第三章 线性方程组 习题课(7)总16

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第三章线性方程组习题课向量的线性关系本章的主要内容回顾：一、本章的主要内容回顾：线性方程组(一)向量及向量组的有关定义定义1:个数组成的有序数组称为个数组成的有序数组称为n维向量定义：n个数组成的有序数组称为维向量

α=(a1,a2,…,an)

b1b2=(b1,b2,L,bn)Tβ=Mbn

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定义2:定义：

L对于给定的n维向量β,α1,,αs,假如存在一组数k1,L,ks,使关系式β=k1α1+L+ksαs成立，L成立，那么称向量β是向量组α1,,αs的L线性组合或称向量β可由α1,,αs线性表示。表示。

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L对于向量组α1,,αs,假如存在一组不全为零的数k1,L,ks使得关系式k1α1+L+ksαs=0(a)L线性相关；成立,那么称向量组α1,,αs线性相关；假如(a)当且仅当在k1=L=ks=0L时成立,那么称向量组α1,,αs线性无关.定义3:定义：

(A);β1,,βt(B)L假如组(A)中每个向量都可由组(B)线性表示，线性表示，那么称向量组(A)可由向量组(B)线性表示

α1,,αsL

定义4:定义：设有两个向量组:

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定义5:假如向量组()可由向量组()定义：假如向量组(A)可由向量组(B)线性表示，而向量组(B)也可由向量组(A)线性表示，而向量组()也可由向量组()线性表示，那么称向量组()与向量组()那么称向量组(A)与向量组(B)等价记作：记作：(A)∽(B)∽

L设αj,,αj(r≤s)是向量组α1,,αs的一个线性无关的部分组，LL的其余向量(假如再从α1,,αs的其余向量(假如还有的话)添加进去，还有的话)中任取一个添加进去，所得线性相关，的r+1个向量构成的部分组均线性相关，那么称αj,,αj为向量组α1,,αs的一LL个极大线性无关组,简称极大无关组.定义6:定义：1r1r

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称为向量组的秩，量的个数,称为向量组的秩，记为r(α1,L,αs).1规定:零向量组的秩为0;)2矩阵A的行向量组的秩称为矩阵A的行秩；的行秩；)3矩阵A的列向量组的秩称为矩阵A的列秩.)(二)向量线性关系的有关重要定理

定义7:定义：向量组α1,,αs的极大无关组所含向L

定理1:设β及向量组α1,,αn是同维L的列(行)向量，那么向量β可由列(行)向量组α1,,αn线性表示L矩阵(α1Lαn)与矩阵(α1Lαnβ)有相同的秩.

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mL定理2:维列向量组α1,,αn线性相关以α1,,αn为列向量的矩阵的秩小于L向量的个数n线性相关,当r(α1Lαn)n向量组α1Lαn线性无关，线性

无关，当r(α1Lαn)=n

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推论1:设n个n维向量组αj=(a1j,L,anj)(j=1,L,n),a11La1n那么向量组线性相关MOM=0an1Lann

推论2:当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时，向量的维数时，该向量组必线性相关

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定理3:假如向量组中有一部分向量组简称部分组)(简称部分组)线性相关，那么整个向量组必线性相关(部分相关整体相关)

的等价命题：定理3的等价命题：线性无关的向量组任何部分无关)一部分组都线性无关(整体无关

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补充定理：补充定理：设m个n维向量组αi=(ai1,ai2,L,ain),线性无关，i=1,L,m线性无关，那么在每个向量上个份量(添加k个份量(k≥1后得到的m个n+k)维的新的向量组αi′=(ai1,ai2,L,ain,ai(n+1),L,ai(n+k))i=1,L,m也线性无关.

线性相关，推论:假设n维向量组α1,α2,L,αm线性相关，那么每个向量去掉k个份量(kn)后得到的nk维向量组也线性相关.

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L定理4:向量组α1,,αm(m≥2)线性相关

α1,,αm中至少有一个向量是其余Lm1个向量的线性组合。个向量的线性组合。

L线性相关，定理5:假如向量组α1,,αm,β线性相关，而α1,,αm线性无关，那么向量β肯定可由L线性无关，L向量组α1,,αm线性表示且表示法唯一。定理6:假如向量组()可由向量组()线性表示，定理：假如向量组(A)可由向量组(B)线性表示，而向量组()又可由向量组()线性表示，而向量组(B)又可由向量组(C)线性表示，那么向量组()也可由向量组()那么向量组(A)也可由向量组(C)线性表示传递性)(传递性)

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定理7:设有两个向量组LLα1,,αs(A)及β1,,βt(B),向量组(线性表示，向量组(B)可由向量组(A)线性表示，假如st,那么向量组(B)线性相关推论1:假如向量组(B)可由向量组(A)线性表示；推论1:假如向量组(B)可由向量组(A)线性表示；且向量组()线性无关，且向量组(B)线性无关，那么t≤s。。

推论2:假如向量组()推论：假如向量组(A)与(B)可相互线性表示且)可相互线性表示,向量组(A)(B)都线性无关，那么t=s。都线性无关，=。向量组都线性无关

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LL定理8:假如αj,,αj是α1,,αs的线性无关部分组，部分组，那么它是极大无关组LLα1,,αs中的每一个向量都可由αj,,αj线性表示。表示。1r1r

定理9:A为mn矩阵，r(A)=r矩阵，的列(A的列(行)秩为r的列秩，推论:矩阵A的行秩等于矩阵A的列秩，

即为矩阵A的秩.

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结论：结论：L假如αj1,L,αjr是向量组α1,,αs的极大无关组，关组，那么初等变换后相应的αj1,L,αjr是向量组α1,L,αs的极大无关组。的极大无关组。

向量组的秩及极大无关组的求法：将向量组合成矩阵，进行初等行变换得到阶梯阵，非零行的行数为向量组的秩，主元所对应的列向量组为极大线性无关组。

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(三)线性方程组的消元法三

a11*1+a12*2+L+a1n*n=b1a21*1+a22*2+L+a2n*n=b2LLLLam1*1+am2*2+L+amn*n=bm定理3.1r(A)=n有唯一解A*=B有解r(A)=r(AB)r(A)n有无穷多解。

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对齐次线性方程组a11*1+a12*2+L+a1n*n=0a*+a*+L+a*=02112222nn有:LLLLam1*1+am2*2+L+amn*n=0

定理3.2齐次线性方程组A*=0有非零解r(A)n,n为未知数的个数。

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解线性方程组的步骤：解线性方程组的步骤：用初等变换化方程组的增广矩阵为阶梯型矩阵，阶梯型矩阵，依据dr+1≠0或dr+1=0判别方程组是否有解1那么方程组无解；()如dr+1≠0,那么方程组无解；(2如dr+1=0,那么方程组有解,且:)那么方程组有唯一解；如r(A)=r(AB)=n,那么方程组有唯一解；如r(A)n,那么方程组有无穷多解。

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(四)线性方程组的解的结构1、齐次线性方程组解的结构、

它的解有如下性质：它的解有如下性质：1假如v1,v2是线性方程组的两个解)那么v1+v2也是它的解;2)假如v1是线性方程组的解那么kv1也是它的解,k∈R;3)假如v1,L,vs都是线性方程组的解那么其线性组合k1v1+L+ksvs也是它的解,ki∈R,i=1,L,s.

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假如v1,v2,L,vr是齐次线性方程组的解向量组定集合)性无关组，(集合)的一个极大线性无关组，那么称义v1,v2,L,vr是齐次线性方程组的一个基础解系

定理1:矩阵，定理：设A是mn矩阵，假如是矩阵r(A)=rn,那么齐次线性方程组那么齐次线性方程组A*=0那么齐次线性方程组的基础解系存在，且每个基础解系基础解系存