因式分解公式大全

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公式及方法大全

待定系数法(因式分解)

待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在

在因式分解时，一些可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，依据多项式恒等的性质，两边对应项系数应当相等，或取多项式中原有字母的几个非常值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．

常用的因式分解公式：

因式分解

例1分解因式：*2+3*y+2y2+4*+5y+3．

分析由于

(*2+3*y+2y2)=(*+2y)(*+y)，

假设原式可以分解因式，那么它的两个一次项肯定是*+2y+m和*+y+n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．

解设

*2+3*y+2y2+4*+5y+3

=(*+2y+m)(*+y+n)

=*2+3*y+2y2+(m+n)*+(m+2n)y+mn，

因式分解

比较两边对应项的系数，那么有

解之得m=3，n=1．所以

原式=(*+2y+3)(*+y+1)．

说明此题也可用例2分解因式：*4-2*3-27*2-44*+7．

分析此题所给的是一元整系数多项式，依据前面讲过的求根法，假设原式有有理根，那么只可能是1，7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．假如原式能分解，只能分解为

(*2+a*+b)(*2+c*+d)的形式．

解设

原式=(*2+a*+b)(*2+c*+d)

=*4+(a+c)*3+(b+d+ac)*2+(ad+bc)*+bd，所以有

由bd=7，先考虑b=1，d=7有

所以

原式=(*2-7*+1)(*2+5*+7)．

因式分解

说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．此题假如b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就需要将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．

此题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．

求根法(因式分解)

我们把形如an*n+an-1*n-1+…+a1*+a0(n为非负整数)的代数式称为关于*的一元多项式，并用f(*)，g(*)，…等记号表示，如f(*)=*2-3*+2，g(*)=*5+*2+6，…，当*=a时，多项式f(*)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(*)f(1)=12-3

我们把形如an*n+an-1*n-1+…+a1*+a0(n为非负整数)的代数式称为关于*的一元多项式，并用f(*)，g(*)，…等记号表示，如

f(*)=*2-3*+2，g(*)=*5+*2+6，…，

因式分解

当*=a时，多项式f(*)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(*)

f(1)=12-31+2=0；

f(-2)=(-2)2-3(-2)+2=12．

假设f(a)=0，那么称a为多项式f(*)的一个根．

定理1(因式定理)假设a是一元多项式f(*)的根，即f(a)=0成立，那么多项式f(*)有一个因式*-a．

依据因式定理，找出一元多项式f(*)的一次因式的关键是求多项式f(*)的根．对于任意多项式f(*)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(*)的都是时，即整系数多项式时，常常用下面的定理来判定它是否有有理根．

定理2

的根，那么必有p是a0的约数，q是an的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(*)的整数根均为an的约数．我们依据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．

例2分解因式：*3-4*2+6*-4．

因式分解

分析这是一个整系数一元多项式，原式假设有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：1，2，4，只有f(2)=23-422+62-4=0，

即*=2是原式的一个根，所以依据定理1，原式必有因式*-2．

解法1用分组分解法，使每组都有因式(*-2)．原式=(*3-2*2)-(2*2-4*)+(2*-4)

=*2(*-2)-2*(*-2)+2(*-2)

=(*-2)(*2-2*+2)．

解法2用多项式除法，将原式除以(*-2)，

所以

原式=(*-2)(*2-2*+2)．

说明在上述解法中，特别要留意的是多项式的有理根肯定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不肯定是多项式的根．因此，需要对-4的约数逐个代入多项式进行验证．例3分解因式：9*4-3*3+7*2-3*-2．

因式分解

分析由于9的约数有1，3，9；-2的约数有1，为：

所以，原式有因式9*2-3*-2．

解9*4-3*3+7*2-3*-2

=9*4-3*3-2*2+9*2-3*-2

=*2(9*3-3*-2)+9*2-3*-2

=(9*2-3*-2)(*2+1)

=(3*+1)(3*-2)(*2+1)

说明假设整系数多项式有根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式

可以化为9*2-3*-2，这样可以简化分解过程．

总之，对一元高次多项式f(*)，假如能找到一个一次因式(*-a)，那么f(*)就可以分解为(*-a)g(*)，而g(*)是比f(*)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(*)进行分解了．

双十字相乘法(因式分解)

因式分解

分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(a*2+b*y+cy2+d*+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式

2*2-7*y-22y2-5*+35y-3．我们将上式按*降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为

2*2-(5+7y)*-(22y2-35y+3)，可

分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(a*2+b*y+cy2+d*+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．

例如，分解因式2*2-7*y-22y2-5*+35y-3．我们将上式按*降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为

2*2-(5+7y)*-(22y2-35y+3)，

可以看作是关于*的二次三项式．

对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为

即

-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．

因式分解

再利用十字相乘法对关于*的二次三项式分解所以

原式=［*+(2y-3)］［2*+(-11y+1)］

=(*+2y-3)(2*-11y+1)．

上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．假如把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下列图：它表示的是下面三个关系式：

(*+2y)(2*-11y)=2*2-7*y-22y2；

(*-3)(2*+1)=2*2-5*-3；

(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．

这就是所谓的双十字相乘法．

用双十字相乘法对多项式a*2+b*y+cy2+d*+ey+f进行因式分解的步骤是：

(1)用十字相乘法分解a*2+b*y+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；

因式分解

(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的d*．例1分解因式：

(1)*2-3*y-10y2+*+9y-2；

(2)*2-y2+5*+3y+4；

(3)*y+y2+*-y-2；

(4)6*2-7*y-3y2-*z+7yz-2z2．

解(1)

原式=(*-5y+2)(*+2y-1)．

(2)

原式=(*+y+1)(*-y+4)．

(3)原式中缺*2项，可把这一项的系数看成0来分解．原式=(y+1)(*+y-2)．

(4)

原式=(2*-3y+z)(3*+y-2z)．

因式分解

说明(4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．

笔算开平方

对于一个数的开方，可以不用计算机，也不用查表，径直笔算出来，下面通过一个例子来说明如何笔算开平方，对于其它数只需仿照即可

例求316.4841的平方根.

第一步,先将被开方的数，从小数点位置向左右每隔两位用逗号，分段，如把数316.4841分段成3,16.48,41.

第二步，找出第一段数字的初商，使初商的平方不超过第一段数字，而初商加1的平方那么大于第一段数字，本例中第一段数字为3，初商为1，由于12=13，而(1+1)2=43.第三步，用第一段数字减去初商的平方，并移下第二段数字，组成第一余数，在本例中第一余数为216.

第四步，找出试商，使(20初商+试商)试商不超过第一余数，而【20初商+(试商+1)】(试商+1)那么大于第一余数.

因式分解

第五步，把第一余数减去(20初商+试商)试商，并移下第三段数字，组成第二余数，本例中试商为7，第二余数为2748.依此法继续做下去，直到移完全部的段数，假设最末余数为零，那么开方运算告结束.假设余数永久不为零，那么只能取某一精度的近似值.

第六步，定小数点位置，平方根小数点位置应与被开方数的小数点位置对齐.本例的算式如下：

根式的概念

【方根与根式】数a的n次方根是指求一个数，它的n次方恰好等于a.a的n

次方根记为

为

(n为大于1的自然数).作称为根式.n称为根a称为根底数.在

因式分解

范围内，负数不能开偶次方，一个正数开偶次方有两个方根，其绝对值相同，符号相反.

【算术根】正数的正方根称为算术根.零的算术根规定为零.

【基本性质】由方根的定义，有

根式运算

【乘积的方根】乘积的方根等于各因子同次方根的乘积；反过来，同次方根的乘积等于乘积的同次方根，即

≥0,b≥0)

【分式的方根】分式的方根等于分子、分母同次方根相除，即

≥0,b0)

【根式的乘方】

【根式化简】

≥

0)≥0)

因式分解

≥0,d≥

0)

≥0,d≥0)

【同类根式及其加减运算】根指数和根底数都相同的根式称为同类根式，只有同类根式才可用加减运算加以合并.

进位制的基与数字

任一的值与数字所在的位置有关，任何位置的数字当小数点向右移一位时其值扩大10倍，当小数点向左移一位时其值缩小10倍.例如

一般地，任一正数a可表为

因式分解

这就是10进数，记作a(10)，数10称为进位制的基，式中ai在{0,1,2,L,9}中取值，称为10进数的数字，显着没有理由说进位制的基不能取其他的数.现在取q为任意大于1的q进数表示

(1)

式中数字ai在{0,1,2,...,q-1}中取值，anan-1...a1a0称为q进数a(q)的整数部分，记作[a(q)];

a-1a-2...称为a(q)的分数部分，记作{a(q)}.常用进位制，除10进制外，还有2进制、8进制、16进制等，其数字如下2进制0,1

8进制0,1,2,3,4,5,6,7

16进制0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

各种进位制的相互转换

因式分解

1q→10转换适用通常的10进数四那么运算规章，依据公式

(1)，可以把q进数a(q)转换为10进数表示.例如

210→q转换转换时需要分为整数部分和分数部分进行.对于整数部分其步骤是：

(1)用q去除[a(10)]，得到商和余数.

(2)记住余数作为q进数的最末一个数字.

(3)用商替换[a(10)]的位置重复(1)和(2)两步，直到商等于零为止.

对于分数部分其步骤是：

(1)用q去乘{a(10)}.

(2)记住乘积的整数部分作为q进数的分数部分第一个数字.

(3)用乘积的分数部分替换{a(10)}的位置，重复(1)和(2)两步，直到乘积变为整数为止，或直到所需要的位数为止.例如：103.118(10)=147.074324...(8)

因式分解

整数部分的分数部分的

草式草式

3p→q转换通常状况下其步骤是：a(p)→a(10)→a(q).假如p,q是同一数s的不同次a(p)→a(s)→a(q).例如，8进数127.653(8)转换为16进数时，由于8=23，16=24，所以s=2，其步骤是：首先把8进数的每个数字依据8-2转换表转换为2进数(三位一组)

127.653(8)=001010111.110101011(2)

然后把2进数的全部数字从小数点起(左和右)每四位一组分组，从16-2转换表中逐个记住对应的16进数的数字，即

因式分解

正多边形各量换算公式

n为边数R为外接圆半径a为边长爎为内切圆半径为圆心角S为多边形面积重心G与外接圆心O重合正多边形各量换算公式表各量正三角形

n为边数R为外接圆半径

a为边长爎为内切圆半径

为圆心角S为多边形面积

重心G与外接圆心O重合

正多边形各量换算公式表

因式分解

或许你还对作图感爱好：正多边形作图

所谓初等几何作图问题，是指运用无刻度的直尺和圆规来作图.假设运用尺规有限次能作出几何图形，那么称为作图可能，或者说欧几里得作图法是可能的，否那么称为作图不可能.

许多平面图形可以用直尺和圆规作出，例如上面列举的正五边形、正六边形、正八边形、正十边形等.而另一些就不能作出，例如正七边形、正九边形、正十一边形等，这些多边形只能用近似作图法.如何判断哪些作图可能，哪些作图不可能呢？直到百余年前，用代数的方法彻底地解决了这个问题，即给出一个关于尺规作图可能性的准那么：作图可能的充分须要条件是，这个作图问题中必需求出的未知量能够由假设

因式分解

干已知量经过有限次有理运算及开平方运算而算出.几千年来很多数学家耗费了不少的精力，企图解决所谓“几何三大问题”：

立方倍积问题，即作一个立方体，使它的体积二倍于一已知立方体的体积

.

三等分角问题，即三等分一已知角

.

化圆为方问题，即作一正方形，使它的面积等于一已知圆的面积.

后来已严格证明白这三个问题不能用尺规作图.

代数式的求值

因式分解

代数式的求值与代数式的恒等变形关系非常亲密．很多代数式是先化简再求值，特别是有附加条件的代数式求值问题，往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基本性质、通分、

求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法．下面结合例题逐一介绍．

1．利用因式分解方法求值

因式分解是重要的一种代数恒等变形，在代数式化简求值中，常常被采纳．

分析*的值是通过一个一元