河北省保定市部分地区2023-2024学年高三上学期1月期末联考调研数学试题（含答案）

-2024学年河北省保定市部分地区高三上学期1月期末联考调研数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.集合，，则A. B. C. D.2.已知i为虚数单位，且，则(

)A.1 B. C. D.23.已知m，n为两条不同直线，，为两个不同平面，则下列结论正确的为(

)A.，，则

B.，，，，则

C.，，，则

D.，，，则4.若是奇函数，则(

)A.， B.，

C.， D.，5.已知锐角的顶点在原点，始边在x轴非负半轴，现将角的终边绕原点逆时针转后，交以原点为圆心的单位圆于点，则的值为(

)A. B. C. D.6.已知向量，为单位向量，且满足，则向量在向量上的投影向量为(

)A. B. C. D.7.保定的府河发源于保定市西郊，止于白洋淀藻杂淀，全长26公里.府河作为保定城区主要的河网水系，是城区内主要的排沥河道.府河桥其桥拱曲线形似悬链线，桥型优美，是我市的标志性建筑之一，悬链线函数形式为，当其中参数时，该函数就是双曲余弦函数，类似地有双曲正弦函数若设函数，若实数x满足不等式，则x的取值范围为(

)

A. B. C. D.8.在椭圆中，，分别是左，右焦点，P为椭圆上一点非顶点，I为内切圆圆心，若，则椭圆的离心率e为(

)A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.下列说法正确的是(

)A.从50个个体中随机抽取一个容量为20的样本，则每个个体被抽到的概率为

B.数据11，19，15，16，19众数是19，中位数是15

C.数据0，1，5，6，7，11，12，这组数据的第70百分位数为7

D.对于随机事件A与B，若，，则事件A与B独立10.先将函数图象上所有点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，再把图象向右平移个单位长度，最后把所得图象向上平移一个单位长度，得到函数的图象，则关于函数，下列说法正确的是(

)A.最小正周期为 B.在上单调递增

C.时， D.其图象关于点对称11.已知曲线，则以下说法正确的是(

)A.若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则

B.若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则其短轴长取值范围是

C.曲线C为椭圆时，离心率为

D.若曲线C为双曲线，则渐近线方程为12.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在四面体中，是直角三角形，为直角，点E，F分别是SB，BC的中点，且，，，，则(

)

A.平面SAB

B.四面体是鳖臑

C.E是四面体外接球球心

D.过A、E、F三点的平面截四面体的外接球，则截面的面积是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知圆，过作圆O的切线l，则直线l的倾斜角为__________.14.保定某中学举行歌咏比赛，每班抽签选唱5首歌曲中的1首歌曲可重复被抽取，则高三1班和高三2班抽到不同歌曲的概率为__________.15.等差数列前13项和为91，正项等比数列满足，则__________.16.已知不等式对任意的实数x恒成立，则的最大值为__________.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.本小题10分

的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且

求角C的大小;若的角平分线交AB于点D，，，求18.本小题12分

在菱形ABCD中，，，E，F分别为AB，CD的中点，将菱形ABCD沿BD折起，使，M为线段BD中点.

求大小;求直线AC与平面EFM所成角的大小.19.本小题12分在正项数列中，，且求证：数列是常数列，并求数列的通项公式;若，记数列的前n项和为，求证：20.本小题12分

已知抛物线的焦点为F，准线交y轴于点E，点，若的面积为1，过点H作抛物线C的两条切线，切点分别为M，

求p的值及直线MN的方程;点B是抛物线弧MN上一动点，点B处的切线与HM，HN分别交于点C，D，证明：21.本小题12分杭州亚运会吉祥物为一组名为“江南忆”的三个吉祥物“宸宸”，“琮琮”，“莲莲”，聚焦共同的文化基因，蕴含独特的城市元素.本次亚运会极大地鼓舞了中国人民参与运动的热情.某体能训练营为了激励参训队员，在训练之余组织了一个“玩骰子赢礼品”的活动，他们来到一处训练场地，恰有20步台阶，现有一枚质地均匀的骰子，游戏规则如下：掷一次骰子，出现3的倍数，则往上爬两步台阶，否则爬一步台阶，再重复以上步骤，当队员到达第7或第8步台阶时，游戏结束.规定：到达第7步台阶，认定失败;到达第8步台阶可赢得一组吉祥物.假设平地记为第0步台阶.记队员到达第n步台阶的概率为，记投掷4次后，队员站在的台阶数为第X阶，求X的分布列;ⅰ求证：数列是等比数列;ⅱ求队员赢得吉祥物的概率.22.本小题12分已知函数若在上单调递增，求实数a的取值范围;若有两个极值点分别为，，当时，证明：答案和解析1.【答案】B

【解析】【分析】本题考查集合的交集运算，属于基础题.

化简集合A，再由交集的定义可得结果.【解答】

解：，所以，

故选2.【答案】D

【解析】【分析】本题考查复数的运算及共轭复数，属于基础题.

依题意先对原式进行化简，可求得

z

，利用共轭复数的定义可得

，再利用复数的运算可求得答案.【解答】

解：由题意得：

，则

，

.

故选3.【答案】D

【解析】【分析】本题考查空间中的线、面位置关系，属于基础题.

利用空间中的线、面位置关系，对选项逐个判断即可.【解答】

解：若，，则或，故A错误;

B.若，，，，则或与相交，故B错误;

C.若，，，则或与相交，故C错误;

D.若，，则，又，则，故D正确，

故选：4.【答案】A

【解析】【分析】本题考查了函数的奇偶性，属于基础题.

根据奇函数得，取特殊值即可得出结果.【解答】

解：函数是R上的奇函数，

，即①，

，即②，

由①②解得，，

经检验，符合题意，

故，5.【答案】D

【解析】【分析】本题考查任意角三角函数的定义，同角三角函数基本关系式，两角和与差的三角函数公式，属于中档题.

先得出和的值，由展开计算可得结果.【解答】

解：由题意，，

因为为锐角，

所以，

所以，

则

故选6.【答案】C

【解析】【分析】本题考向量的数量积和投影向量，属于常规题.

求出和，利用投影向量的定义即可求解.【解答】

解：由向量，得，

由，得，

化简整理，得，

则，

则向量在向量上的投影向量为，

故选7.【答案】A

【解析】【分析】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和应用，根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化是解决本题的关键，属于中档题.

先判断函数的奇偶性与单调性，利用函数的性质解不等式即可求解．【解答】

解：由题意得，，

定义域为R，关于原点对称，

，

为奇函数；

在R上单调递增，在R上单调递减

函数在R上单调递增

，

，即，

，

解得：，

故选：8.【答案】B

【解析】【分析】本题主要考查椭圆的定义和性质，属于一般题.

设的内切圆半径为r，结合题意得，再利用椭圆的定义和椭圆离心率的定义，即可求解.【解答】

解：设的内切圆半径为r，

则由，得

即

即，

椭圆的离心率

故选：9.【答案】ACD

【解析】【分析】本题考查简单随机抽样、众数、中位数、百分位数和独立事件的判断，属于基础题.

对于A，结合古典概型的概率公式，即可求解;对于B，结合众数、中位数的定义，即可求解;对于C，结合百分位数的定义，即可求解;对于D，结合相互独立事件的概率乘法公式，即可求解.【解答】

解：对于A、从50个个体中随机抽取一个容量为20的样本，

则每个个体被抽到的概率为，故A正确；

对于B、数据11，19，15，16，19从小到大排序为11，15，16，19，19，

则众数是19，中位数是16，故B错误；

对于C、数据0，1，5，6，7，11，12，

则，

则这组数据的第70百分位数为7，故C正确；

对于D、对于随机事件A与B，

若，则，

又，

则，即事件A与B独立，故D正确10.【答案】AB

【解析】【分析】本题考查三角函数的图象变换和性质，属于一般题.

求出的解析式，再对选项逐个判断即可.【解答】

解：将函数图象上所有点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，得到，

再把图象向右平移个单位长度，得到，

最后把所得图象向上平移一个单位长度，得到函数，

对于A、函数的最小正周期为，故A正确；

对于B、当时，，单调递增，故B正确；

对于C、当时，，，则故C错误；

对于D、因为，故的图象关于点对称，故D错误11.【答案】ABD

【解析】【分析】本题考查圆锥曲线的基本知识，处理椭圆和双曲线的基本性质的基本方法，属于基础题.

对于A，若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，满足条件为，解得即可，判断A正确；对于B，求得，由，可得短轴长取值范围，判断故B正确；对于C，对曲线C分类讨论，即可判断C错误；对于D，若曲线C为双曲线，求得渐近线方程，即可判断D正确.【解答】

解：对于A，若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则曲线化简为，满足的条件为，解得，故A正确；

对于B，若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则，由范围，可得短轴长取值范围是，故B正确；

对于C，若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则离心率为，若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，则离心率为，故C错误；

对于D，若曲线C为双曲线，则渐近线方程为，故D正确.12.【答案】ABD

【解析】【分析】本题考查线面垂直的判定，考查球的截面的面积，属于中档题.

利用线面垂直的判定定理判断A；证明四个面都为直角三角形，判断B；确定球心的位置判断C；求出截面的半径，判断【解答】

解：因为，E是SB的中点，所以，

因为，，平面SBC，

所以平面SBC，

因为平面SBC，所以，

因为是直角三角形，为直角，所以，

因为，AE，平面SAB，所以平面SAB，A正确；

因为为直角，，，所以，

因为，，所以为直角，

因为平面SAB，平面SAB，

所以，为直角，

所以，

因为，所以为直角，

所以四面体是鳖臑，B正确；

由于E是SB的中点，所以，

因为为直角，所以，所以E不是四面体外接球球心，C错误；

取SC的中点O，易得，即O是四面体的外接球的球心，球的半径为，

中，，所以，所以，

所以，

由于，

所以O到截面AEF的距离等于C到截面AEF的距离，设为h，

由，

则，所以，

所以截面的半径为，

所以截面的面积是，D正确.

故选：13.【答案】

【解析】【分析】本题主要考查圆的切线方程，直线斜率与倾斜角的关系，属于较易题.

根据条件求出直线OM的斜率，即可得到切线的斜率，从而求得倾斜角.【解答】

解：由题，圆的圆心为，在圆上，

则，所以直线l的斜率为，

令直线l的倾斜角为，则，

由于解得

故答案为14.【答案】

【解析】【分析】本题主要考查古典概型，分步乘法计数原理，属于较易题.

根据题意，每班抽签选唱5首歌曲中的1首，共有个基本事件，抽到不同歌曲有个基本事件，再根据古典概型求解即可.【解答】

解：由题，高三1班和高三2班每班抽签选唱5首歌曲中的1首，共有个基本事件，

其中，高三1班和高三2班抽到不同歌曲有个基本事件，

故高三1班和高三2班抽到不同歌曲的概率为

故答案为15.【答案】13

【解析】【分析】本题主要考查等比数列的性质，对数运算，等差数列的前n项和，等差数列的性质，属于基础题.

由等差数列前n项和与等差数列的性质可得，则，根据等比数列的性质结合对数运算，即可求解.【解答】

解：由等差数列前13项和为91，可得，

所以，则，

所以

故答案为16.【答案】

【解析】【分析】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性，利用导数研究恒成立问题，利用导数求最值，属于难题.

原不等式转化为，令，显然当时，利用导数可得有最小值，则，转化为，令，利用导数求其最值即可得到的最大值.【解答】

解：因为不等式对任意的实数x恒成立，即对任意的实数x恒成立，

令，则，当时，，在R上单调递增，

当时，，不满足在R上恒成立；

当时，令，则，

当时，，单调递减；当时，，单调递增.

所以，所以，

则，

令，则，

显然当上单调递增，在上单调递减，

所以，所以，

即的最大值为

故答案为17.【答案】

解：由及正弦定理，可得

因为，所以

又，所以，则，

又，所以；

为的平分线，，

设点D到BC和AC的距离为d，则，即，

，

又，

，

则有，

或舍去，所以

【解析】本题主要考查正、余弦定理，三角形的面积公式，属于中档题.

由题意及正弦定理得，再利用两角和公式化简即可得，进而求出结果；

根据CD平分，且，利用角平分线定理得到，由，可得；18.【答案】解：为BD中点，，，

，AM、平面AMC，

平面AMC，

平面BCD，

平面平面BCD，

过A作，交CM于点O，又平面AMC，平面平面，

则平面BCD，

以O为坐标原点，OM所在直线为x轴，在平面BCD内过O作CD垂线为y轴，OA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系.

，，，，

，，

，所以，

所以

由得，，

设平面EMF法向量为，

得，

令，则，，

，

又，设直线AC与平面EFM所成角为，

，

又，则，

故AC与平面EMF所成角为

【解析】本题考查空间线线垂直的判定，考查直线与平面所成角，属中档题.

利用线面垂直、面面垂直的判定推导得垂直关系，再建立空间直角坐标系，利用空间向量求出

根据中信息，利用线面角的向量求法求解即得.19.【答案】解：

时，

，相除得，

，

，

，

又，

即数列是常数列，

所以，所以；

，

，

，

又因为单调递增，

所以，

即

【解析】本题考查了数列的递推关系、数列的通项公式以及裂项相消法，是中档题.

当时，，与已知相除化简得，取对数得，可得数列是常数列，进而得出；

易得，由裂项相消求和即可得证.20.【答案】解：，可得，

即抛物线方程为，

设切点，切线斜率为，

切线方程为，此切线过

解得，或，得两切点坐标，

所以直线MN方程为；

设切点，

可得B点处的切线为：，化简得，

由知，点，可得直线HM方程为

联立解得C点横坐标

同理由N，H坐标可得直线HN方程，

可得D点横坐标，

，

，

结论得证.

【解析】本题考查抛物线的标准方程以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题.

，可得，即抛物线方程为，设切点，可得切线方程为，此切线过，即可求解；

设切点，可得B点处的切线为，由直线HM方程为联立解得C点横坐标，同理可得D点横坐标，再由，，代入化简即可证明结论.21.【答案】解：由题意得每轮游戏爬