浙江省金华市南苑中学高三数学理期末试题含解析

浙江省金华市南苑中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若样本数据的平均数是10，方差是2，则数据的平均数与方差分别是（）

A.20,8

B.21,12

C.22,2

D.21,8参考答案：D2.设不等式的解集为，函数的定义域为，则=（▲）

A．

B．

C．

D．

参考答案：A3.已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝,则集合CuA等于(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C4.已知函数，则函数的零点所在的区间是A. B. C. D.参考答案：B5.已知数列满足，若，，则（

）A．1

B．2 C．3

D．参考答案：C6.复数满足（其中为虚数单位），则=

A．

B．

C．

D．参考答案：C7.割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”，刘徽称之为“以盈补虚”，即以多余补不足，是数量的平均思想在几何上的体现。下图揭示了刘徽推导三角形面积公式的方法。在△ABC内任取一点，则该点落在标记“盈”的区域的概率为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】根据题意可得该点落在标记“盈”的区域的面积为三角形面积的四分之一，即可得解.【详解】由题得.所以“盈”的区域的面积等于“虚”的区域的面积.而“虚”的区域占矩形区域的面积的四分之一，所以该点落在标记“盈”的区域的面积为三角形面积的四分之一，故该点落在标记“盈”的区域的概率为，故选：．【点睛】本题考查了几何概型的概率公式，考查了数学文化知识，属于基础题8.“”是“实系数一元二次方程无实根”的（

）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A9.已知抛物线，过点作抛物线的两条切线，，、为切点，若直线经过抛物线的焦点，的面积为，则以直线为准线的抛物线标准方程是（

）A． B．C． D．参考答案：D由抛物线的对称性知，轴，且是焦点弦，故，所以，解得（舍去）或，所以焦点坐标为，直线的方程为，所以以直线为准线的抛物线标准方程是．故选D．10.设{an}的首项为a1，公差为﹣1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=（）A．2 B．﹣2 C． D．﹣参考答案：D【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．【分析】由等差数列的前n项和求出S1，S2，S4，然后再由S1，S2，S4成等比数列列式求解a1．【解答】解：∵{an}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，Sn为其前n项和，∴S1=a1，S2=2a1﹣1，S4=4a1﹣6，由S1，S2，S4成等比数列，得：，即，解得：．故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知正三棱锥,点都在半径为的球面上,若两两相互垂直,则球心到截面的距离为_____________.参考答案：【知识点】球的截面性质解析：由已知可把正三棱锥补形成球内接正方体，因为球的直径为，所以正方体的棱长为2，则PA=PB=PC=2，AB=BC=AC=,，设P到截面的距离为d，则有，解得，所以球心到截面的距离为.【思路点拨】一般遇到几何体的外接球问题，若直接解答不方便时，可通过补形法转化为球内接正方体或长方体的关系进行解答.12.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如下图所示，则f()的值为

．参考答案：13.给出以下四个命题，其中所有正确命题的序号为：________________．（1）“”是“”的必要而不充分条件；（2）已知线性回归方程，当变量增加2个单位，其预报值平均增加4个单位；（3）函数在区间上只有1个零点；（4）命题“若，则”的逆否命题为“若，则”；（5）设随机变量ξ服从正态分布N(2,9)，若P(ξ＞c＋1)＝P(ξ＜c－1)，则c等于3参考答案：（1）（2）（3）略14.某学校共有师生3200人，先用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本．已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是．参考答案：200【考点】分层抽样方法．【分析】根据学校的总人数和要抽取的样本容量，做出每个个体被抽到的概率，根据学生要抽取150人，做出教师要抽取的人数是10，除以概率得到教师的人数．【解答】解：∵学校共有师生3200人，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，∴每个个体被抽到的概率是=，∴=，∴学校的教师人数为10×20=200．故答案是：200．15.已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，则的值为

.参考答案：因为的图像与函数的图像关于直线对称，则与互为反函数。所以由得，解得，所以。16.若，且︰︰，则__________。参考答案：1117.用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值设f（x）=min{2x，x+2，10﹣x}（x≥0），则f（x）的最大值为

．参考答案：6【考点】34：函数的值域．【分析】利用新定义，画出函数图象即可得出．【解答】解：f（x）=min{2x，x+2，10﹣x}（x≥0）如图所示，则f（x）的最大值为y=x+2与y=10﹣x交点的纵坐标，即当x=4时，y=6．故答案为6．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某幼儿园准备建一个转盘，转盘的外围是一个周长k米的圆。在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连，经预算，转盘上的每个座位与支点相连钢管的费用为3k元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为元，假设座位等距离分布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记转盘的总造价为y元。（1）试写出y关于x的函数关系式，并写出定义域；（2）当k=50米时，试确定座位的个数，使得总造价最低。参考答案：略19.数列的前n项和为，和满足等式

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求证：数列是等差数列；

（Ⅲ）若数列满足，求数列的前n项和；

（Ⅳ）设，求证：参考答案：解：（I）由已知:

…………2分

（II）∵

同除以

…………4分

是以3为首项，1为公差的等差数列.

…………6分

（III）由（II）可知,

……………7分

当

经检验，当n=1时也成立

………………9分

…………10分解得：

…………11分

（Ⅳ）∵ …………14分

略20.已知曲线C的参数方程为（θ为参数），在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=（ρ∈R）．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）求直线l被曲线C截得的线段长．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）曲线C的参数方程为（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1消去参数θ，可得直角坐标方程，利用ρ2=x2+y2，x=ρcosθ即可化为极坐标方程．（II）把直线l的极坐标方程θ=（ρ∈R）代入圆的极坐标方程即可得出．【解答】解：（I）曲线C的参数方程为（θ为参数），消去参数θ，可得：（x﹣2）2+y2=4，展开为：x2+y2﹣4x=0，可得极坐标方程：ρ2﹣4ρcosθ=0，即ρ=4cosθ．（II）把直线l的极坐标方程θ=（ρ∈R）代入圆的极坐标方程可得：ρ=4=2．由于圆与直线都经过原点，因此直线l被曲线C截得的线段长=|OP|=2．21.某单位N名员工参加“我爱阅读”活动，他们的年龄在25岁至50岁之间，按年龄分组：第1组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50），得到的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求正整数a，b，N的值；（Ⅱ）现要从年龄低于40岁的员工用分层抽样的方法抽取42人，则年龄在第1，2，3组得员工人数分别是多少？（Ⅲ）为了估计该单位员工的阅读倾向，现对该单位所有员工中按性别比例抽查的40人是否喜欢阅读国学类书

喜欢阅读国学类不喜欢阅读国学类合计男14418女81422合计221840籍进行了调查，调查结果如下所示：（单位：人）下面是年龄的分布表：区间[25，30）[30，35）[35，40）[40，45）[45，50）人数28ab

根据表中数据，我们能否有99%的把握认为该位员工是否喜欢阅读国学类书籍和性别有关系？附：，其中n=a+b+c+d．P（K2≥k0）0.050.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.828参考答案：【考点】BO：独立性检验的应用．【分析】（Ⅰ）利用频率与频数的关系求出样本容量N、计算出a、b的值；（Ⅱ）求出年龄低于40岁的员工数，利用分层抽样原理求出每组抽取的人数；（Ⅲ）根据表中数据计算K2的观测值，查表得出概率结论．【解答】解：（Ⅰ）总人数：，a=28，第3组的频率是：1﹣5×（0.02+0.02+0.06+0.02）=0.4所以b=280×0.4=112…（4分）（Ⅱ）因为年龄低于40岁的员工在第1，2，3组，共有28+28+112=168（人），利用分层抽样在168人中抽取42人，每组抽取的人数分别为：第1组抽取的人数为（人），第2组抽取的人数为（人），第3组抽取的人数为（人），所以第1，2，3组分别抽7人、7人、28人．…（8分）（Ⅲ）假设H0：“是否喜欢看国学类书籍和性别无关系”，根据表中数据，求得K2的观测值，查表得P（K2≥6.635）=0.01，从而能有99%的把握认为该单位员工是否喜欢阅读国学类书籍和性别有关系…（12分）【点评】本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是基础题目．22.为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价，具体划分标准如表：阶梯级别第一阶梯水量第二阶梯水量第三阶梯水量月用水量范围（单位：立方米）（0，10]（10，15]（15，+∞）从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一个月的用水量，得到如图所示的茎叶图．（1）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数的分布列和均值；（2）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到n户月用水量为第二阶梯水量的可能性最大，求出n的值．参考答案：【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；BA：茎叶图；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由茎叶图可知：抽取的10户中用水量为一阶的有2户，二阶的有6户，三阶的有2户．取到第二阶梯水量的户数X的取值可能为0，1，2，3．利用P（X=k）=，可得X的概率分布列及其数学期望．（2）设从全市依次随机抽取10户，抽到Y户月用水量为第二阶梯水量，则Y～B．P（Y=k）=（k=0，1，2，…，10）．设t==．由t＞1，可得k＜6.6，P（Y=k﹣1）＜P（Y=k﹣1）．由t＜1，则k＞6.6，P（Y=k﹣1）＞P（Y=k﹣1），即可得出．【解答】解：（1）由茎叶图可知：抽取的10户中用水量为一阶的有2户，二阶的有6户，三阶的有2户．