双曲线的渐近线和共轭双曲线

关于双曲线的渐近线和共轭双曲线标准方程X2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)y2/a2-x2/b2=1(a>0、b>0)

几何图形

范围

x≥a或x≤-a

y≥a或y≤-a

对称性

中心对称，轴对称中心对称，轴对称

顶点A1(-a,0),A2(a,0)

A1(0,-a),A2(0,a)a、b、c的含义a（实半轴长）c（半焦距）b（虚半轴长）a2=c2-b2a（实半轴长）c（半焦距长）b（虚半轴长）a2=c2-b2

离心率e焦距与实轴长的比e=c/ae>1焦距与实轴长的比e=c/ae>1通径、通径长过焦点垂直于实轴的弦2b2/a过焦点垂直于实轴的弦2b2/ayF2B1A2A1B20xF1X=aX=-ayxoA2A1B1B2F1F2第2页,共20页，2024年2月25日，星期天

椭圆

双曲线标准方程x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)x2/a2-y2/b2=1(a>0、b>0)

几何图形

范围|x|≤a、|y|≤bx≥a或x≤-a对称性中心对称，轴对称

中心对称，轴对称顶点A1(-a,0),A2(a,0)B1(0-b),B2(0,b)A1(-a,0)、A2(a,0)a,b,c的含义a2=b2+c2c2=a2+b2离心率e定义0<e<1e>1通径、通径长2b2/a2b2/aB2B1yxA2A10F1F2yF2B1A2A1B20xF1X=aX=-a第3页,共20页，2024年2月25日，星期天问题1：根据方程画出下列双曲线的图形xyOxyO22567.rar第4页,共20页，2024年2月25日，星期天yB2A1A2B1

xObaM

NQ(由双曲线的对称性知，我们只需证明第一象限的部分即可)下面我们证明双曲线上的点在沿曲线向远处运动时，双曲线与直线逐渐靠拢。方案2：考查同横坐标的两点间的距离方案1：考查点到直线的距离第5页,共20页，2024年2月25日，星期天XMYOQN（x,y)(x,Y)第6页,共20页，2024年2月25日，星期天1、双曲线渐近线：yB2A1A2B1

xObayB2A1A2B1

xOba双曲线渐近线的斜率的绝对值越大,双曲线的开口越开阔。第7页,共20页，2024年2月25日，星期天A1A2B1B2abcx0y几何意义解释说明：(1)渐近线是双曲线特有的几何性质，它决定着双曲线开口的开阔程度。(2)两条渐近线的交点是双曲线的中心。(3)以四条直线x=±a和y=±b(或x=±b和y=±a）围成的矩形的对角线所在直线就是渐近线。(4)两条渐近线相交所成的角叫夹角（含双曲线的部分）：2种求解方式。第8页,共20页，2024年2月25日，星期天问题1：根据方程画出下列双曲线的图形yox第9页,共20页，2024年2月25日，星期天2、等轴双曲线xy渐近线离心率a,b,c的关系方程yox第10页,共20页，2024年2月25日，星期天问题2：求下列双曲线的渐近线：结论1：把双曲线方程中的常数项1改为0，就得到了它的渐近线方程。推广到一般：双曲线A2x2-B2y2=1的渐近线方程为：Ax±By=0第11页,共20页，2024年2月25日，星期天结论2：如果已知双曲线的渐近线方程为：Ax±By=0，去求双曲线方程，我们可以采用待定系数法设出双曲线方程为：A2x2-B2y2=λ（λ≠0）其中λ为待定的系数，再根据题目中的一个条件，求出λ，方程得到求解。若λ>0,则双曲线焦点在x轴上，若λ<0，则双曲线焦点在y轴上。结论3:双曲线与有共同的渐近线。****求双曲线的渐近线方程的方法：定义法和方程法。第12页,共20页，2024年2月25日，星期天求下列双曲线的方程：例3、求与双曲线有共同渐近线且一个焦点为（0，10）的双曲线的标准方程。例2、已知中心在原点，焦点在坐标轴的双曲线的渐近线方程为，且实轴长为6，求此双曲线的标准方程。变式：已知中心在原点，焦点在坐标轴的双曲线的渐近线方程为，求此双曲线的离心率。第13页,共20页，2024年2月25日，星期天3、共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线,则(1)双曲线的共轭双曲线方程即把双曲线方程中的常数项1改为-1就得到了它的共轭双曲线方程。(2)双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线;(3)双曲线和它的共轭双曲线的四个焦点共圆.第14页,共20页，2024年2月25日，星期天焦点方程渐近线离心率实轴、虚轴焦点在x轴上焦点在y轴上实轴长=2a、虚轴长=2b实轴长=2b、虚轴长=2a共轭双曲线的焦点共圆xy第15页,共20页，2024年2月25日，星期天证明:(1)设已知双曲线的方程是:则它的共轭双曲线方程是:渐近线为：渐近线为:可化为：故双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线(2)设已知双曲线的焦点为F(c,0),F(-c,0)它的共轭双曲线的焦点为F1(0,c),F2(0,-c),∵∴c=c'所以四个焦点F1,F2,F3,F4在同一个圆问:有相同渐近线的双曲线方程一定是共轭双曲线吗？第16页,共20页，2024年2月25日，星期天1、求双曲线的共轭双曲线的顶点和焦点坐标及渐近线和准线方程。2、求与椭圆有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的纵坐标为4的双曲线方程。3、已知双曲线与椭圆共焦点，它的一条渐近线方程为，求双曲线的方程。说明：1、渐近线为的双曲线方程可表示为2、椭圆与双曲线有相同的焦点坐标。第17页,共20页，2024年2月25日，星期天焦点在x轴上的双曲线的几何性质

双曲线标准方程：双曲线性质：1、范围：x≥a或x≤-a2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。3、顶点：A1（-a，0），A2（a，0）4、轴：实轴A1A2

虚轴B1B25、渐近线方程：6、离心率：yB2A1A2B1

xOba7、通径：小结第18页,共20页，2024年2月25日，星期天焦点在y轴上的双曲线的几何性质

双曲线标准方程：双曲线性质：1、范围：y≥a或y≤-a2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。3、顶点：A1