曲线y3=2x2+x+1的主要性质及其图像示意图_第1页
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文档简介

曲线y3=2x2+x+1的主要性质及其图像示意图主要内容：本文主要介绍曲线方程y3=2x2+x+1的定义域、单调性、凸凹性及极限等性质，并通过函数导数知识求函数的单调和凸凹区间。※.曲线的定义域观察曲线的特征，自变量x可以取全体实数，则曲线方程的定义域为：（-∞，+∞）。※.曲线的单调性主要思路是求出曲线方程的一阶导数，再判断曲线的单调性。∵y3=2x2+x+1,∴3y2*y'=4x+1,则：y'=eq\f(4x+1,3y2),令y'=0，有:4x+1=0。即：x=-eq\f(1,4)，进一步可知函数单调性及单调区间：(1)当x∈(-∞，-eq\f(1,4)]时，y'<0,此时为减曲线。(2)当x∈(-eq\f(1,4)，+∞)时，y'>0,此时为凹曲线。※.曲线的凸凹性主要思路是求出曲线方程的二阶导数，再判断函数的凸凹性性。∵y'=eq\f(1,3)(4x+1)*y-2∴y"=eq\f(1,3)[4*y-2+(4x+1)*(-2)*y-3*y'],即：y"=eq\f(2,3)[2y-2-(4x+1)y-3*y']=eq\f(2,3)[2y-2-(4x+1)y-3*eq\f(1,3)(4x+1)*y-2]=eq\f(2,9)[6y-2-(4x+1)2*y-5]=eq\f(2,9)[6y3-(4x+1)2]*y-5将y3代入上式得到：y"=eq\f(2,9)[6(2x2+x+1)-(4x+1)2]*y-5，=eq\f(2,9)(-4x2-2x+6-1)*y-5=-eq\f(2,9)(4x2+2x-5)*y-5对于g(x)=2x2+x+1判别式△=1-8=-7<0;则g(x)在定义上为正数，即y-5>0。令y"=0,则：4x2+2x-5=0;x1,2=eq\f(-1±\r(21),4),此时：x1≈-1.39；x2≈0.89。(1)x∈(0.89,+∞)时，y"<0,此时曲线为凸曲线。(2)x∈[-1.39,0.89]时，y">0,此时曲线为凹曲线。(3)x∈(-∞,-1.39)时，y"<0,此时曲线为凸曲线。※.曲线的极限lim(x→-∞)y=lim(x→-∞)(2x2+x+1)eq\s\up10(-\f(1,3))=0,lim(x→+∞)y=lim(x→+∞)(2x2+x+1)eq\s\up10(-\f(1,3))=0。※.曲线的五点图x-3.00-2.00-1.40-0.250.902.003.002x2+x+11673.50.8753.51122y2.5201.9131.5180.9561

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