浙江省湖州市浙北高级中学高三数学文摸底试卷含解析

浙江省湖州市浙北高级中学高三数学文摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若cosα=﹣，α是第三象限的角，则sin（α+）=（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系．【分析】根据α的所在的象限以及同角三角函数的基本关系求得sinα的值，进而利用两角和与差的正弦函数求得答案．【解答】解：∵α是第三象限的角∴sinα=﹣=﹣，所以sin（α+）=sinαcos+cosαsin=﹣=﹣．故选A【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数，以及同角三角函数的基本关系的应用．根据角所在的象限判断三角函数值的正负是做题过程中需要注意的．2.设曲线C的方程为（x－2）2＋（y＋1）2＝9，直线l的方程x－3y＋2＝0，则曲线上的点到直线l的距离为的点的个数为（

）A、1B、2C、3D、4参考答案：3.若x，y满足，则的最大值为A．B．3C．D．4参考答案：C【知识点】线性规划【试题解析】作可行域：

由图知：当目标函数线过点C（1，3）时，目标函数值最大，为

故答案为：C4.定点P（a，b）在圆x2+y2+2x=1内，直线（a+1）x+by+a﹣1=0与圆x2+y2+2x=1的位置关系是（）A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定参考答案：B【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】由定点P（a，b）在圆x2+y2+2x=1内，得到＜，求出圆x2+y2+2x=1的圆心（﹣1，0）到直线（a+1）x+by+a﹣1=0的距离，能判断出直线（a+1）x+by+a﹣1=0与圆x2+y2+2x=1的位置关系．【解答】解：∵定点P（a，b）在圆x2+y2+2x=1内，圆x2+y2+2x=1的圆心（﹣1，0），半径r==，∴＜，∵圆x2+y2+2x=1的圆心（﹣1，0）到直线（a+1）x+by+a﹣1=0的距离：d==＞=，∴直线（a+1）x+by+a﹣1=0与圆x2+y2+2x=1的位置关系是相离．故选：B．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意两点间公式和点到直线的距离公式的合理运用．5.已知双曲线的一条渐近线平行于直线：，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为（）（A）

（B）（C）

（D）参考答案：A6.不等式组表示的点集记为A，不等式组表示的点集记为B，在A中任取一点P，则的概率为A． B． C． D．参考答案：A7.已知集合的二项展开式中存在常数项，则等于（

） A．7 B．8 C．9 D．10参考答案：D8.已知i为虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（

）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限参考答案：B9.已知双曲线的左右顶点分别为，是双曲线上异于的任意一点，直线和分别与轴交于两点，为坐标原点，若依次成等比数列，则双曲线的离心率的取值范围是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：A本题考查双曲线的标准方程与几何性质,等比数列.由题意得,,而是双曲线上的点,令;求得直线:,:,所以;而依次成等比数列，所以,即①;而②,联立解得,;所以离心率===;经验证,当时,不满足题意,所以双曲线的离心率.即双曲线的离心率的取值范围是.选A.【备注】双曲线,离心率,.10.化简＝

（）

A．－2

B．－

C．－1

D．1参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知、满足以下约束条件，使取得最小值的最优解有无数个，则的值为__________．参考答案：∵，则，为直线在轴上的截距，要使目标函数的最优解有无穷多个，则截距最小时的最优解有无数个，∵，把平移，使之与可行域的边界重合即可，∴，．12.试在无穷等比数列，…中找出一个无穷等比的子数列（由原数列中部分项按原来次序排列的数列），使它所有项的和为，则此子数列的通项公式为

。参考答案：13.命题“”的否定形式是

参考答案：略14.（6分）（2015?丽水一模）设数列{an}是公差为d的等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99．则d=；an=；数列{an}的前n项和Sn取得最大值时，n=．参考答案：﹣2；an=41﹣2n；20．【考点】：等差数列的性质；等差数列的前n项和．【专题】：计算题；等差数列与等比数列．【分析】：先确定数列的通项，再确定数列的正数项，即可求得Sn取得最大值．解：∵a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，∴3a3=105，3a4=99，∴a3=35，a4=33∴公差d=﹣2∴an=35+（n﹣3）×（﹣2）=41﹣2n∴0＜n≤20时，an＞0；n≥21时，an＜0∴Sn取得最大值时的n=20故答案为：﹣2，﹣2n+41，20．【点评】：本题考查等差数列的通项与求和，考查学生的计算能力，确定数列的通项是关键，属于基础题．15.（a+x）4的展开式中x3的系数等于8，则实数a=

．参考答案：2【考点】二项式定理的应用．【专题】计算题．【分析】根据（a+x）4的展开式的通项公式为Tr+1=a4﹣rxr，令r=3可得（a+x）4的展开式中x3的系数等于×a=8，由此解得a的值．【解答】解：（a+x）4的展开式的通项公式为Tr+1=a4﹣rxr，令r=3可得（a+x）4的展开式中x3的系数等于×a=8，解得a=2，故答案为2．【点评】本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．16.若函数且有两个零点，则实数的取值范围是

．参考答案：作图分析知当时只有一个零点，当时有两个零点17.高三（1）班班委会由4名男生和3名女生组成，现从中任选3人参加上海市某社区敬老服务工作，则选出的人中至少有一名女生的概率是______________.（结果用最简分数表示）参考答案：试题分析：从名学生中选名的种数为,其中无女生的种数为,所以至少含有一个女生的概率为.考点：古典概型的计算公式及排列数组合数公式的运用．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.定义在[﹣1，1]上的奇函数f（x）满足当﹣1≤x＜0时，f（x）=﹣，（Ⅰ）求f（x）在[﹣1，1]上的解析式；（Ⅱ）判断并证明f（x）在（0，1]上的单调性；（Ⅲ）当x∈（0，1]时，函数g（x）=﹣m有零点，试求实数m的取值范围．参考答案：【考点】函数的零点；奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；证明题；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）可知f（0）=0，再设0＜x≤1，则﹣1≤﹣x＜0，从而得到f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（﹣）=，从而解得；（Ⅱ）先判断f（x）在（0，1]上为减函数，再由复合函数的单调性证明即可．（Ⅲ）可化为m=4x+1﹣2x=（2x﹣）2+，从而求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）在[﹣1，1]上的奇函数，∴f（0）=0，设0＜x≤1，则﹣1≤﹣x＜0，故f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（﹣）=，故f（x）=；（Ⅱ）f（x）在（0，1]上为减函数，证明如下，∵f（x）==，且y=2x在（0，1]上是增函数，y=x+在（1，2]上是增函数，y=在（2，]上是减函数；∴由复合函数的单调性可知，f（x）=（0，1]上为减函数．（Ⅲ）当x∈（0，1]时，函数g（x）=﹣m=4x+1﹣2x﹣m，故m=4x+1﹣2x=（2x﹣）2+，∵x∈（0，1]，∴2x∈（1，2]，∴1＜4x+1﹣2x≤13，故实数m的取值范围为（1，13]．【点评】本题考查了函数的单调性的判断与应用，同时考查了函数的奇偶性的应用．19.已知函数的图像过原点，且在处的切线为直线（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值．参考答案：略20.（本小题满分12分）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积为（1）若，求角A，B，C的大小；（2)若a＝2，且，求边c的取值范围．参考答案：【知识点】解三角形.

C8【答案解析】(1)；（2）.

解析：由三角形面积公式及已知得化简得即又故.………3分（1）由余弦定理得,∴∴,知

………6分（2）由正弦定理得即由得又由知故…………12分【思路点拨】（1）由面积公式及已知得,再由余弦定理及c=2a得，进而求得角A、C.

(2)由正弦定理及a=2得，又，得.21.（14分）（2012?茂名一模）已知函数f（x）=ln（ex+a）（a为常数）为实数集R上的奇函数，函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[﹣1，1]上的减函数．（1）求a的值；（2）若g（x）≤t2+λt+1在x∈[﹣1，1]及λ所在的取值范围上恒成立，求t的取值范围；（3）讨论关于x的方程的根的个数．参考答案：考点： 根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质；函数恒成立问题．

专题： 计算题．分析： （1）因为定义域是实数集R，直接利用奇函数定义域内有0，则f（﹣0）=﹣f（0）即f（0）=0，即可求a的值；（2）先利用函数g（x）的导函数g'（x）=λ+cosx≤0在[﹣1，1]上恒成立，求出λ的取值范围以及得到g（x）的最大值g（﹣1）=﹣1﹣sin1；然后把g（x）≤t2+λt+1在x∈[﹣1，1]上恒成立转化为﹣λ﹣sin1≤t2+λt+1（λ≤﹣1），整理得（t+1）λ+t2+sin1+1≥0（λ≤﹣1）恒成立，再利用一次函数的思想方法求解即可．（3）先把方程转化为=x2﹣2ex+m，令F（x）=（x＞0），G（x）=x2﹣2ex+m

（x＞0），再利用导函数分别求出两个函数的单调区间，进而得到两个函数的最值，比较其最值即可得出结论．解答： 解：（1）因为函数f（x）=ln（ex+a）（a为常数）是实数集R上的奇函数，所以f（﹣0）=﹣f（0）即f（0）=0，则ln（e0+a）=0解得a=0，a=0时，f（x）=x是实数集R上的奇函数；（2）由（1）得f（x）=x所以g（x）=λx+sinx，g'（x）=λ+cosx，因为g（x）在[﹣1，1]上单调递减，∴g'（x）=λ+cosx≤0

在[﹣1，1]上恒成立，∴λ≤﹣1，g（x）max=g（﹣1）=﹣λ﹣sin1，只需﹣λ﹣sin1≤t2+λt+1（λ≤﹣1），∴（t+1）λ+t2+sin1+1≥0（λ≤﹣1）恒成立，令h（λ）=（t+1）+t2+sin1+1（λ≤﹣1）则，解得t≤﹣1（3）由（1）得f（x）=x∴方程转化为=x2﹣2ex+m，令F（x）=（x＞0），G（x）=x2﹣2ex+m

（x＞0），（8分）∵F'（x）=，令F'（x）=0，即=0，得x=e当x∈（0，e）时，F'（x）＞0，∴F（x）在（0，e）上为增函数；当x∈（e，+∞）时，F'（x）＜0，F（x）在（e，+∞）上为减函数；（9分）当x=e时，F（x）max=F（e）=（10分）而G（x）=（x﹣e）2+m﹣e2

（x＞0）∴G（x）在（0，e）上为减函数，在（e，+∞）上为增函数；（11分）当x=e时，G（x）min=m﹣e2（12分）∴当m﹣e2＞，即m＞e2+时，方程无解；当m﹣e2=，即m=e2+时，方程