时间序列分析在经济预测中的应用

时间序列分析在经济预测中的应用摘要：本文研究目的是通过预测中国人均GDP以对制定经济开展目标与方针政策提供数据支持。借助SPSS和Eviews统计软件，运用指数平滑法和ARIMA模型对中国人均GDP时间序列进行分析并建模，根据模型预测出2012年至2016年的人均GDP。关键词：人均GDP；指数平滑法；ARIMA模型1问题的提出 国内生产总值〔GDP〕是指一个国家或者地区所有常住单位在一定时期内生产活动的最终成果，是反映国民经济活动最重要的经济指标之一。科学的预测该指标，对制定经济开展目标以及与之相配套的方针政策具有重要的理论价值与实际意义。经济预测是研究客观经济过程未来一定时期的开展变化趋势，其目的在于通过对客观经济现象历史规律的探讨和现状的研究，求得对未来经济活动的了解，以确定社会经济活动的开展水平，为经济决策提供依据。本文拟对中国的未来经济开展状况作预测分析，数据选取中国1952-2011人均GDP的年度数据〔见表1〕，并以此为依据建立预测模型，对未来5年即从2012年到2016年的人均GDP做出预测并检验其预测结果。表1中国人均GDP时间序列数据〔1952-2011〕〔单位：元〕YearAveGDPYearAveGDPYearAveGDP1952119197229219922311195314219733091993299819541441974310199440441955150197532719955046195616519763161996584619571681977339199764201958200197838119986796195921619794191999715919602181980463200078581961185198149220018622196217319825282002939819631811983583200310542196420819846952004123361965240198585820051465319662541986963200616165196723519871112200719524196822219881366200822698196924319891519200925605197027519901644201029748197128819911893201134650资料来源：根据《中国统计年鉴》整理2统计方法选择资料数据是预测的依据与根底，一般是根据确定的预测目标及影响因素搜集有关的资料和数据，并结合初步拟定的预测模型，对所搜集的数据进行分析和预处理然后再选取适当的预测模型。时间序列所研究的是随时间变化的相关结构，它的应用广泛，从海洋学到经济学都是它的应用范围。大多数的经济时间序列存在趋势性，通过对这种趋势性分析可以根据当前值和过去值对未来值进行预测。我们知道，时间序列分析方法可以分为确定性时间序列分析和随机性时间序列分析，而且两者又可以按照指标法、模型法分成不同类型的分析方法。根据过去学者的研究经验说明，随机性时间序列分析的预测误差较确定性时间序列分析的为小；而时间序列模型法的预测误差又较指标法的为小。在案例问题的解决方案中并不是唯一的，本文拟选取确定性时间序列分析法中的指数平滑法和随机性时间序列分析法中的ARIMA模型。2.1指数平滑法指数平滑法是移动平均法的改良和开展，它既不需要存储很多历史数据，又考虑了各期数据的重要性，且使用了全部历史资料。指数平滑法的估计是非线性的，其目标是使预测值和实测值之间的方差为〔MSE〕最小。利用指数平滑公式可以建立指数平滑预测模型。原那么上说，不管序列的根本趋势多么复杂，总可以利用高次指数平滑公式建立一个逼近很好的模型，但计算量很大，因此用得较多的是几个低阶指数平滑预测模型。指数平滑预测模型是以当前时刻T为起点，综合历史序列的信息，对未来进行预测的。选择适宜的加权系数α是提高预测精度的关键环节。根据实践经验，α的取值范围一般以为宜。如何进一步确定α的最正确取值常要结合理论分析和模型比照的方法来进行。2.2ARIMA模型ARIMA模型(p，d，q)又称为自回归求和移动平均模型。其中AR指自回归,p为模型的自回归项数；MA为移动平均，q为模型的移动平均项数；I指积分,d为时间序列成为平稳之间必须取其差分的次数。其建模根本思想可归纳如下：〔1〕根据时间序列的散点图，自相关函数〔ACF〕图和偏自相关函数〔PACF〕图，以及ADF单位根检验观察其方差、趋势及其季节性变化规律，识别该序列的平稳性；〔2〕数据进行平稳化处理。如果数据序列是非平稳的，如存在一定的增长或下降趋势等,那么需对数据进行差分处理；如果数据序列存在异方差性，那么需对数据进行对数转换或者开方处理，直到处理后的数据的自相关函数值和偏相关函数值无显著地异于零；〔3〕根据时间序列模型的识别规那么，建立相应的模型：假设平稳时间序列的偏相关函数是截尾的，而自相关函数是拖尾的,那么可断定此序列适合AR模型；假设平稳时间序列的偏相关函数是拖尾的，而自相关函数是截尾的，那么可断定此序列适合MA模型；假设平稳时间序列的偏相关函数和自相关函数均是拖尾的，那么此序列适合ARMA模型；〔4〕进行参数估计,估计暂定的模型参数,检验是否具有统计意义；〔5〕进行假设检验,诊断白噪声。检验假设模型残差的ACF值和PACF值在早期或季节性延迟点处不得大于置信区间,同时残差应理想化为0均值。可观察残差的ACF图和PACF图，并辅以D-W值、t值等检验法。3统计分析过程3.1指数平滑法分析过程在选择模型之前，先利用Excel看看中国人均GDP〔1952-2011〕的折线图进行趋势分析，然后再选择适宜的模型进行定量分析得出预测结果，如图1：图1中国人均GDP〔1952-2011〕的时间序列变化折线图从图1可以看出，中国人均GDP〔1952-2011〕带有明显的趋势性，这个社会经济现象可以看成是随机过程在现实中的一次样本实现。图中显示，中国人均GDP〔1952-2011〕保持指数增长趋势，特别是1978年改革开放以后，呈现出较强劲的增长趋势。从人均GDP的变化特征来看，这是一个非平稳序列，明显呈现上升趋势。下面进行指数平滑预测，采用SPSS统计软件，按Analyze→Timeseries→ExponentialSmoothing顺序展开ExponentialSmoothing主对话框，共有四种模型，它们分别是Simple、Holt、Winters、Custom，这些模型在其趋势这里根据需要采用Custom模型。3.2ARIMA模型分析过程ARIMA模型不以经济理论为指导，依据时间序列自身结构的特点建立模型并利用外推机制进行预测。从图1可以看出中国人均GDP带有明显的增长趋势，初步将其识别为非平稳的，单位根检验的结果〔见表2〕也证实了这一点。表2单位根检验结果ADFTestStatistic2.2168801%CriticalValue*-3.56255%CriticalValue-2.919010%CriticalValue-2.5970*MacKinnoncriticalvaluesforrejectionofhypothesisofaunitroot.由表2可知，检验t统计量值是2.216880，大于显著性水平为1%的临界值，结果与定性分析一致，即中国人均GDP〔1952-2011〕呈现趋势性也就是非平稳性。模型识别利用Eviews做出中国人均GDP〔1952-2011〕自相关和偏自相关分析图，这里选择滞后期k=15，根据“一般k取[n/10]或者[n/4]〔n为样本量，括号表示取整运算〕”的原那么进行。在未进行差分时，自相关分析图呈现非平稳性，偏自相关图在k=1时偏自相关系数明显不为0，而k=2时恰好在置信区间边缘，而k>3以后的值都在随进区间内，可以认为序列的偏自相关函数具有截尾性。未经差分的自相关和偏自相关分析图如图2：AutocorrelationPartialCorrelationACPACQ-StatProb.|*******|.|*******|10.8940.89444.8000.000.|******|.|.|20.8050.03181.8810.000.|******|.|.|30.723-0.010112.400.000.|*****|.|.|40.643-0.036136.980.000.|****|.|.|50.565-0.030156.400.000.|****|.|.|60.492-0.027171.410.000.|***|.*|.|70.416-0.060182.360.000.|***|.*|.|80.336-0.072189.660.000.|**|.*|.|90.257-0.058194.020.000.|*.|.|.|100.184-0.031196.320.000.|*.|.|.|110.1240.006197.380.000.|*.|.|.|120.0800.036197.840.000.|.|.|.|130.0460.023197.990.000.|.|.|.|140.0190.007198.020.000.|.|.|.|150.0130.001201.050.000图2中国人均GDP〔1952-2011〕自相关和偏自相关分析图〔未差分〕同样选择k=15，对序列进行一阶差分以消除非平稳性，但是一阶差分后自相关分析图仍然呈现非平稳性；这里考虑尝试先对序列取自然对数然再进行一阶差分，与直接进行一阶差分相比拟而言，能够比拟好的消除非平稳性。取自然对数并进行一阶差分的自相关和偏自相关分析图如图3：AutocorrelationPartialCorrelationACPACQ-StatProb.|.|.|.|10.0130.0130.00890.925**|.|**|.|2-0.218-0.2182.62480.269***|.|***|.|3-0.330-0.3408.75580.033.*|.|**|.|4-0.158-0.26010.1940.037.|*.|.*|.|50.074-0.14210.5140.062.|**|.|.|60.201-0.03212.9430.044.|*.|.|*.|70.1940.08315.2560.033.*|.|.*|.|8-0.126-0.10916.2470.039.*|.|.|.|9-0.123-0.01417.2180.045.|.|.|*.|100.0060.10417.2210.070.|.|.|.|11-0.012-0.03017.2300.101.*|.|.*|.|12-0.069-0.15917.5570.130.|*.|.|.|130.0890.03018.1220.153.|.|.|.|140.019-0.04318.1490.200.|.|.|.|150.0130.02318.1850.247图3中国人均GDP〔1952-2011〕自相关和偏自相关分析图〔一阶差分〕从图3的自相关分析图可见，序列的样本自相关系数呈衰减正弦波趋向于零，呈现为拖尾性，滞后三期和六期的自相关系数都明显不为零，这里考虑取q=3或4；在偏自相关分析图中，在k>3后呈现截尾性，因此对序列可初步建立AR〔3〕；综合来讲，可以考虑对序列建立ARIMA(3,1,3),ARIMA(3,1,4)。模型估计利用Eviews,在主窗口选择Quick/EstimateEquation,输出结果如表3表3ARMA〔3,3〕模型参数估计与检验结果VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.AR(3)1.0540020.02893936.422140.0000MA(3)-0.9388390.058032-16.177980.0000R-squared0.020445Meandependentvar0.086708AdjustedR-squared-0.000396S.D.dependentvar0.085077S.E.ofregression0.085094Akaikeinfocriterion-2.050156Sumsquaredresid0.340328Schwarzcriterion-1.972939Loglikelihood52.22882Durbin-Watsonstat0.923179InvertedARRoots1.02-.51-.88i-.51+.88iEstimatedARprocessisnonstationaryInvertedMARoots.98-.49-.85i-.49+.85i表4ARMA〔3,4〕模型参数估计与检验结果VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.AR(3)1.0308610.04017025.662160.0000MA(4)-0.9338960.041509-22.498640.0000R-squared-0.305160Meandependentvar0.086708AdjustedR-squared-0.332929S.D.dependentvar0.085077S.E.ofregression0.098224Akaikeinfocriterion-1.763173Sumsquaredresid0.453453Schwarzcriterion-1.685956Loglikelihood45.19774Durbin-Watsonstat1.344173InvertedARRoots1.01-.51-.87i-.51+.87iEstimatedARprocessisnon-stationaryInvertedMARoots.98表3和表4中上面两局部与普通最小二乘法结果相同，但这里对参数t检验显著性水平的要求并不像回归方程那么严格，更多的是考虑模型的整体拟合效果。调整后的可决系数、AIC和SC准那么都是选择模型的重要标准。表中最下方给出的是滞后多项式的倒数根，利用复数知识可知他们均在单位圆内，符合要求。表4中AIC和SC值分别为-1.763173和-1.685956，分别大于表4中的-2.050156和-1.972939，可以认为ARMA〔3,3〕模型更为适宜。模型检验参数估计后，应对模型的适合性进行检验，即对残差序列进行白噪声检验。通常侧重于检验残差序列的随机性，即滞后期k>1，残差序列的样本自回归系数应近似为0，这里用m表示最大滞后期。图4中最后两列用于χ2检验，包括Q统计量和检验相伴概率。该序列样本量为60，最大滞后期m可以取15。从k=13一行找到检验统计量Q值为6.8811，从Prob读出拒绝原假设所犯第一类错误即a错误的概率为0.908，这说明，残差序列相互独立即为白噪声的概率很大，故不能拒绝序列相互独立的原假设，检验通过。AutocorrelationPartialCorrelationACPACQ-StatProb.*|.|.*|.|1-0.127-0.1270.83660.360.*|.|.*|.|2-0.067-0.0841.07460.584.*|.|.*|.|3-0.061-0.0831.27600.735.*|.|.*|.|4-0.136-0.1672.31070.679.*|.|.*|.|5-0.080-0.1452.67090.751.|*.|.|*.|60.1730.1114.41230.621.|*.|.|*.|70.0690.0764.69380.697.*|.|.*|.|8-0.104-0.1045.34840.720.|.|.|.|9-0.002-0.0325.34860.803.|*.|.|*.|100.0730.1125.68950.841.*|.|.|.|11-0.089-0.0316.21480.859.|.|.*|.|12-0.051-0.1176.39360.895.|*.|.|.|130.0840.0266.88110.908.*|.|.*|.|14-0.128-0.0858.05170.887.*|.|.*|.|150.0930.0338.63270.923图4适合模型残差序列的自相关和偏自相关分析图模型预测模型检验是适宜的，同时也是符合实际意义的，本文拟预测到2016年的人均GDP。现用ARIMA(3,1,3)模型对中国2012年人均GDP的自然对数进行试预测，得出2012年到2016年的预测结果如表5：表5ARIMA模型预测结果〔单位：元〕Year2012年2013年2014年2015年2016年预测值40359.7747624.5355720.7065721.8574265.69参考文献[1]王吉利等，统计学教学案例，中国统计出版社，2004.04[2]苏金明等，统计软件SPSS系列应用实战篇，电子工业出版社，2011.10[3]薛薇，SPSS统计分析方法及应用，北京：电子工业出版社，2004[4]卢纹岱，SPSSforWindows统计分析〔第二版〕，北京：电子工业出版社，2002[5]石美娟，ARIMA模型在上海市全社会固定资产投资预测中的应用数理统计与管理，2005[6]刘颖等，中国人均GDP〔1952-2002〕时间序列分析，统计观察，2005.02[7]朱立斌，ARIMA模型在股市预测中的应用，江苏统计，1999.01[8]李贵斌，ARIMA模型分阶的估计方法比拟，应用概率统计，1994.11[9]王祥云等，ARIMA模型在汇率时间序列预测中的应用，上海金融，1997[10]陈耀辉等，分数阶ARIMA模型的参数估计与预测，系统工程，2004.06[11]王文博，计量经济学，西安交通大学出版社，2004.08[12].易丹辉，数据分