串讲01 三角计算（考点串讲）（解析版）

串讲01三角计算知识网络二、常考题型三、知识梳理1.两角和与差的余弦公式名称公式使用条件两角差的余弦公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβα，β∈R两角和的余弦公式cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβα，β∈R2.两角和与差的正弦公式名称公式使用条件两角和的正弦sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβα，β∈R两角差的正弦sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβα，β∈R3.辅助角公式y＝asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cosθ＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，sinθ＝eq\f(b,\r(a2＋b2)).4.两角和与差的正切公式名称公式使用条件两角和的正切tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)α，β，α＋β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)且tanα·tanβ≠1两角差的正切tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)α，β，α－β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)且tanα·tanβ≠－15.二倍角公式公式sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α－sin2α=1-2sin2α=2cos2α-1tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)6.二倍角公式变形（1）sin2α＝（2）cos2α＝（3）1±sin2α＝(sinα±cosα)2.7.半角公式（1）sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))，（2）coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))，（3）taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))，（4）taneq\f(α,2)＝eq\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2))＝eq\f(sin\f(α,2)·2cos\f(α,2),cos\f(α,2)·2cos\f(α,2))＝eq\f(sinα,1＋cosα)，（5）taneq\f(α,2)＝eq\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2))＝eq\f(sin\f(α,2)·2sin\f(α,2),cos\f(α,2)·2sin\f(α,2))＝eq\f(1－cosα,sinα).8.正弦型函数（1）φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响（2）ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响（3）A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响9.余弦定理（1）（2）（3）10.余弦定理变形（1）（2）（3）11.正弦定理（其中R是△ABC外接圆的半径）四、常考题型探究考点一余弦和差公式例1．（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用和的余弦公式计算即可.【详解】.故选：B例2．求值：.【答案】【解析】直接逆用两角差的余弦公式即可得结果.【详解】原式.【变式探究】1.（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由两角差的余弦公式计算．【详解】．故选：B．考点二求特殊角的余弦值例3.（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用两角和的余弦公式求得正确结果.【详解】.故选：A考点三正弦和差公式例4.（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据诱导公式，逆用两角差的正弦公式进行求解即可.【详解】，故选：B化简：．【答案】0.【解析】直接利用两角和与差的正弦、余弦展开化简，可求解.【详解】解：（方法一）原式．（方法二）原式．【变式探究】=（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据两角和的正弦公式可求出结果.【详解】.故选：A考点四辅助角公式例6.的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据辅助角公式，直接计算，即可得出结果．【详解】．故选：B考点五正切和差公式例7.已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由两角和的正切公式可得.【详解】．故选：D化简，求值：（1）已知，求的值；（2）.【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用两角和的正切公式计算即可；（2）逆用两角和的余弦公式计算即可.【详解】解：（1），；（2）【变式探究】若，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题可根据两角和的正切公式得出结果.【详解】因为，所以，故选：B考点六“1”的转换例9.已知，则的值是（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】将换为，然后分子、分母同除以即可求解.【详解】.故选：D考点七正弦倍角公式例10.已知角的顶点在坐标原点，始边在轴非负半轴上，且角的终边上一点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据任意角的三角函数的定义即可求出的值，根据二倍角的正弦公式，即可求出的值．【详解】由题意，角的顶点在坐标原点，始边在轴非负半轴上，且角的终边上一点，所以，，所以．故选：D化简：【答案】【分析】由倍角公式结合商数关系化简即可.【详解】原式【变式探究】已知，为第三象限角，那么（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知利用同角的平方关系可求的值，进而根据二倍角的正弦公式即可求解．【详解】解：，为第三象限角，，，故选：B考点八余弦倍角公式例12.已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题中条件，根据二倍角的余弦公式，可直接得出结果.【详解】因为，所以.故选：D例13.化简：.【答案】1【分析】利用同角三角函数基本关系式切化弦，再利用二倍角公式化简即可求值．【详解】解：．【变式探究】若，则=（

）A． B．C．0 D．【答案】C【详解】.故选：C考点九正切倍角公式例14.已知角的顶点与原点重合，始边与轴正半轴重合，终边过点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角函数的定义可求得,结合正切的二倍角公式即可求得的值.【详解】由三角函数的定义可得，所以.故选：A【变式探究】已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据，，利用平方关系得到，再利用商数关系得到，最后用两和的正切求解.【详解】因为，，所以，所以，所以．故选：A考点十正弦型函数的图象例15.把函数f（x）＝sin2x的图象向右平移个单位后，得到函数y＝g（x）的图象.则g（x）的解析式是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用函数的图象变换规律，即可求解，得到函数的解析式.【详解】由题意，把函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象.故选：C【变式探究】将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来2的倍，再向左平移个单位，所得图象的函数解析式是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用三角函数的平移变换和伸缩变换求解.【详解】解：将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来2的倍，得到，再向左平移个单位，得到，故选：C考点十一正弦型函数的性质例16.若函数是奇函数，则可取的一个值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】的图象左右平移仍为奇函数，即可求得.【详解】的图象左右平移仍为奇函数，则.故选：A例17.已知函数是奇函数.(1)求的值；(2)若将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍，得到函数的图象，求.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用奇函数求参数.（2）由（1）得，根据图象平移过程写出解析式.【详解】（1）因为是奇函数，所以，即.又，所以，检验符合.（2）由（1）得：.将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍，得到的图象.故.【变式探究】函数的单调递增区间是（

）．A． B．C． D．【答案】B【分析】令，代入的递增区间，即可得答案；【详解】令，则可以化为，当时，函数单调递增，即，解得，故原函数的单调递增区间为考点十二余弦定理例18.在中，已知则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用余弦定理，通过计算即可得到答案.【详解】因为在中有，由余弦定理得：所以故选：B在中，已知，判断的形状.【答案】等腰三角形【分析】借助正弦定理将原式化简即可得.【详解】法一：由正弦定理，故可化为，即，故为等腰三角形.法二：由正弦定理，故可化为，又，故，则或（舍），故，故为等腰三角形.【变式探究】△内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则△最大内角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据余弦定理，可得，进而，可知△最大角为角，再由余弦定理的推论，即可求出结果.【详解】由余弦定理，，所以；所以，所以最大角为角，由余弦定理推论.故选：A考点十三正弦定理例20.在△ABC中，AB＝1，BC＝2，，则（

）A．60° B．90° C．45° D．120°【答案】B【分析】利用正弦定理计算求得.【详解】由正弦定理得,∴,故选：B例21.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，．(1)若，，求c；(2)若的面积为，，求a．【答案】(