(典型题)2022高考数学二轮复习 知识点总结 平面向量

第第页(典型题)2022高考数学二轮复习知识点总结平面向量平面对量

从近几年高考来看，平面对量有以下几个考查特点：1.向量的加法，主要考查运算法那么、几何意义；平面对量的数量积、坐标运算、两向量平行与垂直的充要条件是命题的重点内容，主要考查运算技能和敏捷运用知识的技能；试题以选择、填空形式涌现，难度中等偏下.2.平面对量与三角函数、解析几何相结合，以解答题形式呈现，难度中等．

1．平面对量中的五个基本概念

(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为|a|(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．

(4)假如直线l的斜率为k，那么a＝(1，k)是直线l的一个方向向量．(5)向量的投影：|b|cos〈a，b〉叫做向量b在向量a方向上的投影．2．平面对量的两个重要定理

(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.(2)平面对量基本定理：假如e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．

3．平面对量的两个充要条件

假设两个非零向量a＝(*1，y1)，b＝(*2，y2)，那么：(1)a∥ba＝λb*1y2－*2y1＝0.(2)a⊥bab＝0*1*2＋y1y2＝0.4．平面对量的三性格质

(1)假设a＝(*，y)，那么|a|＝aa＝*＋y.(2)假设A(*1，y1)，B(*2，y2)，那么→

|AB|2

2

a

*2－*1＋y2－y1.

(3)假设a＝(*1，y1)，b＝(*2，y2)，θ为a与b的夹角，

ab*1*2＋y1y2

那么cosθ＝2222.

|a||b|*1＋y1*2＋y2

考点一平面对量的概念及线性运算

12→

例1(1)(2022江苏)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.假设DE＝

23

→→

λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，那么λ1＋λ2的值为________．

→→→→→→→

(2)△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，OA＋AB＋AC＝0且|OA|＝|AB|，那么向量CA在CB上的投影为

()

A.3B．3C3D．－31

答案(1)(2)A

2

→→→1→2→1→2→→

解析(1)如图，DE＝DB＋BE＝AB＝AB＋AC－AB)

23231→2→121

＋AC，那么λ1＝－，λ2＝，λ1＋λ2＝63632→→→

(2)由OA＋AB＋AC＝0，→→→得AB＋AC＝AO.

又O为△ABC外接圆的圆心，OB＝OC，∴四边形ABOC为菱形，AO⊥BC.→→

由|OA|＝|AB|＝2，知△AOC为等边三角形．

π→→→

故CA在CB上的投影为|CA|cos∠ACB＝2cos＝

3.

6

在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作字母，其运算就类似于

代数中合并同类项的运算；有的问题采纳坐标化解决更简约．

(2)运用向量加减法解决几何问题时，要擅长发觉或构造三角形或平行四边形，运用三角形法那么时要特别留意“首尾相接”．运用平行四边形法那么时两个向量的起点需要重合．

→→→→→→

已知△ABC和点M满意MA＋MB＋MC＝0.假设存在实数m使得AB＋AC＝mAM成

立，那么m的值为A．2

()

B．3C．4D．5

→→→→→

(2)如图，平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OA与OB的夹角为120，→

OA与OC的夹角为30，且|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝3，假设OC＝λOA＋μOB

(λ，μ∈R)，那么λ＋μ的值为________．答案(1)B(2)6

→→→

解析(1)∵MA＋MB＋MC＝0，∴点M是△ABC的重心．→→→

∴AB＋AC＝3AM，∴m＝

3.

→→→→→→→

→→→→→→

(2)方法一如图，OC＝OB1＋OA1，|OB1|＝2，|OA1|＝|B1C|＝4，→→→∴OC＝4OA＋2OB.∴λ＋μ＝6.

→→→→→2→→

方法二由OC＝λOA＋μOB，两边同乘OC，得OC＝λOAOC＋0，∴λ＝4.→→→→∴OC＝4OA＋μOB，两边同乘OA，→→→→得OCOA＝4＋μOAOB，1

即3＝4＋()μ.∴μ＝2.

2∴λ＋μ＝6.

方法三以O为原点，OA为*轴建立直角坐标系，

那么A(1,0)，C3cos30，3sin30)，B(cos120，sin120)．13

即A(1,0)，C(3，3)，B(－，)．

221

λ－＝3，2→→→

由OC＝λOA＋μOB得，

32＝3.

μ＝2

∴λ＝4

→

.∴λ＋μ＝6.

考点二平面对量的数量积

例2(1)(2022江苏)如图，在矩形ABCD中，AB2，BC＝2，点E为

BC的中点，点F在边CD上，假设ABAF＝2，那么AEBF的值是

________．

(2)假设a，b，c均为单位向量，且ab＝0，(a－c)(b－c)≤0，那么|a＋b

－c|的最大值为A.2－1C.2

()

→→→

B．1D．2

答案(1)2(2)B解析(1)方法一坐标法．

以A为坐标原点，AB，AD所在直线为*轴，y轴建立平面直角坐标系，那么

A(0,0)，B

(

2，0)，E2，1)，F(*,2)．

故→AB＝(2，0)，→AF＝(*,2)，→

AE＝(2，1)，→

BF＝(*－2，2)，

∴→AB→

AF＝(2，0)(*,2)＝2*.又→AB→

AF＝2，∴*＝1.∴→

BF＝(1－2，2)．

∴→AE→

BF＝(2，1)(1－2，2)＝2－2＋22.方法二用→AB，→BC表示→AE，→

BF是关键．设→DF＝*AB→，那么→CF＝(*－1)→AB.

→

ABAF→＝AB→(AD→＋DF→

)

＝→AB(→AD＋*AB→)＝*AB→2

＝2*，又∵→AB→

AF2，∴2*＝2，∴*22.∴→BF＝→BC＋→CF＝→BC＋221→

AB.∴→AE→BF＝(→AB＋→BE)→BC＋2→2－1AB

＝→AB＋1→2→BC＋221→AB

＝22－1→

AB21→22

＝

22－1

1

2＋22.

(2)方法一由题意知a2

＝b2

＝c2

＝1，又ab＝0，

∵(a－c)(b－c)＝ab－ac－bc＋c2

≤0，∴ac＋bc≥c2

＝1，

∴|a＋b－c|2

＝a2

＋b2

＋c2

＋2ab－2ac－2bc＝3－2(ac＋bc)≤1，∴|a＋b－c|≤1.

方法二设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(*，y)，

那么*2

＋y2

＝1，a－c＝(1－*，－y)，b－c＝(－*,1－y)，那么(a－c)(b－c)＝(1－*)(－*)＋(－y)(1－y)＝*2

＋y2－*－y＝1－*－y≤0，即*＋y≥1.

又a＋b－c＝(1－*,1－y)，∴|a＋b－c|＝*－12

1－*＋1－y

＋y－12

＝3－2*＋y≤1.

涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路：

①径直利用数量积的定义；②建立坐标系，通过坐标运算求解．

(2)在利用数量积的定义计算时，要擅长将相关向量分解为图形中模和夹角已知的向量进行计算．

求平面对量的模时，常把模的平方转化为向量的平方．

→→→→→→

(1)(2022山东)已知向量AB与AC的夹角为120，且|AB|＝3，|AC|＝2.假设AP＝λAB＋→

AC，且AP⊥BC，那么实数λ的值为________．

→→→→→→→→1

(2)(2022重庆)在平面上，AB1⊥AB2，|OB1|＝|OB2|＝1，AP＝AB1＋AB2.假设|OP|，那么

2→

|OA|的取值范围是

()

→→

A.0C.

52

B.D.

75

，22

5

，227

，22

7

答案(1)(2)D

12

→→→→

解析(1)由AP⊥BC知APBC＝0，→→→→→→即APBC＝(λAB＋AC)(AC－AB)→→→2→2

＝(λ－1)ABAC－λAB＋AC

1＝(λ－1)32－－λ9＋4＝0，2

7

解得λ＝.

12→→(2)∵AB1⊥AB2，

→→→→→→∴AB1AB2＝(OB1－OA)(OB2－OA)→→→→→→→2

＝OB1OB2－OB1OA－OAOB2＋OA＝0，→→→→→→→2∴OB1OB2－OB1OA－OAOB2＝－OA.

→→→∵AP＝AB1＋AB2.

→→→→→→∴OP－OA＝OB1－OA＋OB2－OA，→→→→∴OP＝OB1＋OB2－OA.→→

∵|OB1|＝|OB2|＝1，

→2→2→→→→→→∴OP＝1＋1＋OA＋2(OB1OB2－OB1OA－OB2OA)→2→2→2

＝2＋OA＋2(－OA)＝2－OA，

→1→21→21∵|OP|OP|，∴0≤2－OA

2447→27→

∴OA≤2，即|OA|∈2.42考点三平面对量与三角函数的综合应用

例3已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cos*，sin*)，c＝(sin*＋2sinα，cos*

＋2cosα)，其中0α*π.(1)假设α＝

π

，求函数f(*)＝bc的最小值及相应*的值；4

π

(2)假设a与b的夹角为，且a

⊥c，求tan2α的值．

3

应用向量的数量积公式可得f(*)的三角函数式，然后利用换元法将三角

函数式转化为二次函数式，由此可解得函数的最小值及对应的*值．

(2)由夹角公式及a⊥c可得关于角α的三角函数式，通过三角恒等变换可得结果．解(1)∵b＝(cos*，sin*)，

c＝(sin*＋2sinα，cos*＋2cosα)，α

∴f(*)＝bc

＝cos*sin*＋2cos*sinα＋sin*cos*＋2sin*cosα＝2sin*cos*＋2(sin*＋cos*)．令t＝sin*＋cos*

2

π4

π*π，

4

那么2sin*cos*＝t－1，且－1t2.那么y＝t＋2t－1＝t∴t＝－

2

223

－，－1t2，22

232时，ymin＝－sin*＋cos*＝－，222

2π即2sin*＋＝－

42πππ5

∵*π*＋π，4244π711π∴*π，∴*＝4612

311π∴函数f(*)的最小值为－，相应*的值为212π

(2)∵a与b的夹角为，

3

πab∴coscosαcos*＋sinαsin*＝cos(*－α)．

3|a||b|π

∵0α*π，∴0*－απ，∴*－α3

∵a⊥c，∴cosα(sin*＋2sinα)＋sinα(cos*＋2cosα)＝0，π∴sin(*＋α)＋2sin2α＝0，即sin2α＋＋2sin2α＝0.3533

∴sin2α＋α＝0，∴tan2α＝－.225

在平面对量与三角函数的综合问题中，一方面用平面对量的语言表述三角函

数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面对量问题，在解

决此类问题的过程中，只要依据题目的详细要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以依据向量或者三角函数的知识解决问题．

3a＝sin*，，b＝(cos*，－1)．

4

(1)当a∥b时，求cos*－sin2*的值；

(2)设函数f(*)＝2(a＋b)b，已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，假设a3，b＝2，sinB＝

6ππ

，求f(*)＋4cos(2A＋)(*∈[0，])的取值范围．363

2

33

解(1)∵a∥b，∴cos*＋sin*＝0，∴tan*44cos*－2sin*cos*1－2tan*8

∴cos*－sin2*＝＝.222

sin*＋cos*1＋tan*5

2

2

π3(2)f(*)＝2(a＋b)b2sin2*＋＋

42由正弦定理

b2π

sinA，∴AsinAsinB24

a

ππ1∴f(*)＋4cos2A＋＝2sin2*＋－642πππ11π

∵*∈[0，]，∴2*＋∈[，．

34412∴

3π1f(*)＋4cos(2A＋)≤2262

1．当向量以几何图形的形式涌现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表

→→→示，就要依据向量加减法的法那么进行，特别是减法法那么很简单出错，向量AB＝OB－OA(其中O为任意一个点)，这个法那么就是终点向量减去起点向量．

2．依据平行四边形法那么，对于非零向量a，b，当|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条

对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a＋b|＝|a－b|等价于向量a，b相互垂直．

3．两个向量夹角的范围是[0，π]，在运用平面对量解决问题时要特别留意两个向量夹角

可能是0或π的状况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线．

4．平面对量的综合运用主要表达在三角函数和平面解析几何中，在三角函数问题中平面对

量的知识主要是给出三角函数之间的一些关系，解题的关键还是三角函数问题；解析几何中向量知识只是给出一些几何量的位置和数量关系，在解题中要擅长依据向量知识分析解析几何中的几何关系.

→1．已知两点A(1,0)，B(13)，O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC＝120，设OC

→→

＝－2OA＋λOB(λ∈R)，那么λ等于A．－1答案C

解析依据∠AOC＝120，

可知点C在射线y3*(*0)上，设C(a3a)，那么有(a，－3a)＝(－2,0)＋(λ，3λ)＝(－2＋λ3λ)，即得a＝－2＋λ3a＝3λ，消去a，得λ＝1.

ππ

2．函数y＝tan(*－*4)的图象如下图，A

为图象与*轴的交

42

()

B．2C．1D．－2

点，

→→→

过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，那么(OB＋OC)OA＝______.答案8

→

解析A点坐标为(2,0)，即OA＝(2,0)，

ππ

由y＝tan(*的图象的对称性知A是BC的中点．

42→→→

∴OB＋OC＝2OA，

→→→→→→2

∴(OB＋OC)OA＝2OAOA＝2|OA|＝8.

3．在△ABC中，向量m＝(2cosB,1)，向量n＝(1－sinB，－1＋sin2B)，且满意|m＋n|

＝|m－n|.(1)求角B的大小；

(2)求sinA＋sinC的取值范围．

解(1)由|m＋n|＝|m－n|，可知m⊥nmn＝0.然而m＝(2cosB,1)，n＝(1－sinB，－1＋sin2B)，所以有mn＝2cosB－sin2B－1＋sin2B＝2cosB－1＝0，1

得cosB＝B＝60.

2

33

(2)sinA＋sinC＝sinA＋sin(120－A)A＋A3sin(A＋30)．

22又0A120，那么30A＋30150，1

sin(A＋30)≤1.23

sinA＋sinC≤3，2

3

，3]．2

即sinA＋sinC的取值范围是一、选择题

1．以下命题中正确的选项是

()

A．假设λa＋μb＝0，那么λ＝μ＝0B．假设ab＝0，那么a∥b

C．假设a∥b，那么a在b上的投影为|a|D．假设a⊥b，那么ab＝(ab)答案D

2

解析依据平面对量基本定理，需要在a，b不共线的状况下，假设λa＋μb＝0，那么λ＝μ＝0；选项B显着错误；假设a∥b，那么a在b上的投影为|a|或－|a|，平行时分两向量所成的角为0和180两种；a⊥bab＝0，(ab)＝0.

2．(2022四川)设a、b都是非零向量，以下四个条件中，使成立的充分条件是

|a||b|()

A．a＝－bC．a＝2b答案C

解析利用向量的相等与共线知识解决．

B．a∥b

D．a∥b且|a|＝|b|

2

ab

aba表示与a表示与b同向的单位向量，只要a与b同向，就有|a||b||a|

＝

b

，观测选择项易知C满意题意．|b|

→→

3．(2022湖北)已知点A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，那么向量AB在CD方向上

的投影为()A.32

2

315B.

2315D．－2

32C.－

2答案A

→→

解析AB＝(2,1)，CD＝(5,5)，

→→

ABCD25＋15→→

∴AB在CD方向上的投影为＝22

→5＋5|CD|＝

32

25215

→→

4．(2022福建)在四边形ABCD中，AC＝(1,2)，BD＝(－4,2)，那么该四边形的面积为()

A.5答案C

→→

解析∵ACBD＝0，∴AC⊥BD.

1→→1

∴四边形ABCD的面积S＝|AC||BD|＝525＝5.

22

B．25C．5D．10

5．(2022湖南)已知a，b是单位向量，ab＝0，假设向量c满意|c－a－b|＝1，那么|c|的

取值范围是

()

B．2－12＋2]

A．2－12＋1]C．[1，2＋1]答案A

D．[12＋2]

解析∵ab＝0，且a，b是单位向量，∴|a|＝|b|＝1.又∵|c－a－b|＝c－2c(a＋b)＋2ab＋a＋b＝1，∴2c(a＋b)＝c＋1.

∵|a|＝|b|＝1且ab＝0，∴|a＋b|＝2，∴c＋1＝22|c|cosθ(θ是c与a＋b的夹角)．又－1≤cosθ≤1，∴0c＋1≤22|c|，∴c－2|c|＋1≤0，∴2－1≤|c|≤2＋1.

→→→

6．假设点M是△ABC所在平面内的一点，且满意5AM＝AB＋3AC，那么△ABM与△ABC的面积比

为

D.

925

()

2

2

2

22

2

2

2

1

A.5答案C

2

B.53

C.5

解析设AB的中点为D，

→→→→→→→由5AM＝AB＋3AC，得3AM－3AC＝2AD－2AM，→→即3CM＝2MD.

如下图，故C，M，D三点共线，→3→且MD＝，

5

也就是△ABM与△ABC对于边AB的两高之比为3∶5，3

那么△ABM与△ABC的面积比为.

5二、填空题

7．(2022安徽)假设非零向量a，b满意|a|＝3|b|＝|a＋2b|，那么a与b夹角的余弦值为________．

1

答案－

3

解析由已知条件得a＝(a＋2b)，即ab＝－|b|，

2

2

2

ab1

cos〈a，b＝－|a||b|3

8．(2022北京)向量a，b，c在正方形网格中的位置如下图，假设

c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，那么________.

答案4

解析以向量a和b的交点为原点建直角坐标系，那么a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)，依据c＝λa＋μb(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)有－λ＋6μ＝－1，λ＋1λ

2μ＝－3，解之得λ＝－2且μ＝－，故4.

2μ

→→

9．给定两个长度为1的平面对量OA和OB，它们的夹角为90.如下图，

→→→

点C在以O为圆心的圆弧AB上运动．假设OC＝*OA＋yOB，其中*、y∈R，那么*＋y的最大值是________．答案

2

λμ

解析设∠AOC＝α，那么∠COB＝90－α，

*＝cosα→→→

∴OC＝cosαOA＋sinαOB，即

y＝sinα

.

π∴*＋y＝cosα＋sinα＝2sinα＋≤2.4→→

10．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，ABBC＝1，那么BC＝________.

答案

3

→→

解析∵ABBC＝1，且AB＝2，

→→→→

∴1＝|AB||BC|cos(π－B)，∴|AB||BC|cosB＝－1.在△ABC中，AC＝AB＋BC－2ABBCcosB，即9＝4＋BC－2(－1)．∴BC3.三、解答题

11．(2022江苏)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0βαπ.

(1)假设|a－b|2，求证：a⊥b；

(2)设c＝(0,1)，假设a＋b＝c，求α，β的值．

(1)证明由|a－b|＝2，即(cosα－cosβ)＋(sinα－sinβ)＝2，整理得cosαcosβ＋sinαsinβ＝0，

2

2

2

2

2

2

即ab＝0，因此a⊥b.

cosα＋cosβ＝0

(2)解由已知条件

sinα＋sinβ＝1

，

又0βαπ，

cosβ＝－cosα＝cos(π－α)，那么β＝π－α，sinα＋sin(π－α)＝1，1π5π

sinα＝，α或α＝，

266π5π

当α＝时，β＝(舍去)

665ππ

当α＝时，β＝.

66

12．(2022湖北)已知向量a＝(cosω*－sinω*，sinω*)，b＝(－cosω*－