本是3000元，由于原料价格上涨，两年后，2019年生产

1吨该商品的成本是5000元，求该种商品成本的年平均增长率.设年平均增长率为x,

则所列的方程应为3000(1+x)2=5000(不增加其它未知数).

解：设这种商品的年平均增长率为x,

3000(1+x)25000.

故答案为：3000（1+故2=5000.

13.在平面直角坐标系xOy中，将抛物线>=，沿着y轴平移2个单位长度，所得抛物线的

解析式为y=f+2或y=f-2.

解：将抛物线y=d沿着y轴正方向平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为y=f+2；

将抛物线沿着）轴负方向平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为_2；

故答案是：y=f+2或_2.

14.如图，△A8C是等边三角形，若将AC绕点A逆时针旋转角a后得到AC,连接5c和

CC',则N5CC的度数为30。.

解：・・,将AC绕点A逆时针旋转角a后得到AC,

：.AC=AC\ZCAC=a,

180a

：.ZACC=ZACC=2~=9Q°

VAABC是等边三角形，

：.AB=ACfZBAC=60°,

：.AB=AC,

1800-60°-aa

ZACB=———号----------=60°o,

22

AZBCC=ZACC-ZACB=(90°--^-)-(60°—y)=30°.

故答案为：30°.

15.已知抛物线2x+c与直线相交于A,8两点,若点A的横坐标用=-1,则

点B的横坐标XB的值为3.

解：把物=-1代入-2x+c得，y=l+2+c=3+c,

AA(-1,3+c),

.・•抛物线-2x+c与直线>=相相交于A,3两点，

:・B的纵坐标为3+c,

把y=3+c代入y=x?-2x+c得，3+c—x~-2x+c,

解得x=-1或x=3,

...点B的横坐标切的值为3,

故答案为3.

16.如图1,在△ABC中，AB>AC,。是边BC上一动点，设8,。两点之间的距离为x,

A,。两点之间的距离为》表示y与x的函数关系的图象如图2所示.则线段AC的长

为后_，线段4B的长为2后.

当尤=7时，即BD=7时，C、。重合，止匕时贝I。=6,

即当80=1时，△AOC为以点A为顶点腰长为J迅的等腰三角形，如下图：

过点A作AH_LBC于点”，

在RtzXACH中，AC—y[l2,CH—DH--^CD—3,则AF/={AC2_01]2={]3_9=2,

在RtAABH中，^B=VAH2+BH2=V(1+3)2+22=2V5>

故答案为：V13-2病.

三、解答题(本题共52分，第17-21题，每小题5分，第22题6分，第23-25题每小题5

分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程

17.已知：如图，线段A8.

求作：以AB为斜边的直角△ABC,使得一个内角等于30°.

作法：①作线段AB的垂直平分线交AB于点O；

②以点。为圆心，04长为半径画圆；

③以点8为圆心，08长为半径画弧，与。0相交，记其中一个交点为C；

④分别连接AC,BC.

△ABC就是所求作的直角三角形.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：连接0C,

VAB是。。的直径，

:.NACB=90°（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）.

.二△ABC是以A8为斜边的直角三角形.

：OC=OB=BC,

...△OBC是等边三角形.

.-.ZCOB=60°.

30°.

AB

（2）连接。C,

,：AB是O。的直径，

AZACB=90°（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）.

.•.△ABC是以AB为斜边的直角三角形.

\'OC=OB=BC,

.1.△OBC是等边三角形.

：.ZCOB=6Q°.

：.ZA=30°.

故答案为：90,直径所对的圆周角是直角，30.

18.在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与y轴交于点A(0,-1),且过点3(1,

4),C(-2,1).

(1)求二次函数的解析式；

(2)当-1W尤W0时，求y的取值范围.

解：(1)设二次函数的解析式为＞

c=-lfa=2

把A(0,-1),B(1,4),C(-2,1)代入得＜a+b+c=4，解得＜b=3，

-=-

L4a2b+c=1,cl

二二次函数解析式为y=2』+3x-1；

(2)\"y—2x2+3x-1—2.

当尤=-六时，y有最小值为-与，

48

\'x=-1时，y=2f+3x-1=-2；冗=0时，y=-1,

・••当-IWxWO时，y的取值范围为-g1W7yW-1.

O

19.如图，AM平分NA4D,作3尸〃AD交AM于点尸，点。在B尸的延长线上，CF=BF,

。。的延长线交AM于点尽

(1)求证：AB=BF；

(2)若A5=l,AD=4,求SzxE”：&以。的值.

：.ZBAM=ZDAMf

\9BF//AD,

：.ZBFA=/DAM,

：.ZBAM=ZBFAf

：.AB=BF；

(2)\9AB=1,

：.AB=BF=CF=lf

\'BF//AD,

:ACEFsADEA,

.SAEFC_(CF)21

SAEAD加16

20.关于x的一元二次方程x2+mx+H=0.

(1)若方程有两个相等的实数根，用含机的代数式表示S

(2)若方程有两个不相等的实数根，且m=-4.

①求n的取值范围；

②写出一个满足条件的孔的值，并求此时方程的根.

解：(1)・・・关于x的一元二次方程/+加计〃=0有两个相等的实数根，

:・△=君-4«=0,

・

••n——1m2；

4

(2)①•.•方程有两个不相等的实数根，且m=-4.

；.△=(-4)2-4«>0,

解得n<4；

@-：n<4,

，w可以是3,

此时方程为f-4x+3=0,

(x-3)(x-1)=0,

解得修=3,x2=l.

21.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线>=乂■过点A(1,1),与直线y=4x交于5,

x

两点(点5的横坐标小于点。的横坐标).

(1)求人的值；

(2)求点B,C的坐标；

(3)若直线％=/与双曲线y=K■交于点。(/,yi),与直线y=4x交于点E(/,以)，

x

当为<>2时，写出/的取值范围.

解：(1)•.•双曲线y=K过点A(1,1),

X

:.k=1X1=1；

（1（1

V=---T=---

（2）解4x得42或4

y=4xy=2[y=-2

（-/，-2）,C2）；

(3)观察函数的图象，当乃＜以时，f的取值范围为-专或

22.如图，在RtZXABC中，NC=90°,AD平分N8AC,交BC于点D,以点。为圆心,

0c长为半径画OD

(1)补全图形，判断直线与。。的位置关系，并证明;

(2)若8。=5,AC=2DC,求。。的半径.

解：（1）图形如图所示，结论与。。相切.

平分/BAC,DC±AC,DELAB,

：.DE=DC,

二。。与A8相切.

(2)设DE=DC=r,BEx.

,：AB,AC是。。的切线,

.".AC=AE=2CD=2r,

,；NACB=/BED=90°,

(r+x2-y52

则有《

、(2r)2+(5+r)2=(x+2r)2

解得

不Ix=4

・・・。。的半径为3.

23.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线>=/-2bx+l.

(1)若此抛物线经过点(-2,-2),求b的值；

(2)求抛物线的顶点坐标(用含6的式子表示)；

(3)若抛物线上存在两点A(m,m)和8(n,n),且|沏>2,\n\<2,求6的取值范围.

解：(1)..•抛物线经过点(-2,-2),

.♦.4+46+1=-2,

7

解得b=-—；

4

(2)*/y=x2-2bx+l=(x-b')2-b~+l,

抛物线的顶点坐标为(b,-ft2+l)；

(3):•点A(m,m)和B(n,n),

・••点A(m,m)和3(n,〃)在直线y=x上，

f2

曲y-x-2bx+l,消去y得工2-2法+l=x,

、y=x

整理得(2b+l)x+l=0,

.*.△=(2b+l)2-4>0,即(2人+3)(2b-1)>0,

，2b+3>0,f2b+3<0

2b-l>0[2b-l<0

12

解得匕>5■或b<-—,

由f-(2Z?+1)x+l=0可知加•九=1,

.,.m>〃同号,

V|m|>2,|n|<2,

5

当m>n>0时，m+n>—,

5q

2Z?+1,解得匕>二

24

5

当0>机>〃时，m+n<

2

57

2Z?+1<-—,解得b<——,

24

综上，b的取值范围为3人>[■或7.

44

24.在△ABC中，AB=2M，CD_LA3于点。，CD=&.

(1)如图1,当点。是线段A8的中点时，

@AC的长为—遥_；

②延长AC至点E,使得CE=AC,止匕时CE与CB的数量关系是CE=CB,NBCE

与NA的数量关系是/BCE=2/A；

(2)如图2,当点。不是线段A8的中点时，画/8CE(点E与点。在直线BC的异侧)，

使CE=CB,连接AE.

①按要求补全图形；

②求AE的长.

图1图2

解：(1)①如图1中，

：4£>=。8=暴2=我，CD1AB,

：.CA=CB,NADC=90°,

VCD=V2-

.-.AC=7CD2+AD2=7（V2）2+（V3）2=V5.

故答案为：Vs-

②连接BE."：CA^CE,CA=CB,

：.CE=CB,

•；CA=CB,

・•・ZA=ZCBAf

：.ZECB=ZA^ZCBA=2ZA,

故答案为：CE=CB,ZBCE=2ZA.

(2)①图形如图2所示：

图2

②如图2中，在AC的上方作△ACT,使得CT=CA,/ACT