河南省鹤壁市福田中学高三数学理摸底试卷含解析

河南省鹤壁市福田中学高三数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设[x]表示不小于实数x的最小整数，如[2.6]=3，[﹣3.5]=﹣3．已知函数f（x）=[x]2﹣2[x]，若函数F（x）=f（x）﹣k（x﹣2）+2在（﹣1，4]上有2个零点，则k的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】根据[x]的定义，分别作出函数y=f（x）和y=k（x﹣2）﹣2的图象，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：令F（x）=0得f（x）=k（x﹣2）﹣2，作出函数y=f（x）和y=k（x﹣2）﹣2的图象如下图所示：若函数F（x）=f（x）﹣k（x﹣2）+2在（﹣1，4]上有2个零点，则函数f（x）和g（x）=k（x﹣2）﹣2的图象在（﹣1，4]上有2个交点，经计算可得kPA=5，kPB=10，kPO=﹣1，kPC=﹣，∴k的范围是[﹣1，﹣）∪[5，10）．故选：B．【点评】本题考查了对新定义的理解，函数零点的个数与函数图象的关系，数形结合解题思想，属于中档题．2.下列各式中，值为的是（）A．sin15°cos15° B．C． D．参考答案：C【考点】三角函数的化简求值．【分析】由条件利用二倍角公式、两角和的差三角公式，求出各个选项中式子的值，从而得出结论．【解答】解：由于sin15°cos15°=sin30°=，故排除A．由于﹣=cos=，故排除B．由于=tan60°=，满足条件．由于=cos15°=cos（45°﹣30°）=cos45°cos30°+sin45°sin30°=，故排除D，故选：C．3.设是虚数单位，则复数的虚部是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：B4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

(

)A．64

B．72

C．80 D．112参考答案：B略5.某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为（A）4650元

（B）4700元

（C）4900元

（D）5000元参考答案：C设派用甲型卡车x（辆），乙型卡车y（辆），获得的利润为u（元），，由题意，x、y满足关系式作出相应的平面区域，在由确定的交点处取得最大值4900元，选C．6.若变量满足约束条件则的最大值为(

)A.4

B.3

C.2

D.1参考答案：B7.已知集合，，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：【知识点】集合及其运算A1【答案解析】C

={x则故答案为C.【思路点拨】先求出集合B再求交集。8.若a+bi=（1+i）（2﹣i）（i是虚数单位，a，b是实数），则a+b的值是（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出．【解答】解：∵a+bi=（1+i）（2﹣i）=3+i，∴a=3，b=1．∴a+b=3+1=4．故选D．【点评】熟练掌握复数的运算法则和模的计算公式是解题的关键．9.在复平面内，复数（是虚数单位）对应的点位于（

）A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限参考答案：D

【知识点】复数的代数表示法及其几何意义L4解析：∵==1﹣i，∴数（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于第四象限．故选D．【思路点拨】利用复数的代数运算将转化为1﹣i，即可判断它在复平面内的位置．10.（5分）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最小值为（）A．B．C．1D．参考答案：D【考点】：抛物线的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：先画出图象、做出辅助线，设|AF|=a、|BF|=b，由抛物线定义得2|MN|=a+b，由题意和余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣ab，再根据基本不等式，求得|AB|2的取值范围，代入化简即可得到答案．解：如右图：过A、B分别作准线的垂线AQ、BP，垂足分别是Q、P，设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF，由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcos120°=a2+b2+ab，配方得|AB|2=（a+b）2﹣ab，因为ab≤，则（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣=（a+b）2，即|AB|2≥（a+b）2，所以≥=3，则，即所求的最小值是，故选：D．【点评】：本题考查抛物线的定义、简单几何性质，基本不等式求最值，余弦定理的应用等知识，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则的单调递增区间是．参考答案：12.若不等式t2+at+1≥0对恒成立，实数a的最小值是

．参考答案：﹣考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：因为函数对恒成立，分离参数a，利用均值不等式即可求出最小值．解答： 解：若不等式t2+at+1≥0对恒成立，则at≥﹣t2﹣1，所以，∵，当且仅当t=2时取等号．但是，所以根据函数得单调性，当t=时取最小值．所以a的最小值为﹣故答案为：﹣点评：本题主要考查函数恒成立问题，利用均值不等式时取不到等号，要利用单调性来处理问题的方法，属于中档题．13.已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的方程是

．参考答案：由题得＝2，c=5，再由得故双曲线的方程是.

14.设等轴双曲线的两条渐近线与直线围成的三角形区域（包含边界）为，为内的一个动点，则目标函数的最大值为

.参考答案：15.二项式展开式的常数项为

参考答案：

16.已知中，AB=，BC=1，tanC=，则AC等于______.参考答案：2由，所以。根据正弦定理可得，即，所以，因为，所以，所以，即，所以三角形为直角三角形，所以。17.已知双曲线的离心率为，顶点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为_____；渐近线方程为_________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，已知四边形ABCD内接于圆O，且AB是圆O的直径，以点D为切点的圆O的切线与BA的延长线交于点M．（Ⅰ）若MD=6，MB=12，求AB的长；（Ⅱ）若AM=AD，求∠DCB的大小．参考答案：【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题；推理和证明．【分析】（Ⅰ）利用MD为⊙O的切线，由切割线定理以及已知条件，求出AB即可．（Ⅱ）推出∠AMD=∠ADM，连接DB，由弦切角定理知，∠ADM=∠ABD，通过AB是⊙O的直径，四边形ABCD是圆内接四边形，对角和180°，求出∠DCB即可．【解答】解：（Ⅰ）因为MD为⊙O的切线，由切割线定理知，MD2=MA?MB，又MD=6，MB=12，MB=MA+AB，所以MA=3，AB=12﹣3=9．…（Ⅱ）因为AM=AD，所以∠AMD=∠ADM，连接DB，又MD为圆O的切线，由弦切角定理知，∠ADM=∠ABD，又因为AB是圆O的直径，所以∠ADB为直角，即∠BAD=90°﹣∠ABD．又∠BAD=∠AMD+∠ADM=2∠ABD，于是90°﹣∠ABD=2∠ABD，所以∠ABD=30°，所以∠BAD=60°．又四边形ABCD是圆内接四边形，所以∠BAD+∠DCB=180°，所以∠DCB=120°

…【点评】本题考查圆的内接多边形，切割线定理的应用，基本知识的考查．19.已知椭圆(a＞b＞0)，过P(0，)的直线l与椭圆交于A，B两点，过Q（x0，0）（|x0|＜a）的直线l'与椭圆交于M，N两点．（1）当l的斜率是k时，用a，b，k表示出|PA|?|PB|的值；（2）若直线l，l'的倾斜角互补，是否存在实数x0，使为定值，若存在，求出该定值及x0，若不存在，说明理由．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可知：椭圆的焦点在x轴上，设直线AB的方程：，代入椭圆方程，由韦达定理，因此，由弦长公式可知：，（2）当直线MN的斜率存在时：设直线MN的方程：y=﹣k（x﹣x0），代入椭圆方程，由韦达定理可知：，由弦长公式求得丨MN丨，则，，当x0=0时，为常数，当直线MN的斜率不存在时：时，为定值，所以当x0=0时，为常数．【解答】解：（1）椭圆，焦点在x轴上，焦距为2c，设直线AB的方程：，由，整理得：，由韦达定理可知：，…，…（2）当直线MN的斜率存在时：设直线MN的方程：y=﹣k（x﹣x0），M（x3，y3），N（x4，y4）．由，可知得：，则，由韦达定理可知：，由弦长公式可知：丨MN丨=?，…∴，…，…∴当x0=0时，为常数…当直线MN的斜率不存在时：时，为定值．综上：所以当x0=0时，为常数．…20.(本小题满分14分)已知点列顺次为直线上的点，点列顺次为轴上的点，其中，对任意的，点、、构成以为顶点的等腰三角形.(1)证明:数列是等差数列;(2)求证：对任意的，是常数，并求数列的通项公式；（3)试探究是否存在等腰直角三角形？并说明理由.参考答案：(Ⅰ)依题意有,于是.所以数列是等差数列.………….2分（2）由题意得，，，点、、构成以为顶点的等腰三角形，∴，即得又∵，∴，

①，

则

②由②－①得，，即数列都是等差数列.----5分（注：可以直接由图像得到,即,()

）当为正奇数时，，当为正偶数时，由得，，故，∴．

-----------------------7分（2）假设存在等腰直角三角形，由题意．在中，．

-----------8分（注：可以直接由图像得到,()

）当为正奇数时，，，∴，故有，即，又∵，∴，∴，即，∴当时，使得三角形为等腰直角三角形．

--------10分当为正偶数时，，，∴，故有，即，又∵，∴，即，∴当时，使得三角形为等腰直角三角形．综上所述，当时，使得三角形为等腰直角三角形．------------14分(注：也可以回答为时，使得三角形为等腰直角三角形．)21.设函数f（x）=aex（x+1）（其中e=2.71828…），g（x）=x2+bx+2，已知它们在x=0处有相同的切线．（Ⅰ）求函数f（x），g（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）在[t，t+1]（t＞﹣3）上的最小值；（Ⅲ）若对?x≥﹣2，kf（x）≥g（x）恒成立，求实数k的取值范围．参考答案：考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题．分析：（Ⅰ）求导函数，利用两函数在x=0处有相同的切线，可得2a=b，f（0）=a=g（0）=2，即可求函数f（x），g（x）的解析式；（Ⅱ）求导函数，确定函数的单调性，再分类讨论，即可求出函数f（x）在[t，t+1]（t＞﹣3）上的最小值；（Ⅲ）令F（x）=kf（x）﹣g（x）=2kex（x+1）﹣x2﹣4x﹣2，对?x≥﹣2，kf（x）≥g（x）恒成立，可得当x≥﹣2，F（x）min≥0，即可求实数k的取值范围．解答： 解：（Ⅰ）f'（x）=aex（x+2），g'（x）=2x+b﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由题意，两函数在x=0处有相同的切线．∴f'（0）=2a，g'（0）=b，∴2a=b，f（0）=a=g（0）=2，∴a=2，b=4，∴f（x）=2ex（x+1），g（x）=x2+4x+2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）f'（x）=2ex（x+2），由f'（x）＞0得x＞﹣2，由f'（x）＜0得x＜﹣2，∴f（x）在（﹣2，+∞）单调递增，在（﹣∞，﹣2）单调递减．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵t＞﹣3，∴t+1＞﹣2①当﹣3＜t＜﹣2时，f（x）在[t，﹣2]单调递减，[﹣2，t+1]单调递增，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当t≥﹣2时，f（x）在[t，t+1]单调递增，∴；∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）令F（x）=kf（x）﹣g（x）=2kex（x+1）﹣x2﹣4x﹣2，由题意当x≥﹣2，F（x）min≥0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵?x≥﹣2，kf（x）≥g（x）恒成立，∴F（0）=2k﹣2≥0，∴