2021年高考数学真题和模拟题分类汇编：17 复数（含解析）

2021年高考真题和模拟题分类汇编

数学

专题17复数

一、选择题部分

1.（2021•新高考全国I卷中2）已知z=2-i，则z（N+i）=（）

A.6—2iB,4-2ic.6+2iD.4+2i

【答案】c.

【解析】因为z=2—i,故W=2+i，故z「+i）=（2-i）（2+2i）=4+4"2"2『=6+2i

故选c.

2.（2021•高考全国甲卷♦理T3）已知（l-i>z=3+2i,则2=（）

3.3

A.-l--zB.-1+C.----FZD.——

2手22

【答案】B.

2i。・

【解析】山已知得2=——根据复数除法运算法则,即可求解.

-21

（1-Z）2Z=-2ZZ=3+2Z,

3+2z（3+2z）-z-2+3z

z—---=------=----—1+二i.故选B.

-2z-2i-i22

3.（2021•高考全国乙卷•文T2）设iz=4+3i,则2=（）

A.-3-4iB.-3+4iC.3-4iD.3+4i

【答案】C.

4+3/_（4+3/）f_4z-3

【解析】由题意可得：z=3-4z.

-1

故选C.

4.（2021•浙江卷叮2）已知aeH,（l+ai）i=3+i,。为虚数单位），则。=（）

A.-1B.1C.-3D.3

【答案】C.

【解析】（l+ai）i=i+a/=i—a=—a+i=3+i,

利用复数相等的充分必要条件可得：一。=3,/.a=-3

故选C.

5.(2021•江西上饶三模•理T2.)已知复数zi=l+i,Z2=3-j在复平面内对应的向量分别为示,

丽，则标的模为()

A.V2B.8C.4D.272

【答案】D.

【解析】•••复数zi=l+i,Z2=3-i在复平面内对应的向量分别为水，QB，

.,.0A=(14),QB=(3,-1),

•*-AB=OB-OA=(^-2),

IAB1=6「+(-2)2=2&・

6.(2021•江苏盐城三模・T2)若复数Z满足|z—i|W2,则zN的最大值为

A.1B.2C.4D.9

【答案】D.

【考点】复数的运算

【解析】由题意可知,设z=a+bi,则|z—i|=|〃+(/?—l)i|W2,即屏+(力一1)24%不妨设〃=

2cos仇力=2sin0+l,则zZ=a2+/;2=4cos2<9+2sin20+4sin^+1=5+4sin^^9,故答案选D.

7.(2021•河南郑州三模•理T2)1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的

关系，并写出以下公式呼=cosx+，sinx,这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为

“数学中的天桥”.根据此公式可知，设复数Z=丁工，根据欧拉公式可知，：J表示的

e1-1

复数的虚部为()

A.JIB.迎C,返D.返,

2222

【答案】C.

【解析】e/x=cosx+/sinx,

复数z=小,谷=。。3』》号=返乂鲁=亚*粤=返，，

611211222

1-1

所以复数的虚部为：返.

2

8.(2021•河南开封三模•文理T2)设复数z满足|z|=|z-i|=1,且z的实部大于虚部，则z=()

A.运」iB.返JiC.上史iD.上也i

22222222

【答案】B.

【解析】设z=q+Z?i,(mbeR),

■:复数Z满足|z|=|z-i|=1,

AVx2+y2=1'Vx2+(y-l)2=1,

即/+y2=1,x^y2-2y=0,

解得产,，x=土噂，

乙N

：z的实部大于虚部，

9.（2021•河南焦作三模•理T2）已知复数z满足|z-2|=1,则|z|的最大值为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C.

【解析】因为|z-2|=l,所以z在复平面内所对应的点Z到点（2,0）的距离为1,

所以点Z的轨迹为以（2,0）为圆心，1为半径的圆，

所以团的取值范围为［1,3］,

则|z|的最大值为3.

10.（2021•河北张家口三模・T2）若复数z满足工=211,则在复平面内三对应的点位于（）

Z5

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D.

51

【解析】由已知得z=^y=（4+i）（［GT=1+%，

所以所以在复平面内W对应的点（1，-2）.

11.（2021•山东聊城三模・T2.）已知aeR,i为虚数单位，若粤为实数，则a的值为（）

【答案】D.

【考点】复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算

【解析】【解答】公=凿;居郎=•丝苫产%若其为实数，

则4a+6=0,即a=—|.故答案为：D.

【分析】根据复数乘除运算和复数概念即可求得。

9

12.（2021•四川内江三模•理TL）复数三的共辗复数是（）

1-1

A.1-/B.1+/C.-1-/D.-1+/

【答案】A

【解析】••卷=71笔黑尸小

，复数上的共轮复数是l-i.

，-1

13.（2021•重庆名校联盟三模・T2.）若复数z满足|z-l+i|=|l-2i\,其中i为虚数单位，则z

对应的点(X,>')满足方程()

A.(x-1)2+(y-1)2=5B.(x-1)2+()41)2=5

C.(x+1)2+(y-I)2=5D.(x+1)2+(y+1)2=5

【答案】B.

【解析】设2=*+)1,*.*|z-l+z|=|l-2z|,(x-1)+(y+1)i|=|l-2/|,

­■-7(x-l)2+(y+l)2=Vl2+(-2)2'故(x-1)2+<>1+!)2=5.

14.(2021•安徽蚌埠三模•文Tl.)复数z满足(1+i)则的虚部为()

A.1B.-IC.iD.-i

【答案】A.

【解析】•/(1+1).3=1-i,：.(1(l+i)«z=(1-f)(l-i),

化为2z--2i,解得z--

则Z=i的虚部为L

15.（2021•贵州毕节三模•文T2.）若复数z满足z（2-/）=1（/■是虚数单位），则z的共辗复

数z在复平面内对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D.

【解析】由题意得2=12+12+i

2-i(2-i)(2+i)5

则在复平面内对应的点在第四象限•

5

16.（2021•河南济源平顶山许昌三模•文T2.）若复数z满足|z-34=3,，为虚数单位，则|z-4|

的最大值为（）

A.8B.6C.4D.2

【答案】A.

【解析】由|z-3i|=3,可知复数z对应点的轨迹为以8（0,3）为圆心，以3为半径的圆

上，如图：

则|z-4|的最大值为HB|+3=5+3=8.

17.(2021•四川泸州三模•理T2.)复数z=*，则其共枕复数^=()

1-1

A.-1-/B.-1+zC.1-zD.1+/

【答案】A.

【解析】化简可得复数2=普

1-1

_2i(l+i)_-2+2i_1+.

一(l-i)(l+i)--2~一'

复数z的共桅复数为：-1-i.

18.(2021•江苏常数三模・T6.)已知/为虚数单位，则复数z=l+2j+3,2+-+2020产。19+2021产2。的

虚部为()

A.-1011B.-1010C.1010D.1011

【答案】8.

【解析】因为z=1+2/+3/2++2O2O/2°19+2O21/2020,

所以/Z=/+2/2+3/3+­+2020/2019+2021/2020+2021/2021,

,.2021

两式相减可得，(1-/)z=l+i+i2+•••+/2020-2021/20Z1=Jd-----2021i=l-2021i,

1-i

ccr)l-2021i(l-2020i)(l+i).........

所以z-—―=(i-i)(i+i)=1011-1010^

所以复数Z的虚部为-1010.

19.(2021•湖南三模・T2.)已知z在复平面内对应的点的坐标为(2,-1),则与=()

Z-1

A.1-3zB.3+iC.1-iD.2-z

【答案】B.

【解析】因为z在复平面内对应的点的坐标为(2,-1),

所以z=2-i,

2z2(2-i)2(2-i)(l+i)

故=3+i.

z-ll~i(l-i)(1+i)

20.（2021•福建宁德三模・T1）复平面内复数zrZ2对应的点关于实轴对称，若z1=3+4i,则

Z1Z2=（）

A.7-24iB.-7-24iC.-25D.25

【答案】D.

【解析】•••复平面内复数zrZ2对应的点关于实轴对称，Zi=3+43

・•・z2=3-4i,

22

zxz2=（3+4i）（3-4i）=3-（4i）=9+16=25,故选：D.

根据复数在复平面内的几何意义求出复数Z2,再利用复数的四则运算求解.

本题主要考查了复数在复平面内的几何意义，考查了复数的四则运算，是基础题.

21.（2021•江西南昌三模•理T2.）若复数z满足（1+i）（z-2）=2i,则^=（）

A.3+zB.3-iC.-3+iD.-3-i

【答案】B.

【解析】由（1+i）（z-2）=2i,

得z=2+系=2+（胃%i）=2+，（一）=3+i，

所以W=3-i.

.2021

22.（2021•安徽宿州三模•理T2.）i为虚数单位，已知复数2=o幺二——，则z的共轨复数在

1+i

复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】4

【解析】•••产=1,.•.产°21=（产）505./=

2021

二复数2-i2-i2-l-3i1则z的共/复数月=

1+i1+i(1+i)(l-i)22

方+方在复平面内对应的点仔-1）位于第一象限.

23.（2021•安徽宿州三模•文T2.）设，是虚数单位，若复数z满足z（1+，）=（1-/）,则复数

z的模|z|=（）

A.-1B.1C.&D.2

【答案】B.

【解析】zJT=止上）—=-i，所以有|z|=l.

l+i2

24.（2021•安徽马鞍山三模•理T2.）若复数（1+i）（«-/）（i是虚数单位）在复平面内对应

的点在第三象限，则实数。的取值范围是（）

A.（-8,1）B.（-8,-1）C.（1,+8）D.（-1,+8）

【答案】B.

【解析】复数（l+j）（〃-i）=a+\+（白-1）z,在复平面内对应的点在第三象限，

a+1<0,a-\<0,解得：a<i-1.则实数a的取值范围是（-8,-1）.

25.（2021•安徽马鞍山三模•文T2.）已知复数z=J^+i&是虚数单位），z的共物复数记作工

则备=（）

lzI

【答案】A.

【解析】丁z二愿+i，z=V3-i,lzl=V（3）2+12=2,则廿］­=-，；

26.（2021•江西鹰潭二模•理T2.）若复数z满足（1+i）z=|2+i|,则复数z的虚部是（）

A.星B.C.近D.返i

2222

【答案】A.

【解析】复数z满足（1+0z=|2+i|,

（1-/）（i+i）Z=（i-,•）・、而，.・.z=Y5-Y3,则复数z的虚部是-豆.

v222

7+i

27.（2021•河北秦皇岛二模•理T2.）复数z=1+i的共辗复数在复平面内对应点坐标为（）

A.(4,-3)B.(4,3)C.(-3,4)D.(3,4)

【答案】B.

7+i_(7+i)(l-i)

【解析】复数z=l+T-(l+i)(l-i)=4-3i，

所以复数z的共物复数为W=4+3i，它在复平面内对应点坐标为（4,3）.

28.（2021•江西上饶二模•理T2.）复数z满足z”=l+2i（i为虚数单位），则复数z在复平面

内所对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D.

r邮垢】山.俎l+2i_（l+2i）（-i）

【解析】由z“=l+2/,得2=..2-2-1，

1-i

，复数z在复平面内所对应的点的坐标为（2,-1）,在第四象限.

29.（2021•北京门头沟二模•理T1）复数z=含在复平面内对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B.

【解析】解：复数z=六=温士）=达罗=i-1在复平面内对应的点（_U）在第二象限,

故选：8利用复数的运算法则、几何意义即可得出.

本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

30.（2021•河北邯郸二模•理T9.）若复数z满足（2+i）z+5i=0,则（）

A.z的虚部为-2B.^=1+2/

C.z在复平面内对应的点位于第二象限D.|日=25

【答案】AD.

【解析】因为（2+i）z+5i=O,所以女D、=-i（2-i）=-l-2i，

故z的虚部为-2,故选项4正确；z=-l+2i»故选项8错误；

z在复平面内对应的点位于第三象限，故选项C错误；

闭=团4=|-1-2犷=25,故选项D正确.

31.（2021•浙江杭州二模•理T2.）设复数z满足2・（3-力=10（1为虚数单位），则忆|=（）

A.3B.4c.TioD.10

【答案】C.

【解析】由z.—。得z=<=建留J=3+i,

则0=

2i

32.（2021•江西九江二模•理T2.）已知复数z=1-i,则团=（）

A.0B.&C.2D.-2

【答案】B.

.2i2i(l+i)_-2+2i

【解析】•,=l+i，团=，^.

*1-i-(l-i)(l+i)2

复数工的共轨复数对应的点位于（）

33.（2021•广东潮州二模・T2.）在复平面内,

1-1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D.

【解析】复数，=一共扼复数对应点的坐标（《，―）在第四

kl-i）11+1J22.22

象限.

34.（2021•山东潍坊二模-T2.）在复数范围内，已知p,q为实数，1-/•是关于x的方程x?+px+q

=0的一个根，则p+q=（）

A.2B.1C.0D.-1

【答案】C.

【解析】因为1T是关于x的方程x2+px+q=0的一个根，

则1+，是方程/+px+q=O的另一个根，

由韦达定理可得1+/+(1-，)=-P，(1+/)(1-/)=q,

解得P=-2,q=2,所以p+q=O.

35.(2021•浙江丽水湖州衢州二模・T1.)已知复数2=上学其中i为虚数单位，则|z|=()

1

A.豆B.C.D.2

22'

【答案】c.

【解析】z=上竽-=二|苧1=3-i,其中i为虚数单位，则团=杼石7=06

36.(2021•安徽淮北二模•文T2.)设复数z=p02]+l(i是虚数单位)，是z的共辄复数，则W

-z2=()

A.3-iB.l+3zC・-1-iD.1-3i

【答案】D.

【解析】Vz=i202,+l=(z4)505*/+l=i+l,Az=l-i>

则^-/=1-i-(1+z)2=l-i-1-2z+l=l-3z.

37.(2021•宁夏银川二模•文T2.)复数z满足(1-i)z=l-汽则复数z=()

A.iB,-iC.-1+ZD.-\-i

【答案】A.

【解析】(1-i)z=l-汽(1-i)z=l+z,

(1+i)(1-Z)z=(l+z)(l+i),：.2z=2i,解得z=i.

38.(2021•河南郑州二模•文T2.)设复数z满足(1+Z)z=2i,则|z|=()

A.—B.返C.JQD.2

22V

【答案】c.

【解析】V(1+z)z=2i,：.(1-O(l+i)z=2i(1-I),z=i+l.则|z|=&.

2

39.(2021•新疆乌鲁木齐二模•文T2.)已知复数z=l-i,则N一=()

Z-1

A.2B.-2C.2iD.-万

【答案】A.

22

【解析】将Z=1_“弋入得马-=(1?)=W~=2-

z-ll-i-1-i

40.(2021•吉林长春一模•文T2.)已知复数z满足zi=2+&i(i为虚数单位)，W为复数z的共

粒复数，贝Uzi=()

A.V2B.V6C.2D.6

【答案】D.

【解析】解：复数z满足力=2+鱼2为虚数单位)，

zi(-i)=(2+V2i)(-i)，

•••z——V2—2i,

z=—\/2+2i,

则z-z=(-V2-2i)(-V2+2i)=(-V2)2+22=6,

故选：D.

利用复数的运算法则、共扼复数的性质即可得出.

本题考查了复数的运算法则、共知复数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

二'填空题部分

41.(2021•吉林长春一模♦文T15.)若复数z满足z・z=3,则|z|=

【答案】3

［解析］设2=。+初(a，beR),有z-z=a2+〃=3,|z|=石.

42.(2021•辽宁朝阳二模F4.)已知|z+J^i|+|z-娓i|=6,则复数z在复平面内所对应点P(x,

y)的轨迹方程为—.

22

【答案】二+三-=1.

94

【解析】•.•复数Z在复平面内所对应点P(x,>-),又上+代升上-逐,|=6,

：电2+"+烟)2+^x2+(y-遥)2=6,即点P(x,y)到点A(0,-旄)，和8(0,

而)的距离之和为：6