二阶线性微分方程英文翻译

第第页二阶线性微分方程英文翻译

SomePropertiesofSolutionsofPeriodicSecondOrder

LinearDifferentialEquations

1.Introductionandmainresults

Inthispaper,weshallassumethatthereaderisfamiliarwiththefundamentalresultsandthestardardnotationsoftheNevanlinna'svaluedistributiontheoryofmeromorphicfunctions[12,14,

(f)and(f)todenoterespectivelytheorder16].Inaddition,wewillusethenotation(f)，

ofgrowth,thelowerorderofgrowthandthee*ponentofconvergenceofthezerosofameromorphicfunctionf，e(f)〔[see8]〕，thee-typeorderoff(z),isdefinedtobe

e(f)limlogT(r,f)rr

Similarly,e(f)，thee-typee*ponentofconvergenceofthezerosofmeromorphicfunctionf,isdefinedtobe

logN(r,1/f)e(f)limrr

Wesaythatf(z)hasregularorderofgrowthifameromorphicfunctionf(z)satisfies

(f)limlogT(r,f)rlogr

Weconsiderthesecondorderlineardifferentialequation

fAf0

WhereA(z)B(ez)isaperiodicentirefunctionwithperiod2i/.Thecomple*oscillationtheoryof(1.1)wasfirstinvestigatedbyBankandLaine[6].Studiesconcerning(1.1)haveeencarriedonandvariousoscillationtheoremshavebeenobtained[2{11,13,17{19].WhenA(z)isrationaline，BankandLaine[6]provedthefollowingtheorem

TheoremALetA(z)B(ez)beaperiodicentirefunctionwithperiod2i/andrationalinezz.IfB()haspolesofoddorderatbothand0,thenforeverysolutionf(z)(0)of(1.1),(f)

Bank[5]generalizedthisresult:Theaboveconclusionstillholdsifwejustsupposethatbothand0arepolesofB(),andatleastoneisofoddorder.Inaddition,thestrongerconclusion

logN(r,1/f)o(r)(1.2)

holds.WhenA(z)istranscendentaline,Gao[10]provedthefollowingtheorem

TheoremBLetB()g(1/)zpjb,whereg(t)isatranscendentalentirefunctionjj1

zwith(g)1,pisanoddpositiveintegerandbp0，LetA(z)B(e).Thenany

non-triviasolutionfof(1.1)musthave(f).Infact,thestrongerconclusion(1.2)holds.

Ane*amplewasgivenin[10]showingthatTheoremBdoesnotholdwhen(g)isanypositiveinteger.Iftheorder(g)1,butisnotapositiveinteger,whatcanwesay?ChiangandGao[8]obtainedthefollowingtheorems

zTheoremCLetA(z)B(e),whereB()g1(1/)g2(),g1andg2areentire

functionsg2transcendentaland(g2)notequaltoapositiveintegerorinfinity,andg1arbitrary.(i)(g2)1.(a)Iffisanon-trivialsolutionof(1.1)withe(f)(g2);

thenf(z)andf(z2i)arelinearlydependent.(b)Iff1andf2areanytwolinearlySuppose

independentsolutionsof(1.1),then

(ii)Supposee(f)(g2).(g2)1(a)Iffisanon-trivialsolutionof(1.1)

withe(f)1,f(z)andf(z2i)arelinearlydependent.Iff1andf2areanytwolinearlyindependentsolutionsof(1.1),thene(f1f2)1.

TheoremDLetg()beatranscendentalentirefunctionanditsorderbenotapositiveintegerorinfinity.LetA(z)B(ez);whereB()g(1/)jbj1jandpisanoddpositivep

integer.Then(f)oreachnon-trivialsolutionfto(1.1).Infact,thestrongerconclusion(1.2)holds.

E*ampleswerealsogivenin[8]showingthatTheoremDisnolongervalidwhen(g)isinfinity.

ThemainpurposeofthispaperistoimproveaboveresultsinthecasewhenB()istranscendental.Specially,wefindaconditionunderwhichTheoremDstillholdsinthecasewhen(g)isapositiveintegerorinfinity.WewillprovethefollowingresultsinSection3.

Theorem1LetA(z)B(e),whereB()g1(1/)g2(),g1andg2areentirefunctionswithg2transcendentalandz(g2)notequaltoapositiveintegerorinfinity,andg1arbitrary.IfSomepropertiesofsolutionsofperiodicsecondorderlineardifferentialequationsf(z)andf(z2i)aretwolinearlyindependentsolutionsof(1.1),then

e(f)

Or

e(f)1(g2)12

WeremarkthattheconclusionofTheorem1remainsvalidifweassume(g1)

isnotequaltoapositiveintegerorinfinity,andg2arbitraryandstillassumeB()g1(1/)g2(),Inthecasewheng1istranscendentalwithitslowerordernotequaltoanintegerorinfinityandg2isarbitrary,weneedonlytoconsiderB*()B(1/)g1()g2(1/)in0,1/.

Corollary1LetA(z)B(ez),whereB()g1(1/)g2(),g1andg2are

entirefunctionswithg2transcendentaland

(a)

(b)(g2)nomorethan1/2,andg1arbitrary.Iffisanon-trivialsolutionof(1.1)withe(f),thenf(z)andf(z2i)arelinearlydependent.Iff1andf2areanytwolinearlyindependentsolutionsof(1.1),

thene(f1f2).

Theorem2Letg()beatranscendentalentirefunctionanditslowerorderbenomorethan1/2.

zLetA(z)B(e),whereB()g(1/)j1bj

ppjandpisanoddpositiveinteger,then(f)foreachnon-trivialsolutionfto(1.1).Infact,thestrongerconclusion(1.2)holds.Weremarkthattheaboveconclusionremainsvalidif

B()g()bjj

j1

WenotethatTheorem2generalizesTheoremDwhen(g)isapositiveintegerorinfinitybut(g)1/2.CombiningTheoremDwithTheorem2,wehave

Corollary2Letg()beatranscendentalentirefunction.LetA(z)B(ez)whereB()g(1/)j1bjjandpisanoddpositiveinteger.Supposethateither(i)or(ii)belowholds:

(i)(g)isnotapositiveintegerorinfinity;

(ii)(g)1/2;

then(f)foreachnon-trivialsolutionfto(1.1).Infact,thestrongerconclusion(1.2)holds.

2.LemmasfortheproofsofTheorems

Lemma1([7])Supposethatk2andthatA0,Ak2areentirefunctionsofperiod2i,andthatfisanon-trivialsolutionofp

y(k)Aj(z)y(j)(z)0

i0k2

SupposefurtherthatfsatisfieslogN(r,1/f)o(r);thatA0isnon-constantandrational

zine，andthatifk3，thenA1,Ak2areconstants.Thentheree*istsanintegerqwith1qksuchthatf(z)andf(zq2i)arelinearlydependent.Thesameconclusion

zholdsifA0istranscendentaline，andfsatisfieslogN(r,1/f)o(r)，andifk3，then

throughasetL1r

k2.haveT(r,Aj)o(T(r,Aj))forj1,as

z

zofinfinitemeasure,1weandbeLemma2([10])LetA(z)B(e)beaperiodicentirefunctionwithperiod2itranscendentaline,B()istranscendentalandanalyticon0.IfB()hasapoleof

oddorderator0(includingthosewhichcanbechangedintothiscasebyvaryingthe

periodofA(z)andEq.(1.1)hasasolutionf(z)0whichsatisfieslogN(r,1/f)o(r),

thenf(z)andf(z)arelinearlyindependent.

3.Proofsofmainresults

Theproofofmainresultsarebasedon[8]and[15].

ProofofTheorem1Letusassumee(f).Sincef(z)andf(z2i)arelinearlyindependent,Lemma1impliesthatf(z)andf(z4i)mustbelinearlydependent.LetE(z)f(z)f(z2i),ThenE(z)satisfiesthedifferentialequation

E(z)2E(z)c2

,(2.1)4A(z)()22E(z)E(z)E(z)

Wherec0istheWronskianoff1andf2(see[12,p.5]or[1,p.354]),andE(z2i)c1E(z)orsomenon-zeroconstantc1.Clearly,E/E

andE/Earebothperiodicfunctionswithperiod2i,whileA(z)isperiodicbydefinition.

2Hence(2.1)showsthatE(z)isalsoperiodicwithperiod2i.Thuswecanfindananalytic

function()in0

yields,sothatE(z)2(ez)Substitutingthise*pressioninto(2.1)c234B()2()22(2.2)4

SincebothB()and()areanalyticinC*:1,theValirontheory[21,p.15]givestheirrepresentationsas

nB()R()b()，()n1R1()()，〔2.3〕

n1aresomeintegers,R()andR1()arefunctionsthatareanalyticandnon-vanishingwheren，

onC*{}，b()and()areentirefunctions.Followingthesameargumentsasusedin[8],wehave

T(,)N(,1/)T(,b)S(,)，〔2.4〕

whereS(,)o(T(,)).Furthermore,thefollowingpropertieshold[8]

e(f)e(E)e(E2)ma*{eR(E2),eL(E2)},

eR(E2)1()(),

WhereeR(E2)(resp,eL(E2))isdefinedtobe

logNR(r,1/E2)logNR(r,1/E2)lim(resp,lim),rrrr

Somepropertiesofsolutionsofperiodicsecondorderlineardifferentialequations

)(resp.NL(r,1/E2)denotesacountingfunctionthatonlycountsthezeros

2ofE(z)intheright-halfplane(resp.intheleft-halfplane),1()isthee*ponentofconvergenceofthezerosofinC*,whichisdefinedtobe

logN(,1/)1()limlog

Recalltheconditione(f),weobtain().whereNR(r,1/E

Nowsubstituting(2.3)into(2.2)yields2

n1R132n1R12c2

4R()b()n1()()R14R1R1()()

R1n1R1n1R1R12n1(n11)222)〔2.5〕(2R1R1R1n

ProofofCorollary1WecaneasilydeduceCorollary1(a)fromTheorem1.

ProofofCorollary1(b).Supposef1andf2arelinearlyindependentande(f1f2),thene(f1),and

Corollary1(a)that

Letfj(z)ande(f2).Wededucefromtheconclusionoffj(z2i)arelinearlydependent,j=1;2.E(z)f1(z)f2(z).Thenwecanfindanon-zeroconstantc2suchthatE(z2i)c2E(z).RepeatingthesameargumentsasusedinTheorem1byusingthefactthatE(z)2isalsoperiodic,weobtain

e(E)1(g2)12,acontradictionsince(g2)1/2.Hencee(f1f2).

ProofofTheorem2Supposetheree*istsanon-trivialsolutionfof(1.1)thatsatisfieslogN(r,1/f)o(r).Wededucee(f)0,sof(z)andf(z2i)arelinearlydependentbyCorollary1(a).However,Lemma2impliesthatf(z)andf(z2i)arelinearly

independent.Thisisacontradiction.HencelogN(r,1/f)o(r)holdsforeachnon-trivial

solutionfof(1.1).ThiscompletestheproofofTheorem2.

AcknowledgmentsTheauthorswouldliketothanktherefereesforhelpfulsuggestionstoimprovethispaper.

References

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[2]BAESCHA.Onthee*plicitdeterminationofcertainsolutionsofperiodicdifferential

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[3]BAESCHA,STEINMETZN.E*ceptionalsolutionsofnthorderperiodiclineardifferential

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[4]BANKSB.Onthee*plicitdeterminationofcertainsolutionsofperiodicdifferentialequations

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[7]BANKSB,LANGLEYJK.Oscillationtheoremsforhigherorderlineardifferentialequations

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[8]CHIANGYM,GAOShi'an.Onaproblemincomple*oscillationtheoryofperiodicsecond

orderlineardifferentialequationsandsomerelatedperturbationresults[J].Ann.Acad.Sci.Fenn.Math.,2022,27(2):273{290.

一些周期性的二阶线性微分方程解的方法

1．简介和主要成果

在本文中，我们假设读者熟识的函数的数值分布理论[12，14，16]的基本成果和数学符号。此外，我们将运用的符号(f)，(f)and(f)，表示的顺次分别增长，低增长的一个纯函数的零点收敛指数，f，e(f)〔[8]〕，E型的f(z)，被定义为

e(f)limlogT(r,f)rr

同样，e(f)，E型的亚纯函数f的零点收敛指数，被定义为

logN(r,1/f)e(f)limrr

我们说，假如一个亚纯函数f(z)满意增长的正常秩序

logT(r,f)(f)limrlogr

我们考虑的二阶线性微分方程

fAf0

在A(z)B(ez)是一个整函数在2i/。在〔1.1〕的反复波动理论的第一次探讨中由银行和莱恩[6]。已经进行了讨论在〔1.1〕中，并已取得各种波动定理在[2{11，13，17{19]。在e函数中A(z)正确的，银行和莱恩[6]证明白如下定理

定理A设A(z)B(ez)这函数是一个周期性函数，周期为2i/在整个函数e存zz在。假如B()有奇数阶极点在和0，然后对于任何一个结果答案f(z)(0)在(1.1)中(f)

广义这样的结果：上述结论仍旧认为，假如我们只是假设，既0和B()的极点，并且至少有一个是奇数阶。此外，较强的结论

log

zN(r,1/f)o(r)〔1.2〕认为。当A(z)是超越在e，高[10]证明白如下定理

定理B

设B()g(1/)pjb，其中g(t)是一个超越整函数与(g)1，p是奇正整jj1

并且bp0，设A(z)B(e)，那么任何微分解在〔1.1〕的函数f需要有(f)。事实上，在〔1.2〕已经有证明的结论。

是在[10]一个例子说明当定理B不成立时，(g)是任意正整数。假如在另一方面z(g)1，但假如没有一个正整数，我们可以说些什么呢？蒋和高[8]得到以下定理定理C

设A(z)B(e)，其中B()g1(1/)g2()，函数g1和函数g2是整函数g2先验和(g2)不等于一个正整数或无穷大，并函数g1任意。

〔一〕假设(g2)1〔a〕假如函数f是一个非平凡解e(f)(g2)在〔1.1〕，那么f(z)

和f(z2i)是线性相关。

〔b〕假如函数f1和函数f2在〔1.1〕是两个线性无关函数，那么存在这样一个条件ze(f)(g2)。

〔二〕假设(g2)1〔a〕假如函数f有一个非平凡解在〔1.1〕且e(f)1，f(z)和

f(z2i)是线性相关的。

假如函数f1和函数f2在〔1.1〕在〔1.1〕是两个线性无关函数，那么存在这样一个条件e(f1f2)1。

定理D

让g()是一个超越整函数和它的秩序是正整数或无穷大。设A(z)B(ez)，B()g(1/)j1bjj和p是一个奇正整数。然后(f)或F得到每一个非平凡解在〔1.1〕。事实上，在〔1.2〕中已经有证明的结论。

例子说明在高[8]定理D不再成立，当(g)是无穷的。

本文的主要目的是改善上述结果的状况下，当B()是超越。特别地，我们找到的条件下定理D仍旧成立的状况下，当(g)是一个正整数或无穷大。

我们将证明在第3节的结果如下：

定理1

设A(z)B(e)，其中B()g1(1/)g2()，g1和g2g2先验和(g2)不等于一个正整数或无穷，g1任意整函数。假如定期二阶线性微分方程f(z)和f(z2i)的解不是一些属性是两个线性无关的解在〔1.1〕，然后zp

e(f)

或者

e(f)1(g2)12

我们的说法，定理1的结论仍旧有效，假如我们假设函数(g1)不等于一个正整数或无穷大，任意和承受的状况下B()g1(1/)g2()，当其低阶不等于一个整数或无穷超然是任意的，我们只需要考虑B*()B(1/)g1()g2(1/)在0，1/。推论1

设A(z)B(e)，其中B()g1(1/)g2()，函数g1和函数g2是整个g2先验和z

(g2)不超过1/2，并且g1任意的。

〔一〕假如函数f是一个非平凡解e(f)在〔1.1〕中，那么f(z)和f(z2i)是线

性相关。

〔二〕假如f1和f2是两个线性无关解在〔1.1〕中，那么e(f1f2)。

定理2

设g()是一个超越整函数及其低阶不超过1/2。设A(z)B(e)，其中zB()g(1/)j1bjj和p是一个奇正整数，那么(f)为每个非平凡解F到在〔1.1〕中。事实上，在〔1.2〕中证明正确的结论。

我们留意到，上述结论仍旧有效的假设p

B()g()bjj

j1p

我们留意到，我们得出定理2推广定理D，当是一个正整数或无穷，但(g)1/2结合定理2定理的讨论。

推论2

z设g()是一个超越整函数。设A(z)B(e)，其中B()g(1/)pjb和pjj1

是一个奇正整数。假设要么〔一〕或〔二〕中认为：

〔一〕(g)不是正整数或无穷;

〔二〕(g)1/2

然后为每一个非平凡解在〔1.1〕中函数f对于(f)。事实上，在〔1.2〕中已经有证明的结论。

2．引理为定理的证明

引理1

〔[7]〕，k2和的假设A0,Ak2是整个周期2i，并且函数f是有一个非平凡解

y(k)Aj(z)y(j)(z)0

i0k2

进一步假设函数f满意logN(r,1/f)o(r);，A0是在e非恒定和理性的，而且，假如z

k3，且A1,Ak2是常数。那么存在一个整数q与1qk，f(z)和f(zq2i)是线

z性相关。相同的结论认为，假如A0是超越e，和f满意logN(r,1/f)o(r)，假如k3，

然后通过一个无限措施的集合L1为r，T(r,Aj)o(T(r,Aj))且j1,k2引理2

〔[10]〕设A(z)B(ez)是一个周期为2i

极奇数阶设B()是定期与整函数周期2i

无关的解。

3．主要结果的证明

主要结果的证明的基础上[8]和[15]。11在ez〔包括那些可以转变这种状况下的先验。在〔1.1〕中由不同的时期f(z)0，logN(r,1/f)o(r)有一个满意，那么f(z)和f(z)是线性在0

定理1的证明

让我们假设e(f)。正弦f(z)和f(z2i)是线性无关的，引理1意味着f(z)和f(z4i)需要是线性相关的。设E(z)f(z)f(z2i)，那么E(z)满意微分方程

E(z)2E(z)c2

,(2.1)4A(z)()22E(z)E(z)E(z)

其中c0是f1和f2(见[12,p.5]or[1,p.354])，且E(z2i)c1E(z)或某些非零的常数c1。显着，E/E和E/E是两个周期2i，而A(z)是定义函数。在〔2.1〕，E(z)2也定期与周期2i。因此，我们可以找到一个解析函数()在0，使E(z)2(ez)代入〔2.1〕得这种表达

c23224B()2()(2.2)4

由于B()和()在C*:1，理论[21，p.15]给出了他们的结论

B()nR()b()，()n1R1()()，〔2.3〕

其中n，n1是一些整数，R()和R1()函数分析和C*{}上非零，b()和()是整函数。根据相同的[8]中，我们得出

T(,)N(,1/)T(,b)S(,)，〔2.4〕

其中S(,)o(T(,))，此外，以下结论由[8]得

e(f)e(E)e(E2)ma*{eR(E2),eL(E2)},

eR(E2)1()(),

其中eR(E2)是定义为

logNR(r,1/E2)logNR(r,1/E2)lim(resp,lim),rrrr

定期二阶线性微分方程解的一些性质

其中，NR(r,1/E2)(resp.NL(r,1/E2)表示一个计数功能，只计算在右半平面的E(z)2零点〔在左半平面〕，1()是在的C*零点收敛指数，它的定义为

logN(,1/)1()limlog

由条件e(f)，我们得到()。

现在〔2.3〕代入〔2.2〕中

2n1R132n1R12cn4R()b()n1()()R14R1R1()()

R1n1R1n1R1R12n1(n11)222)〔2.5〕(2R1R1R1

推论1的证明

我们可以很简单地推导出定理1的推论1〔一〕推论1的证明〔B〕。假设f1和f2与e(f1f2)线性无关，那么e(f1)，我们证明推论1的结论〔一〕，fj(z)与fj(z2i)线性相关，J=1;2。假设E(z)f1(z)f2(z)，然后我们可以找到

2E(z2i)c2E(z)的一个非零的常数c2，重复同样的论点定理1中运用的事实，E(z)

也是能找到，我们得到e(E)1(g2)12与(g2)1/2自冲突，因此e(f1f2)。

定理2的证明

N(r,1/f)o(r)。我们推断e(f)0，

f(z)和f(z2i)的线性依靠推论1〔a〕。然而，引理2意味着f(z)和f(z2i)是线

性无关的。这是一对冲突。因此logN(r,1/f)o(r)，认为都有非平凡解的F在〔1.1〕假设存在一个非平凡解的f在〔1.1〕中，满意log

中，这就完成了定理2的证明。

SomePropertiesofSolutionsofPeriodicSecondOrder

LinearDifferentialEquations

1.Introductionandmainresults

Inthispaper,weshallassumethatthereaderisfamiliarwiththefundamentalresultsandthestardardnotationsoftheNevanlinna'svaluedistributiontheoryofmeromorphicfunctions[12,14,

(f)and(f)todenoterespectivelytheorder16].Inaddition,wewillusethenotation(f)，

ofgrowth,thelowerorderofgrowthandthee*ponentofconvergenceofthezerosofameromorphicfunctionf，e(f)〔[see8]〕，thee-typeorderoff(z),isdefinedtobe

e(f)limlogT(r,f)rr

Similarly,e(f)，thee-typee*ponentofconvergenceofthezerosofmeromorphicfunctionf,isdefinedtobe

logN(r,1/f)e(f)limrr

Wesaythatf(z)hasregularorderofgrowth