历年数学真题

1998年理工数学一

一、填空题

,I、Jl+x+Jl—x-2

(1)rlim--------z-------=_____.

XT。X2

1^2

(2)设Z=；/(盯)+)夕"+)，),九/具有二阶连续导数，则菰=•

(3)设/为椭圆工+二=1,其周长记为a,则J(2孙+3/+4y之)ds=____.

431

⑷设A是〃阶矩阵，⑶。0,A*为A的伴随矩阵，石为〃阶单位矩阵.若A有特征值4则

(A*Y+E必有特征值.

(5)设平面区域。由曲线y=(及直线＞=0/=1»=62所围成，二维随机变量(*,丫)在

区域。上服从均匀分布，贝I](x,y)关于X的边缘概率密度在x=2处的值为.

二、选择题

(1)设/(x)连续，则第[/(/一/.等于

(A)xf(x2)(B)-V(x2)(C)2V(x2)(D)-2V(x2)

(2)函数〃x)=(x2—》一2),3-川不可导点的个数是

(A)3.(B)2.(C)1.(D)0.

(3)已知函数y=y(x)在任意点x处的增量y=；.：+a,且当x-0时，a是x的

高阶无穷小，"0)=乃，则y(l)等于

汗乃

(A)2%.(B)TC.(C)(D)

是满秩的，则直线)口=2也=三曳与直线

(4)设矩阵b2

6Z1一出瓦一仇G-C]

4

x-a}_丫一仄_z—C]

a2~a3%一%C2~C3

(A)相交于一点.(B)重合.

（C）平行但不重合.（C）异面.

（5）设A、8是两个随机事件，且0〈尸（4）<1/（3）〉0,尸（814）=2倒冈,则必有

（A）P（AIB）=P（AIB）（B）尸⑷B）HP（XlB）

（C）P（AB）=P（4）尸（8）.（D）P（AB）HP（A）尸（B）.

三、求直线/:『=：=一■在平面%:x-y+2z-1=0上投影直线％的方程，并求绕

y轴旋转一周所成曲面的方程.

22

四、确定常数/I,使在右半平面x>0上的向量A（x,y）=2盯（/+y2y；_x（/+y^j

为某二元函数“（x,y）的梯度，并求

五、从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y（从海平面

算起）与下沉速度n之间的函数关系.设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉,

在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为用,体积为8,海水比重为p,仪器所

受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为k（k>0）.试建立y与v所满足的微分方程，并求

出函数关系式y=y（v）.

六、计算0竺些心工丝，其中z为下半球面z=一夜二守的上侧，.为

E（x2+y2+z2p

大于零的常数.

七、求lim----H----9T—+---------.

〃+—〃+一

_2n_

八、设正项数列｛6｝单调减少，且发散，试问级数£」一是否收敛？并

n=\n=lI+1,

说明理由.

九、设y=/（X）是区间［0,1］上的任一非负连续函数.

（1）试证存在/€（0』），使得再区间［0，x0］上以/（%）为高的矩形面积，等于再区间

工,1］上以y=〃x）为曲边的梯形面积.

（2）又设/（x）在区间（0,1）内可导，且/'（x）＞—旦证明（1）中的小试唯一的.

十、己知二次曲面方程x2+ay2+z2+2bxy+2xz+2yz=4,可以经过正交变换

化为椭圆柱面方程〃2+=4,求a力的值和正交矩阵P

十一、设A是〃阶矩阵，若存在正整数k,使线性方程组A"a=0有解向量a,且

证明：向量组a,Aa,…，A"%是线性无关的.

十二、已知线性方程组

a11x1+a12x2+---+aL2„x2„=0

八、a2tXl+422”2I-a2.2nX2n=°

丙+"“2尤2+…+4，,2/2，，=0

的一个基础解系为（伉］,［2,…,"1.2"），（，21也2,…也,2"）,…'（储也2,…也.2"）,试与出线

性方程组

工内+%4+…+%2/2“=0

,、，2内+022*2,■^2.2nX2n=°

4声+“2々+…+猿2/2"=0

的通解，并说明理由.

十三、设两个随机变量x,y相互独立，且都服从均值为o,方差为』的正态分布，求随机

2

变量|x-H的方差.

十四、从正态总体N（3,4,6?）中抽取容量为”的样本，如果要求其样本均值位于区间

（1.4,5.4）内的概率不小于0.95,问样本容量〃至少应取多大？

附表：标准正态分布表

1.281.6451.962.33

①（Z）0.9000.9500.9750.990

十五、设某次考试的学生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生地成绩，算得平均

成绩为66.5分，标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生

得平均成绩为70分？并给出检验过程.

附表：f分布表

叩⑺(〃)}=〃

0.950.975

351.68962.0301

361.68832.0281

1998年理工数学二

一、填空题

.+X+yjl—X-2

（1）lim--------；-------

1。x2

(2)曲线y=—/+/+与x轴所围成的图形的面积4=

rInsinx.

].,dx=-----.

Jsin-x

设/（x）连续，则第]，（》2一产.=

(4)

,(1

(5)曲线y=xlne+一（x>0）的渐进线方程为.

kx

二、选择题

设数列X”与居满足limx„x,=0,则下列断言正确的是

“TOO

(A)若迎发散,则以必发散.

(B)若Z无界,则为必有界.

(C)若血有界,则”必有无穷小.

若‘为无穷小，则此必为无穷小.

(D)

X”

(2)函数”x)=(x2-x—2),—%］不可导点的个数是

(A)3.(B)1.(C)2.(D)0.

(3)已知函数y=y(x)在任意点x处的增量+a,且当xf0时，。是x的

高阶无穷小，)，(())=》，则y(l)等于

兀

(A)7t.(B)71.(C)(D)2万

(4)设函数/(x)在x=a的某个邻域内连续，且/(a)为其几大值，则存在6>0,当

x+时，必有

(A)(x-a)[/(x)-/(a)]>0.

(B)(x-a)[/(x)-/(叫<0.

(C)lim

t-^a

/(f)—“X)

(D)lim<0(x丰a

r-x)2

(5)设A是任一n(〃23)阶方阵，A*是其伴随矩阵，又人为常数，且左*0,±1,则必有

(A)kA(B)k"-'A*(C)女A*(D)k-'A*

三、

求函数/(x)=(1+X)京闫在区间(0,2万)内的间断点，并判断其类型.

ax-sinx

四、确定常数Ac的值，使lim=c(cw0)

.r-»0

五、利用代换>=>一将方程y,cosx-2ysinx+3ycosx=e*化简，并求处原方程的通

cosx

七、从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y(从海平面

算起)与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉,

在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为加，体积为8,海水比重为夕,仪器所

受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为女伍〉0).试建立y与v所满足的微分方程，并求

出函数关系式y=y(v).

八、设y二/(X)是区间［0,1］上的任一非负连续函数.

(1)试证存在x°e(O,l),使得再区间上以/(%)为高的矩形面积，等于再区间

［%,1］上以y=/(x)为曲边的梯形面积.

(2)又设/(x)在区间(0,1)内可导，且f(x)>—*0,证明(1)中的玉)试唯一的.

九、设有曲线、=，7万，过原点作其切线，求由此曲线、切线及x轴所围成的平面图形绕

x轴旋转一周所得的旋转体的表面积.

十、设)，=)，(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x,y)处的曲率为工=^,且此

J1+/

曲线上点(0,1)处的切线方程为y=x+l,求该曲线的方程，并求函数y=y(x)的极值.

H■•一■、设xw(0,l),证明：

(1)(l+x)ln2(l+x)<x2;

,、1,111

(2)1<—；---------------<一.

In2ln(l+x)x2

十二、设(2E—。一%)4=。一1,其中E是4阶单位矩阵，4是4阶矩阵A的转置矩阵.

12-3-21201

-30120

,c=

20012

00010001

求A.

7

十三、已知a,=(1,4,0,2)，,a2=(2,7,1,3),a3=(0,1,-1,af,/?=(3,10,4)',问

(1)a)取何值时，/?不能由?，a2.a?线性表示？

(2)a,〃取何值时，月能由/,七,线性表示？并写出其表达式―

1999年全国硕士研究生入学统一考试

理工数学一试题详解及评析

一、填空题

(1)limf4------|.

•9。(厂xtanx)

(Jex/、2

(2)—sin(x-f)dt=

dx^v7

(3)炉一4y=/的通解为.

(4)设〃阶矩阵A的元素全为1,则A的〃个特征值是.

(5)设两两相互独立的三事件A,B和C满足条件：ABC=P(A)=P(B)=P(C)<1,

9

且尸(4口8口。)=而，则尸(人)=.

二、选择题

(1)设“X)是连续函数，F(x)是其原函数，则

(A)当“X)是奇函数时，F(x)必是偶函数.

(B)当/(x)是偶函数时，尸(x)必是奇函数.

(C)当/(x)是周期函数时，/(x)必是周期函数.

(D)当“X)是单调增函数时，*x)必是单调增函数.

I-cosX,、

---—，元>0

yjx其中g(x)是有界函数，则/(X)在X=0处

fg(x),xW0

(A)极限不存在I.(B)极限存在，但不连续

(C)连续，但不可导(D)可导.

x,0<x<—8

2a

⑶设/(x)=<S3包+ZnCOSn兀X,-00<X<+00,

cc1,2

2—2x,一<x<1n=l

•i(

其中4“=2£/(x)cosn/vxdx,(n=0,1,2,…)，则S一句等于

1133

(A)-(B)--(Q-(D)_—

2244

(4)设A是〃2x〃矩阵，6是nxwi矩阵，则

(A)当用〉〃时,必有行列式148b0(B)当机>〃时，必有行列式|AB|=0

(C))当〃〉机时，必有行列式|相卜0(D)当〃>〃?时，必有行列式川=0

(5)设两个相互独立的随机变量X和y分别服从正态分布N(0,l)和N(l,l),则

(A)P{X+YWO}=；.(B)尸{x+丫wi}=；.

(C)P{X—y<0}=；.(D)P{X-Y<l}=^.

三、设y=y(x),z=z(x)是由方程z=4(x+y)和b(x,y,z)=0所确定的函数，其中/

dz

和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求空.

dx

四、求/=L(e"siny-/?(x+y))dx+(e*cosy-axMy,其中为正常数，L为从点

A(2a,0)沿曲线y=Jax—到点。(0,0)的弧.

五、设函数y(x)(xN0)二阶可导且y(》)>0,〉(0)=1,过曲线〉=》(%)上任意一点

P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S”

区间[0,x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为§2,并设2s「邑恒为1,求此曲线

y=y(x)的方程.

六、试证：当x>0时，(x2-l)lnxZ(x-l)2.

七、为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口，已知井深30m,抓

斗自重400N,缆绳每米重500N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,在提升过

程中，污泥以20N/S的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服

重力需作多少焦耳的功？(说明：①皿、1〃?=1];〃?”,5，分别表示米，牛顿，秒，焦耳;

②抓斗的高度位于井口上方的缆绳长度忽略不计)

22

八、设S为椭球面与+三+[2=1的上半部分，点p(x,y,z)es,乃为S在点尸处的切平

面，P(x,y,z)为点。(0,0,0)到平面乃的距离，求JJ[为.

sz)

兀

九、设「tanbdx,

“Jo

(1)求Z—(a“+4+2)的值；

〃=1〃

(2)试证：对任意的常数几>0,级数£之■收敛

“=1"

a-Ic

十、设矩阵囚=5b3，其行列式闯=一1,又A的伴随矩阵A*有一个特征值4,

1-c0-a

属于4)的一个特征向量为a=(—l,T,l),，求。力,c和4的值.

十一、设A为机阶实对称矩阵且正定，8为〃2X”实矩阵，夕为8的转置矩阵，试证：

BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩/"(B)=n.

十二、设随机变量x与Y相互独立，下表列出了二维随机变量(x,y)联合分布律及关于x

和关于Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处.

P!X=x}=

%%(iPi

8

x2

8

尸{Y=)',}=P/1

6

十三、设总体X的概率密度为

，/、x)Q<x<。

/(x)=S>

0,其他

X1,X2,…，X,,是取自总体X的简单随机样本

(1)求。的矩估计量

(2)求i的方差

1999年全国硕士研究生入学统一考试

理工数学二试题详解及评析

一、填空题

x—sin

(i)曲线《在点(o,i)处的法线方程为

y=e'cosIt

(2)设函数y=y(x)由方程In(x?+y)=x3y+sinx确定,

(3)

(4)函数》二-7二在区间L曲上平均值为

VT7L22J

(5)微分方程/-4y=e2*得通解为.

二、选择题

设〃x)=其中g(x)是有界函数,则/(x)在x=0处

(A)极限不存在.

(B)极限存在，但不连续

(C)连续，但不可导

(D)可导.

(2)设a(x)=『乎九夕(x)='(1+f)；力,则当x->0时，a(x)是夕(x)的

(A)身阶无穷小；

(B)低阶无穷小；

(C)同阶但不等价的无穷小;

(D)等价无穷小.

(3)设“X)是连续函数，/(x)是其原函数，则

(E)当/(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数.

(F)当/(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数.

(G)当/(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数.

(H)当/(x)是单调增函数时，£(x)必是单调增函数.

⑷“对任意给定的£c(O,l),总存在正整数N,当〃2N时，恒有氏―是数列

｛》“｝收敛于a的

(A)充分条件但非必要条件；

(B)必要条件但非充分条件；

(C)充分必要条件；

(D)既非充分条件又非必要条件；

x—2x—1x—2x-3

2x-22x—12x—22x—3

(5)记行列式''〜为/(x),则方程/(x)=0的根的个数为

3x—33x~24-x~53x—5

4x—35x—74x-3

(A)1.(C)3.(D)4

Jl+tanx-Jl+sinx

1。xln(l+x)-x2

四、计算『理等

五、求初值问题!

六、为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口，已知井深30m,抓

斗自重400N,缆绳每米重500N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,在提升过

程中，污泥以20N/S的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服

重力需作多少焦耳的功？(说明：①1"X1/”=11/;m,',5,>/分别表示米，牛顿，秒，焦耳;

②抓斗的高度位于井口上方的缆绳长度忽略不计)

x3

七、已知函数片=2,求

(1)2

(1)函数的增减区间及极值；

(2)函数图形的凹凸区间及拐点；

(3)函数图形的渐进线.

八、设函数y(x)在闭区间［一1,1］上具有三阶连续导数，且/(—l)=OJ(l)=l,f(O)=O,

证明：在开区间(-1,1)内至少存在一点,使/■(<)=3・

九、设函数y(x)(x20)二阶可导，且f(x)>O,y(O)=l,过曲线y=y(x)上任意一点

尸(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围程的三角形的面积记为加，

区间［0,x］上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2,并设2S「S2,恒为I,求此曲线

y=y(x)的方程.

十、设/(x)是区间［0,+8)上单调减少且非负的连续函数，

%=2/(A)一J：/(x)d耻=1，2,…，)证明数列｛《｝的极限存在.

-11-r

十一、设矩阵A=—111，矩阵X满足A*X=AT+2X,其中A*是A的伴随矩阵,

1-11

求矩阵X.

十二、设向量组名=(1」,1,3)，02=(—1,—3,5,1)，％=(3,2,-1,〃+2)’，

(1)p为何值时，该向量组线性无关？并在此时将向量a=(4,1,6,10),用/，%,%,

%线性表出；

(2)p为何值时，该向量组线详相关？并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组.

2000年全国硕士研究生入学统一考试

理工数学一试题详解及评析

一、填空题

(1)£^Ix—^dx-.

(2)曲面/+2产+3z2=21在点(1,—2,2)的法线方程为.

(3)微分方程城+3y=0的通解为.

12

(4)已知方程组23则〃=

1a

（5）设两个相互独立的事件A和8都不发生的概率为，A发生8不发生的概率与B发生

A不发生的概率相等，则P（A）=.

二、选择题

（1）设/（x）,g（x）是恒大于零得可导函数，且/'（x）g（x）—/（x）g'（x）＜0,则当

。＜X＜。时，有

(A)/(x)g(b)>/(b)g(x)(B)/(x)g(a)>/(a)g(x)

(C)/(x)g(x)>/(b)g(b)(D)/(尤)g(x)>/(a)g(a)

(2)设5:/+)，2+72="2卜20)，¥为5在第一卦限中的部分，则有

(A)jjxdS=4jjxdS(B)jjydS-4jjxdS

SS|SS]

(C)/dS=4jJxdS(D)j|xyzdS=4JjxyzdS

SySS]

8

（3）设级数gw“收敛，则必收敛的级数为

〃=1

（A）（B）%

n=l〃n=l

0000

（C）Z（，2〃—l）,（D）

n=1n=\

（4）设“维列向量组％,（机＜〃）线性无关，则〃维列向量组用，…,乃“线性无关的

充分必要条件为

（A）向量组可由向量组片，…,底线性表示.

（B）向量组用，…,我可由向量组必，…,a,“线性表示.

（C）向量组q,am与向量组4,…,力”等价.

（D）矩阵4=（%与矩阵8=（4,…，凡）等价.

（5）设二维随机变量（x,y）服从二维正态分布，则随机变量g=x+y与〃=x-y不相

关的充分必要条件为

（A）£（X）=E（y）.

2222

（B）E（x）-［E（x）］=E（y）-［E（r）］.

（C）£（X2）=E（r2）.

（D）E（X2）+［E（X）］2=E（y2）+［E（y）］2.

四、设z=/孙,+其中/具有二阶连续偏导数，g具有二阶连续导数，求色

Iy）Sxdy

五、计算曲线积分/=J,煞苦其中L是以点（1,0）为中心，R为半径的圆周（R〉l）,

取逆时针方向.

六、设对于半空间x>0内任意的光滑有向封闭曲面S,都有

||xf（xyfydz-xyf（x）dzdx-e2xzdxdy-0,

s

其中函数/（x）在（0,+8）内具有连续的一阶导数，且吟〃x）=l,求“X）.

七、求基级数£——-——上的收敛区域，并讨论该区间断电处的收敛性.

七3"+（—2）n

八、设有一半径为R的球体，《是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点

到尼距离的平方成正比（比例常数人〉0）,求球体的重心位置.

九、设函数/（x）在［0,句上连续，且I"（x”x=0,J；f（x）cosxdx=0,试证：在（0,万）

内至少存在两个不同的点九乙，使/信）=/倡）=0.

十、（本题满分6分）

-100o-

0100

设矩阵4的伴随矩阵A*=，且=84-、3旦其中E为4阶单位矩

1010

0-308

阵，求矩阵A

十一、某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工得人数统计，然后将工熟练工支

6

援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐，新、老非熟练工经过培训及之间实践至

2

年终考核有-成为熟练工.设第〃年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为相

(X\

和y“，记为向量”.

(1)的关系式并写成矩阵形式:

⑷5

(2)验证7=，小=是A的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值;

7I1,

十二、某流水生产线上每一个产品不合格的概率为p(O<p<l),各产品合格与否相互独立,

当出现一个不合格产品时即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了产品的个数为X,求

X的数学期望E(x)和方差D(x).

十三、设某种元件的使用寿命X的概率密度为

2eT〜),x>0

0,x<e

其中。〉0为未知参数，又设芯,9,…,x“是X的一组样本观测值，求参数。的最大似然估

计值.

2000年全国硕士研究生入学统一考试

理工数学二试题

一.填空题

arctanx-x

(1)lim

x->0ln(l+2x3)

(2)设函数y=y(x)由方程2*'=x+y所确定，则小，|

A-0

+00dx

(3)

2(X+7)TX^2

(4)曲线y=(2x-l)e*的斜渐近线方程为,

1000

.-23；二,我为阶单位矩阵，且B=(E+A)T(E—则(

(5)设A=4A),8+E1

0-4

00-67

二、选择题

(1)设函数在(-00,+00)内连续，且触〃x)=0,则常数〃力满足

(A)a<Q,b<0(B)a>Q,b>0

(C)a<0,Z?>0(D)a>0,b<0

(2)设函数满足关系式r(x)+|y(到了"，且/(0)=0,则

(A)”0)是/(x)的极大值

(B)/⑼是/⑴的极小值

(C)点(0,/(()))是曲线y=/(x)的拐点

(D)〃0)不是“X)的极值，点(0J(0))不是曲线y=/(x)的拐点

(3)设函数〃x),g(x)是大于零的可导函数,且r(x)g(x)—〃x)g'(x)<0,则当

a<x<匕时，有

(A)〃x)g(b)>/(b)g(x)(B)/(x)g(a)>/(a)g(x)

(C)/(x)g(x)>/(6)g®(C)〃x)g(x)>/(a)g(a)

(4)若limsin6x+*x)=o,则.6+半)为

x->0.r-»0£

(A)0(B)6(C)36(D)oo

(5)具有特解弘=6-*,%=2%6-',%=3"的3阶常系数齐次微分方程是

・"，HIItI

(A)y-y-y+y=0(B)y+y-y-y=0

(C)y-6y+1ly-6y=0(D)y-2y-y+2y=0

三、设/(lnx)=计算J

四、设xOy平面上有正方形D={(x,y)IO<x<l,O<y<l)及直线/:无+y=f(/20)若

S(f)表示正方形D位于直线I的左下方部分的面积，试求£'5(f.f(x>0).

五、求函数〃x)=X21n(l+x)在x=0处的”阶导数f(")(O)(〃N3)

六、设函数S(x)=jjcosf，f,

(1)当〃为正整数，且〃"+乃时，证明2〃<S(x)<2(〃+1);

(2)求lim里"

X-尤

七、某湖泊的水量为V,每年排入湖泊内含污染物A的污水量为上，流入湖泊内不含A的污

6

VV

水量为一，流出湖泊的水量为一，已知1999年底湖中A的含量为5m。，超过国家规定指

63

标，为了治理污染，从2000年初起，限制排入湖泊中含A污水的浓度不超过皿.问至多需

V

要经过多少年，湖泊中污染物A的含量才可降至加°以内？(注：设湖水中A的浓度时均匀

的)

八、设函数/(X)在［0,4］上连续，且/(8口=。，［)/(x)cosxdx=0,试证明：在(0,万)

内至少存在两个不同的点低,玄,使/(^)=/(^2)=0.

九、己知/(x)是周期为5的连续函数，它在x=0的某个邻域内满足关系式

/(1+sinx)-3/(1-sinx)=8x+a(x)

其中a(x)是当x-0时比x高阶的无穷小，且/(x)在x=l处可导，求曲线y=〃x)在

点(6,/(6))处的切线方程.

十、设曲线/=。/(。〉0,犬20)与｝；=1一公交于点4,过坐标原点。和点A的直线与曲线

y=ax2围成一平面图形，问a为何值时，该图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最大？

十一、函数/(X)在［0,+oo］上可导，"0)=1,且满足等式

/(x)+/(x)--^-£7(^-0.

(1)求导数f(x)；

(2)证明：当xNO时，不等式d*成立.

F11［o-

十二、设a=2,夕=1,/=0==淇中，.是尸的转置，求解方程

2B2A2x=A4x+B4x+y.

十三、已知向量组q=1，/?2=2应=|“与向量组%=2,a2=0,a3=6

具有相同的秩，且四可由4,。2，。3线性表示，求。1的值•

2001年全国硕士研究生入学统一考试

理工数学一试题详解及评析

二、填空题

⑴设y=e，(qsinx+QCOSX)(q©为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的

同解，则该方程为

（2）设r=Jr?+），+z?,则由

（1-2.2）

（3）交换二次积分的积分次序:C我「小》心=-----.

（4）设矩阵A满足A?+A-4E=。,其中E为单位矩阵，则（A-Ey=.

（5）设随机变量X的方差为2,则根据切比雪夫不等式有估计尸{|X-E（X）|22}«.

二、选择题

（1）设函数/（x）在定义域内可导，y=/（x）的图形如右图所示，则导函数y=f（x）的

（2）设函数在点（0,0）附近有定义,且/；（0,0）=3,/；（0,0）=1,则

（A）

dz\，（o.o）=-3dx+dy.

（B）曲面z=〃x,y）在点（0,0J（0,0））的法向量为{3,1,1}

（C）曲线，"=，：）'）在点（0,0,/（0,0））的切向量为{1,0,3}

（D）曲线，Z=；］：）'）在点（0,0,〃0,0））的切向量为{3,0,1}

（3）设"0）=0,则“X）在点x=0可导的充要条件为

(A)阿g/(l—cosh)存在.⑻期.(1-/)存在•

(D)?”L[/(2h)_/(/z)]存在

(C)lim—-sinh)存在.

Joh1

1111'一400o-

11110000

(4)设A=,B=,则A与8

11110000

iiiL0000

(A)合同且相似(B)合同但不相似

(C)不合同但相似(D)不合同且不相似

(5)将一枚硬币重复掷〃次，以x和丫分别表示正面向上和反面向上的次数，则x和丫的

相关系数等于

(A)-1(B)0(C)-(D)1

2

arctane

三、求J-dx

四、设函数z=/(x,y)在点(1,1)处可微，且

"1』)=L乳产乳)="(X)=/(XJ(x,x)).

求力网

x=l

2

1+x八

----arctanx,%w0(-1)"

五、设/(%)=<x,调等/(x)展开成x的慕级数，并求级数X

l-4n2

l,x=O〃=1

的和.

六、计算1=L(),2_z2Mx+(2j-x2)dy+(3x2-y2)dz,^PL是平面x+y+z=2与

柱面|x|+|y|=l的交线，从z轴正向看去，L为逆时针方向.

七、设y=/(x)在(―1,1)内具有二阶连续导数且/"(X)丰0,试证：

⑴榜(―1,1)内的任意XHO,存在唯一的夕(x)e(0,l),使/(x)=〃0)+='[e(x)x]

成立；

(2)=^.

八、设有一高度为〃⑴G为时间）得雪堆再融化过程中，其侧面积满足方程

22

2（vx+y7]

z=；（设长度单位为厘米，时间单位为小时），已知体积减少的速率与侧

/小z）

面积成正比（比例系数0.9）,问高度为130厘米）的雪堆全部融化需多少小时？

九、设a„a2,--,as为线性方程组Ax=0的一个基础解系，

/?!+t2a2,/32=，心+t2a3,…，&+，2，，其中4,L为实常数•试问满足什

么关系时，…也也为Ax=0的一个基础解系.

十、已知3阶矩阵A与三维向量x,使得向量组x,Ax,/Px线性无关，且满足

^x-3Ax-IArx

（1）记P=（x,Ax,A?x）,求2阶矩阵8,使A=PBP';

（2）计算行列式k+司.

十一、设某班车起点站上客人数X服从参数2（4>0）的泊松分布，每位乘客在中途下车的

概率为P（O<P<1）,且途中下车与否相互独立，以丫表示在中途下车的人数，求：

（1）在发车时有〃个乘客的条件下，中途有，〃人下车的概率；

（2）二维随机变量（x,y）的概率分布.

十二、设总体X服从证态分布N（〃,b2）（b>0）,从该总体中抽取简单随机样本

2“n2

X1,X2,…，X,,（/?>2）其样本均值为x,求统计量r=y（x,.+x“+i—2X）

2〃/=i,=i

的数学期望E（y）.

2001年全国硕士研究生入学统一考试

理工数学二试题详解及评析

一、填空题

飞3—x—Jl+x

(1)rlim------------------=_____.

Ix+x-2

(2)设函数y=f(x)由方程—cos(孙)=e—1所确定，则曲线y=/(x)在点(0,1)处

的法线方程为.

(3)+sin2x)cos2xdx=.

~2

【答】f

(4)过点|-,0|且满足关系式yarcsinx+7y♦=1的曲线方程为______.

(2J

二、选择题

⑴设则小"创｝等于

(A)0.(B)l.

(C)《(D)《

0,|x|>1.[1,|x|>1.

(2)设当x-»0时,(1—cosx)ln(l+f)是比xsinx"高阶的无穷小,xsinx"是比

高阶的无穷小，则正整数〃等于

(A)l.(B)2.(C)3.(D)4.

(3)曲线y=(x—I)?(x—3)2的拐点个数为

(A)0.(B)l.(C)2.(D)3.

(4)已知函数/(x)在区间(1-b,l+b)内具有二阶导数，/'(x)严格单调减少，且

"1)=/⑴=1,则

(A)在(1—6,1)和(1,1+b)内均有f(x)<x.

(B)在(1一匹1)和(1,1+3)内均有f(x)>x.

(C)在(1一£1)内，/(x)<x,在(1,1+3)内，f(x)>x.

(D)在(1—瓦1)内,/(x)>x,在(1,1+5)内，/(x)<x.

(5)设函数/(x)在定义域内可导，y=/(x)的图形如右图所示，则导函数y=/(x)的

图形为

(2X2+1)VX2+1

sintpinr-sinx..,、

四、求极限lim，记此极限为了(X),求函数/(X)的间断点并指出其类型.

/->x

五、设0=0(x)是抛物线>=J7上任一点M(x,y)(x2l)处的曲率半径，s=s(x)是该

抛物线上介于点A。