广东省湛江市东升中学高三数学文测试题含解析

广东省湛江市东升中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，，则集合（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C2.分别是双曲线：的左、右焦点，为双曲线右支上一点，且，则的周长为（

）A．15

B．16

C.

17

D．18参考答案：D3.已知变量、满足约束条件，则的最大值为Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．4参考答案：D略4.命题“”的否定是（

）A．B．C．D．参考答案：B考点：简单的逻辑联结词试题解析：因为命题“”的否定是

故答案为：B5.若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为 ( )A、－4 （B）－ （C）4 （D）参考答案：D6.若存在一个实数，使得成立，则称为函数的一个不动点，设函数（，为自然对数的底数），定义在上的连续函数满足，且当时，.若存在，且为函数的一个不动点，则实数的取值范围为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B∵f（﹣x）+f（x）=x2∴令F（x）=f（x）﹣x2，∴f（x）﹣x2=﹣f（﹣x）+x2∴F（x）=﹣F（﹣x），即F（x）为奇函数，∵F′（x）=f′（x）﹣x，且当x≤0时，f′（x）＜x，∴F′（x）＜0对x＜0恒成立，∵F（x）为奇函数，∴F（x）在R上单调递减，∵f（x）+≥f（1﹣x）+x，∴f（x）+﹣x2≥f（1﹣x）+x﹣x2，即F（x）≥F（1﹣x），∴x≤1﹣x，x0≤，∵为函数的一个不动点∴g（x0）=x0，即h（x）==0在（﹣∞，]有解．∵h′（x）=ex-，∴h（x）在R上单调递减．∴h（x）min=h（）=﹣a≤0即可，∴a≥．故选：B点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．7.已知点在直线上，其中，则的最小值为

（

）A.

B.8

C.9

D.12参考答案：B8.设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为

(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D略9.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A，B中至少有一个发生的概率是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：10.已知过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点（点在第一象限），若，则直线的斜率为（

）（A）

（B） （C）

（D）参考答案：D设，则，又，，选D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设=

参考答案：略12.在△ABC中，已知|AB|=2，，则△ABC面积的最大值为

．参考答案：【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；93：向量的模；HP：正弦定理．【分析】由题意可得：|AC|=|BC|，设△ABC三边分别为2，a，a，三角形面积为S，根据海仑公式得：16S2=﹣a4+24a2﹣16=﹣（a2﹣12）2+128，再结合二次函数的性质求出答案即可．【解答】解：由题意可得：|AC|=|BC|，设△ABC三边分别为2，a，a，三角形面积为S，所以设p=所以根据海仑公式得：S==，所以16S2=﹣a4+24a2﹣16=﹣（a2﹣12）2+128，当a2=12时，即当a=2时，△ABC的面积有最大值，并且最大值为2．故答案为．13.设x，y满足约束条件，则的最小值是________参考答案：－4【分析】根据约束条件画出可行域，可知需确定在轴截距的最大值，通过平移可得结果，从而确定所求最小值.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：将化为：可知的最小值即为在轴截距最大时的取值由图像平移可知，当过点时，截距最大由得本题正确结果：【点睛】本题考查线性规划中的求解的最值类的问题，重点是通过平移确定取得最值的点.14.如图()，直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，正视图和俯视图如图(b)，(c)所示，则其左视图的面积为_______________．参考答案：15.设，则______.参考答案：∵，∴，所以，即．16.一个底面是等腰直角三角形的直棱柱，侧棱长与底面三角形的腰长相等，其体积为4，它的三视图中俯视图如右图所示，侧视图是一个矩形，则这个矩形的对角线长为

．参考答案：略17.设函数（为常数，且）的部分图象如图所示，则的值是________.参考答案：【分析】先由周期求出ω，再由五点法作图求出φ的值．【详解】根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，且A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象，可得?=+，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×（﹣）+φ=0，∴φ=，故答案为：．【点睛】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法求出φ的值，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的三条对边，且c2=a2+b2﹣ab．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求cosA+cosB的最大值．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）根据余弦定理直接求解角C的大小．（Ⅱ）根据三角形内角和定理消去B，转化为三角函数的问题求解最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）c2=a2+b2﹣ab．即ab=a2+b2﹣c2由余弦定理：cosC==，∵0＜C＜π，∴C=．（Ⅱ）∵A+B+C=π，C=．∴B=，且A∈（0，）．那么：cosA+cosB=cosA+cos（）=sin（），∵A∈（0，）．∴，故得当=时，cosA+cosB取得最大值为1．【点评】本题主要考查了余弦定理的运用和三角函数的有界限求解最值问题．属于基础题．19.设函数.（1）当时，设，求证：对任意的，；（2）当时，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.参考答案：（1）证明见解析（2）（1）当时，，所以等价于.令，则，可知函数在上单调递增，所以，即，亦即……4分【考查方向】本题考查导数与函数单调性的关系，不等式的证明与恒成立问题，考查等价转化能力，分类讨论思想，考查构造法，利用导数研究函数的单调性和最值，属于难题．【易错点】构造函数求导数，单调性的应用。【解题思路】（1）当a=1，b=﹣1时，求得f（x）=（x2﹣2x）lnx﹣x2，原不等式等价于ex+lnx﹣e＞0，设h（x）=ex+lnx﹣e，求导，利用函数的单调性，可知h（x）＞h（1）=0，即可证明对任意的x＞1，g（x）﹣f（x）＞x2+x+e﹣ex；（2）当时，，．所以不等式等价于.方法一：令，，则.当时，，则函数在上单调递增，所以，所以根据题意，知有，∴………………8分当时，由，知函数在上单调减；由，知函数在上单调递增.所以.由条件知，，即.设，，则，，所以在上单调递减.又，所以与条件矛盾.综上可知，实数的取值范围为.………………12分方法二：令，，则在上恒成立，所以，所以.………………8分又，显然当时，，则函数在上单调递增，所以，所以.综上可知的取值范围为.………………12分【考查方向】本题考查等价转化能力，分类讨论思想，利用导数处理不等式问题在解答题中主要题意为不等式上的恒成立问题，考查构造法，利用导数研究函数的单调性和最值，属于难题．【易错点】恒成立问题的等价转化，构造法的应用，分类讨论的分析。【解题思路】（2）当b=2时，f（x）=（x2﹣2ax）lnx+2x2，a∈R．将不等式转化成，（2x2﹣4ax）lnx+x2﹣a＞0，利用导数求得左边函数的最小值为1﹣a＞0，a＜1．20.（14分）已知数列{an}中，a1=3，an+1=2an﹣1（n≥1）（Ⅰ）设bn=an﹣1（n=1，2，3…），求证：数列{bn}是等比数列；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式（Ⅲ）设，求证：数列{cn}的前n项和．参考答案：【考点】数列递推式；等比关系的确定；数列与不等式的综合．【专题】综合题；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）将an+1=2an﹣1转化an+1﹣1=2（an﹣1），即可证得结论；（Ⅱ）由（Ⅰ），即可求数列{an}的通项公式（Ⅲ）利用裂项法求和，即可得到结论．【解答】（Ⅰ）证明：∵an+1=2an﹣1（n≥1）∴两边同时减去1，得an+1﹣1=2（an﹣1）又a1﹣1=2，bn=an﹣1∴{bn}是以a1﹣1=2为首项，q=2为公比的等比数列，（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知an﹣1=2n，∴an=2n+1（n∈N*）（Ⅲ）证明：=﹣∴Sn=（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣＜即【点评】本题考查等比数列定义，考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，属于中档题．21.（2017?宁城县一模）已知椭圆E的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，离心率为，在椭圆E上有一动点A与F1、F2的距离之和为4，（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过A、F1作一个平行四边形，使顶点A、B、C、D都在椭圆E上，如图所示．判断四边形ABCD能否为菱形，并说明理由．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由椭圆离心率为，在椭圆E上有一动点A与F1、F2的距离之和为4，列出方程组，求出a=2，b=，由此能求出椭圆E的方程．（Ⅱ）由F1（﹣1，0），令直线AB的方程为x=my﹣1，联立方程组，得（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0，由此利用韦达定理、直线垂直的性质，结合已知条件能求出四边形ABCD不能是菱形．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆E的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，离心率为，在椭圆E上有一动点A与F1、F2的距离之和为4，∴由条件得a=2c，2a=4，解得a=2，b=，∴椭圆E的方程是﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）∵F1（﹣1，0），如图，直线AB不能平行于x轴，∴令直线AB的方程为x=my﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，得（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0，…（6分）∴，．…（7分）若四边形ABCD是菱形，则OA⊥OB，即，于是有x1?x2+y1?y2=0，…（9分）又x1?x2=（my1﹣1）（my2﹣1）=m2y1?y2﹣m（y1+y2）+1，所以有（m2+1）y1y2﹣m（y1+y2）+1=0，得到=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）这个方程没有实数解，故四边形ABCD不能是菱形．…（12分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查四边形形是否为菱形的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、椭圆性质的合理运用．22.已知函数（）在上的最小值为，当把的图象上所有的点向右平移个单位后，得到函数的图象．（1）求函数的解析式；（2）在△中，角，，对应的边分别是，，，若函数在轴右侧的第一个零点恰为，，求△的面积的最大值．参考答案：(1)；(2)．试题分析：(1)利用三角函数在区间上的最值求得的值，然后根据图象平移求得函数的解析式；(2)由函数在轴右侧的第一个零点恰为，得，从而求得的值，利用余弦定理结合基本不等式求得的最大值，利用三角形面积公式求得△的面积的最大值．试题解析：（1）∵函数（）在上的最小值为，∴，解