球的切、接问题-2025届高三数学二轮复习难点突破

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空间几何体的外接球与内切球是高中数学的重点、难点,也是高考命题的热点,解决此类问题的关键是确定球心,一般通过对几何体的割补和寻找几何体外接球的球心两大策略解决此类问题.培优点1外接球问题典例1

(1)(2023·江西鹰潭校考模拟预测)在三棱锥P-ABC中,PC⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=3,BC=4,若三棱锥P-ABC的外接球的体积为36π,则三棱锥P-ABC的体积为(

)√√[名师点睛]解决多面体的外接球问题,关键是确定球心的位置,方法是先选择多面体的一面,确定此面外接圆的圆心,再过圆心作垂直此面的垂线,则球心一定在此垂线上,最后根据其他顶点确定球心的准确位置.对于特殊的多面体还可以采用补成正方体或者长方体的方法找到球心的位置.触类旁通1

(1)(2023·四川校联考三模)如图1,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=4,BC=CD=DA=2,将△ACD沿对角线AC折起,使得点D翻折到点P的位置,如图2,若平面PAC⊥平面ABC,则三棱锥P-ABC的外接球表面积为(

)图1图2A.16π B.20π C.24π D.32π√(2)在三棱锥A-BCD中,△ABD与△CBD均为边长为2的等边三角形,且二面角A-BD-C的平面角为120°,则该三棱锥外接球的表面积为(

)√培优点2内切球问题典例2

(1)(2023·湖北模拟预测)已知在△ABC中,AB=4,BC=3,AC=5,以AC所在直线为轴旋转一周得到一个旋转体,则该旋转体的内切球的表面积为(

)√(2)(2023·辽宁模拟联考)在四面体ABCD中,BA,BC,BD两两垂直,BA=1,BC=BD=2,则四面体ABCD内切球的半径为(

)√[名师点睛]求解多面体的内切球问题,一般是将多面体分割为以球心为顶点、多面体的各面为底面的棱锥,利用多面体的体积等于各棱锥的体积之和求内切球的半径.触类旁通2

(1)(2023·湖北黄冈模拟)若一个正六棱柱既有外接球又有内切球,则该正六棱柱的外接球和

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