2025届新高考数学精准突破复习 空间几何体

2025届新高考数学精准突破复习空间几何体考情预览

明确考向A.1.0×109m3 B.1.2×109m3C.1.4×109m3 D.1.6×109m3√2.[圆锥的表面积与体积](多选题)(2023·新课标Ⅱ卷)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,AB为底面直径,∠APB=120°,PA=2,点C在底面圆周上,且二面角P-AC-O为45°,则(

)√√3.[球的外接问题](2023·全国乙卷)已知点S,A,B,C均在半径为2的球面上,△ABC是边长为3的等边三角形,SA⊥平面ABC,则SA=

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24.[球的内切问题](2020·全国Ⅲ卷)已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为

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考法聚焦

讲练突破热点一空间几何体的表面积与体积(1)旋转体的侧面积和表面积①S圆柱侧=2πrl,S圆柱表=2πr(r+l)(r为底面半径,l为母线长).②S圆锥侧=πrl,S圆锥表=πr(r+l)(r为底面半径,l为母线长).③S圆台侧=π(r+r′)l,S圆台表=π(r′2+r2+r′l+rl)(r′,r分别为上、下底面半径,l为母线长).④S球表=4πR2(R为球的半径).(2)空间几何体的体积公式①V柱=Sh(S为底面面积,h为高).典例1

(1)(2023·山东淄博统考一模)如图,某几何体的形状类似胶囊,两头都是半球,中间是圆柱,其中圆柱的底面半径与半球的半径都为2,若该几何体的表面积为20π,则其体积为(

)√(2)(2023·湖北武昌模拟)已知圆锥的底面圆心到母线的距离为2,当圆锥母线的长度取最小值时,圆锥的侧面积为(

)√空间几何体的表面积与体积的求法(1)公式法:对于规则的几何体的表面积和体积,可直接利用公式求解.(2)割补法:把不规则的几何体分割成规则的几何体,然后进行体积的计算,或不规则的几何体补成规则的几何体,不熟悉的几何体补成熟悉的几何体,便于计算.(3)等体积法:等体积法也称等积转化或等积变形,通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法,多用来解决锥体,特别是三棱锥的体积.√√(2)(2022·湖北江岸模拟)如图,该几何体是由正方体截去八个一样的四面体得到的,若被截的正方体棱长为2,则该几何体的表面积为(

)热点二截面问题确定截面的主要依据有(1)平面的基本事实与推论.(2)直线与平面平行的判定定理和性质定理.(3)平面和平面平行的性质定理.(4)球的截面的性质.空间几何体的截面作图的常用方法(1)平行线法.用平行线法解决截面问题的关键是截面与几何体的两个平行平面相交,或者截面上有一条直线与截面上某点所在的几何体的某一个表面平行.(2)延长线法.用延长线法解决截面问题的关键是截面上的点中至少有两个点在一个几何体的一个表面上,那么这两点的连线一定在截面内.热点训练2

(1)(多选题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,直线AC1⊥平面α.平面α截此正方体所得截面有如下四个结论,其中正确的是(

)A.截面形状可能为正三角形B.截面形状可能为正方形C.截面形状不可能是正五边形√√√热点三多面体与球求空间多面体的外接球半径的常用方法:(1)补形法:侧面为直角三角形,或正四面体,或对棱均相等的模型,可以还原到正方体或长方体中去求解.(2)定义法:到各个顶点的距离均相等的点为外接球的球心,借助有特殊性底面的外接圆圆心,找其垂线,则球心一定在垂线上,再根据球心到其他顶点的距离也是半径,列关系式求解即可.典例3

(1)(2022·全国乙卷)已知球O的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球O的球面上,则当该四棱锥的体积最大时,其高为(

)√(2)(2023·全国甲卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,O为AC1的中点,若该正方体的棱与球O的球面有公共点,则球O的半径的取值范围是

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解决与球有关的切、接问题,其通法是作出截面,将空间几何问题转化为平面几何问题求解,其解题思维流程如下:(1)定球心:如果是内切球,球心到切点的距离相等且为半径;如果是外接球,球心到接点的距离相等且为半径.(2)作截面:选准最佳角度作出