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第第页圆内接三角形的3个性质及其应用本文先介绍圆内接三角形的3性格质,然后举例说明这些性质的运用.

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32

中学教研(学)数

2008年第1期

圆内接三角形的3性格质及其应用●夏平(四川平昌县中学校教研室660)340acb——一

本文先介绍圆内接三角形的3性格质，然后举例说明这些性质的运用.

●

*zy

性质1圆内接三角形两边之积等于第3边上的高与圆的直径之积.

证明如图5设AAC的外接圆的直径为2设，BR,

ABCACAAH的外接圆的直径分别为2l2,H,H,ABR,23由于R.o=2snLBRliHC=2sn=2iA,RliARsn

证明

如图1AAC内接于60,E是60的直径，,B)A)LABE=/ADC,AB=LAD,_LEC_

’

AD上BC于点D,连结B那么E,因此△AE,△AC。B-.D,

所以R=尼同理lRI=R2=R3=R.

得即

AB=AD,

由性质3得HBHC=2RHD。

AC=AED.BAA

即

yz=2HRD.

图5

同理可得

E

④D

Z,*=2HE,y=2R*RHF。

那么

——一一T+zcy旦.三azb+*—+垒—+-*Y:

*zy

图1

图2

:丝::!*zy

性质2圆内接2个三角形两边之积的比等于这2个三角形第3边上的高之比.简证1可得.

4bRca口c6一

情形1如图2图3AAC与AAD的公共边，,BB

*zy'

为ACDB,E,F为AB边上的高，QO的直径为由性质设

例2如图6设P是圆内接四边，形ACBD的对角线AC与BD的交点.求让、一

:一墨

一兰

A曰BP曰C

ADBD—DFd—DF’

:__

历’

情形2如图4,BAAC与△ABClll没有公共边.E,CCE分别为AABB,边上的高，QO的直径长为d仍旧有，AC曰CCEdCEAlllCCl—ClEld—CE

证明过曰，分别作AAC与DBAAD的边ACC上的高BD,E,F

由性质2得A-BBBcEA.C—DF’DD

图6

又由于所以

ABEP￣ADF,PBEBPDF—P’D

故图3图4

A￣C=PBB历B.

例3如图6已知四边形AC内接于圆，C,D为，BDAB

由性质2可得：

性质3圆内接2个三角形面积之比等于这2个三角形边之积的比.

对角线.求证：C=￣D+￣D历AACABCB证明由例2的结论，可得

这3性格质在平面几何证明题中的应用较广，且可并使证题奇妙、简洁.例1设AAC的3边分别为o,,,Bbc其垂心H至A,曰，及合比定理得

墨：一旦BCC—PC’D

C这3顶点的距离分别为，二求证：++个，旦=

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