第17讲时变电磁场

大全大全17〔1〕本节内容：1，法拉第电磁感应定律2，位移电流3，麦克斯韦方程组4，边界条件电荷产生电场运动电荷或者恒定电流产生磁场静电场和静磁场独立存在，所以可以分开争论本章将表达时变电场和时变磁场，两个场将不在独立，而是相互激发相互转化，构成统一的时变电磁场。和磁场不仅是空间坐标的函数，而且也随时间变化。而且变化的磁场要产生电场，时变的电场也要产生磁场。此时电场和磁场互为因果，成为统一的电磁场的不行分割的局部。一，法拉第电磁感应定律1831年，英国物理学家法拉第〔Faraday〕总结大量的试验发生变化时，回路中将产生感应电动势，进而引起感应电流。而且感应电动势等于磁通量变化率的负值。由磁通量增加产生的感应电动势与电流接通线圈1的开关K 时，在线圈2中的感应电动势由第2章知道，在导体内维持电流必需在导体内存在非保守场，我们可以用导体内的感应电场〔非库仑电场〕来定义感应电动势： C

E dlin假设空间中同时存在由静止电荷产生的保守电场E ，则C总电场EEin

E CEdl (E E)dl E dl C CEdld

in cBdS

C inC dt S上式为电磁场表示的法拉第电磁感应定律的积分形式。其中，穿过线圈回路磁通的变化可能是由于：随时间变化的磁场穿过〔交链〕静止的线圈，或线圈在均匀磁场中连续转变普遍适用的公式。假设线圈是静止的，则穿过线圈回路的磁通变化只可能是由于磁场随时间变化而引起，此时上式可表示为：

EdlC S

Bt

dS在此之后，英国物理学家兼数学家麦克斯韦〔Maxwell〕质，并得出了电场和交变的磁场之间的关系。他认为回路中感应电动势是由于交变的磁场激发了一种非保守的电场的结果。这个电场称为感应电场。感应电动势与感应电场的关系为： in C

故电磁感应定律可表示为：

C St激发的，不管导体是否存在，只要磁场变化，就要激发感应电场，所以上式不只适合于导体回路，对任一闭合回路都是成立的。由斯托克斯公式，上式可改写为：

C S

St E

t

dS0即： S 由于S 任意，所以：

t交变磁场和感应电场间的关系。电场的源有两种：静止电荷，时变磁场变化的磁场会产生电场，那么变化的电场能否产生磁场呢？答复是确定的。麦克斯韦把恒定磁场中的安培定律用于时变场时消灭了位移电流的假说就是变化的电场产生磁场的结果。考察安培环路定律在时变场状况下是否成立。SlSlSi1电容器的位移电流源的两端，ll为边界的曲面S 与导线相交，则由安培环路定律：11l

S1

ii—导线中的传导电流S

不与导线相交而通过两极板之间，则：2 Hdl0l这样磁场强度沿同一闭合路径的线积分消灭了两种结果，这说明安培环路定律用于时变场要产生冲突。培环路定律与时变条件下的电流连续性方程之间的冲突。安培环路定律：

而在时变场中，电流连续性方程是：

t二者是冲突的。我们知道，电荷守恒定律是一般正确的，而安培环路定律在时变场状况下必需加以修正。Maxwell认为，在时变状况下，高斯定理和磁通连续性原 Dr,t r,t

,t

S Br,t 0

Br,tdS0S这样电流连续性方程可写为：t

t

0大全大全 DJt0即： 0

但矢量 t的散度等于0，假设用此矢量代替安培环路定律中的，即得：

t大全大全D这样，它与电流连续性方程就是相容的了。式中t称为位移电流密度，其单位为〔A/m²。引入位移电流之后，一开头的例中的冲突也就不复存在，由于：

t

t

dSidl S2 S2在两极板之间，电流以位移电流的形式存在，从而保持了电流的连续性。上式还说明，变化的电场也将激发磁场。麦克斯韦依据电场和磁场相互激发，预言了电磁波的存在，这一预言在后来得到了试验的证明。磁场可以由电流来产生，也可以由变化的电场产生。例 计算铜中的位移电流密度和传导电流密度的比值。设铜中的电场为E0

sin

铜的电导率 5.80

s/m, 。0J EEc

sintJ

E

costd t

t 01Jd

109

9.61019fJ 5.8107c例：证明通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流的总量为零。HJDt可知，通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流为J

dS

(H)dS S c

t S(H)dS(H)dV0S V三，麦克斯韦方程组1862变的电场也能产生磁场。这说明白电场与磁场之间的严密联系，二者相互依存，又相互制约，成为统一的电磁场的两个方面。上述两个方程构成了Maxwell方程组的核心，同时麦克斯是成立的，它们和上述二方程组成麦克斯韦方程组：H

t Et B0 D对应的积分形式为：

t tC

J S

dS

d

dC dtSS

0 DdSS

dVQV在各向同性的线性媒质中，各场量之间的关系是：

——媒质的本构方程或称电磁场的关心方程从以上方程不难看出，前面争论过的静电场，恒定电场和d 0恒定磁场的根本方程都不过是Maxwell方程组在dt 时的特例。Maxwell方程组的正确性已为试验所证明，它适用于描述全部的宏观电磁现象，包括运动系统中的电磁现象。它构成了宏观电磁理论的框架，电磁问题的求解最终都可归结为求Maxwell麦克斯韦方程的物理意义：1变磁场产生电场之一重要事实。空间形成电磁波。2荷都成立。说明电场是有通量源的场。3于正电荷终止于负电荷。而磁场的散度恒为零，旋度不为电力线相互交链。4函数，又是时间的函数，假设场矢量不随时间变化，上述方程退化为静态场方程。5叠加原理。四，交变电磁场的边界条件1，磁场强度的边界条件2th△l1大全 ,2 2

,2 ,,1 1 1大全大全由麦克斯韦第一方程：

l S S t H lH lJbhl2t 1t

bhl s

l

t

hl大全大全文档H H∴ 2t

s

Dht∵t

有限，所以其次项为0 H H∴ 2t

J bs或写成矢量形式： 2

s

大全大全 即： 2

1

s

而任意∴∴21

s

H 2t或

21

2，电场强度

的边界条件2th△l1,2 2

,2 ,,1 1 1由麦克斯韦其次方程：

lE lE2t

Stl

t

hl∵t有限，而

h0∴E E 0∴2t 1t即：E E

——电场强度切向重量连续t 2t nE E 02 13，磁感应强度

的边界条件2h△S1h△S1,,1 1 12 2 2大全由麦克斯韦第三方程〔磁通连续性原理： BdS0S与恒定磁场类似的争论可得：B B1n2n ——磁感应强度的法向重量连续1n2n ——磁感应强度的法向重量连续或： 2 1大全3，电感应强度的边界条件2h△S1h△S1,,1 1 12 2 2大全大全由麦克斯韦第四方程〔高斯定理： QS与静电场类似争论可得：2n1nD D 2n1nS S或：n

D D 2 1 S2S综上所述，交变电磁场中的边界条件可归纳为：2SH H

22t 1t Sb2E E

01t 2tB B1n 2nD D

或

D2D

01D 2n 1n S 2 1 S下面争论一特例——抱负导体外表上交变场的边界条件。所谓抱负导体是指的导体。对于很大的良导体，当频率很高时，电磁场只能存在于导体外表很小的薄层内，这种现象称为集肤效应〔以后在均匀平面波局部具体讲越大，集肤效应越显著，透入深度越小〔如在10GHz，透入铜的深度为6.6105

cm， 时，透入深度为0，即在抱负导体内部电磁场处处为0。由高斯定理和安培环路定律可知，电荷和电流只能存在于抱负导体的外表上。S依据上述边界条件，在抱负导体外表上：SH J

ttE0t

Sb 0B 0

0nD n

或矢量形式 nn 可见，在抱负导体外表上，电场只有法向重量，磁场只有切向重量。[例]两无限大抱负导体板相距为a强度为

Esinmy 0 a

m常数

yy,0 0x大全z大全大全解：S

欲求S

，应先求由麦克斯韦其次方程： 0Et0

t大全大全Ey

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ˆ0

z x t∴E

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