（挑战压轴）专项27.2 相似三角形种A字型（2种类型）（解析版）

（挑战压轴）专项27.2相似三角形种A字型（2种类型）【方法技巧】有一个公共角（图①、图②）或角有公共部分（图③，∠BAC及∠DAE有公共部分∠DAF），此时需要找另一对角相等，另外若题中未明确相似三角形对应顶点，则需要分类讨论，如图③中可找条件∠D＝∠C或∠D＝∠B.1.如图，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝5，则S△ADE：S△ABC的值是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵DE∥BC，∴S△ADE∽S△ABC，∵DE＝2，BC＝5，∴S△ADE：S△ABC的值为，故选：B．2.如图，在△ABC中，点E、F分别在AB、AC上，EF∥BC，＝，四边形BCFE的面积为21，则△ABC的面积是（）A． B．25 C．35 D．63【答案】B【解答】解：∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝（）2，∵＝，∴＝，∴＝（）2＝（）2＝，∵四边形BCFE的面积为21，S△ABC＝S△AEF+S四边形BCFE，∴S△ABC＝4+21＝25，故选：B．3.如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，若△ADE的面积是4cm2，则四边形BDEC的面积为（）A．4cm2 B．8cm2 C．12cm2 D．16cm2【答案】C【解答】解：∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC，DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝，∵△ADE的面积是4cm2，∴△ABC的面积是16cm2，∴四边形BDEC的面积＝△ABC的面积﹣△ADE的面积＝16﹣4＝12（cm2），故选：C．4．（2019•梁平区模拟）如图，△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，∴，∴，故选：B．5．（2021•绥化）两个相似三角形的最短边分别为5cm和3cm，它们的周长之差为12cm，那么大三角形的周长为（）A．14cm B．16cm C．18cm D．30cm【答案】D【解答】解：根据题意得两三角形的周长的比为5：3，设两三角形的周长分别为5xcm，3xcm，则5x﹣3x＝12，解得x＝6，所以5x＝30，即大三角形的周长为30cm．故选：D．6．（2022•漳州模拟）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，若△ADE的面积是4cm2，则四边形BDEC的面积为（）A．4cm2 B．8cm2 C．12cm2 D．16cm2【答案】C【解答】解：∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC，DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝，∵△ADE的面积是4cm2，∴△ABC的面积是16cm2，∴四边形BDEC的面积＝△ABC的面积﹣△ADE的面积＝16﹣4＝12（cm2），故选：C7．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC，DF分别交l1，l2，l3于点A，B，C和点D，E，F，连结AF，作BG∥AF，若＝，BG＝6，则AF的长为（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【解答】解：∵l1∥l2∥l3，＝，∴＝＝，∴＝，∵BG∥AF，∴∠CGB＝∠CFA，∠CBG＝∠CAF，∴△CBG∽△CAF，∴＝，∴＝，∴AF＝10，故选：C．8.如图，有一块三角形余料ABC，BC＝120mm，高线AD＝90mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P、M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ＝2：1，则PQ的长为（）A．36mm B．40mm C．50mm D．120mm【答案】A【解答】解：如图，设AD交PN于点K．∵PM：PQ＝2：1，∴可以假设MP＝2kmm，PQ＝kmm．∵四边形PQNM是矩形，∴PM∥BC，∴△APM∽△ABC，∵AD⊥BC，BC∥PM，∴AD⊥PN，∴＝，∴＝，解得k＝36，∴PQ＝36mm．故选：A．9.已知：如图，在△ABC中，∠ADE＝∠C，则下列等式成立的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【答案】B【解答】解：∵在△ABC中，∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴．故选：B．10．（2022•馆陶县模拟）如图，有一块等腰三角形材料，底边BC＝80cm，高AD＝120cm，现要把它加工成正方形零件，使其一边在BC边上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长为（）A．36cm B．40cm C．48cm D．60cm【答案】C】【解答】解：设正方形的边长为xcm，则AK＝（120﹣x）cm，∵四边形HEFG是正方形，∴HG∥EF，∴△AHG∽△ABC，∴＝，即＝，解得x＝48，故选：C．11．（2022春•任城区校级期末）如图，有一块三角形余料ABC，BC＝120mm，高线AD＝90mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P、M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ＝2：1，则PQ的长为（）A．36mm B．40mm C．50mm D．120mm【答案】A【解答】解：如图，设AD交PM于点K．∵PM：PQ＝2：1，∴可以假设MP＝2kmm，PQ＝kmm．∵四边形PQNM是矩形，∴PM∥BC，∴△APM∽△ABC，∵AD⊥BC，BC∥PM，∴AD⊥PN，∴＝，∴＝，解得k＝36，∴PQ＝36mm．故选：A．12.已知：如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，点D位于边AB上，过点D作边BC的平行线交边AC于点E，过点D作边AC的平行线交边BC于点F，设AE＝x，四边形CEDF的面积为y，则y关于x的函数关系式是．（不必写定义域）【答案】y＝﹣x2+8x【解答】解：∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DECF是平行四边形，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，∵AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝102＝100，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴∠C＝90°，∴四边形DECF是矩形，∵DE∥BC，∴∠AED＝∠C＝90°，∵∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC，∴＝，∴＝，∴DE＝x，∴矩形CEDF的面积＝DE•CE，∴y＝x（6﹣x）＝﹣x2+8x，故答案为：y＝﹣x2+8x．13．（2021•镇江）如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若＝，则＝．【答案】【解答】解：∵M，N分别是DE，BC的中点，∴AM、AN分别为△ADE、△ABC的中线，∵△ADE∽△ABC，∴＝＝，∴＝（）2＝，故答案为：．14．如图，E为▱ABCD的边CD延长线上的一点，连结BE交AC于点O，交AD点F．（1）求证：△AOB∽△COE；（2）求证：BO2＝EO•FO．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴△AOB∽△COE；（2）∵△AOB∽△COE，∴，∵AD∥BC，∴△AOF∽△COB．∴，∴，即OB2＝OF•OE．15．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，DE∥AC，EF∥AB．（1）求证：△BDE∽△EFC．（2）若＝，△EFC的面积为9，求△ABC的面积．【解答】（1）证明：∵DE∥AC，∴∠BED＝∠ECF，∵EF∥AB，∴∠B＝∠FEC，∴△BDE∽△EFC；（2）∵EF∥AB，∴△ABC∽△FEC，∴，∵，∴，∴＝，又∵△EFC的面积为9，∴△ABC的面积为49．16．（2022秋•宜兴市月考）有一块三角形的余料ABC，要把它加工成矩形的零件，已知BC＝12cm，高AD＝8cm，矩形EFGH的边EF在BC边上，G、H分别在AC、AB上，设HE的长为ycm、EF的长为xcm．（1）写出y与x的函数关系式；（2）当x取多少时，EFGH是正方形．【解答】解：（1）∵BC＝12cm，高AD＝8cm，HE的长为ycm、EF的长为xcm，四边形EFGH是矩形，∴AK＝AD﹣y＝8﹣y，HG＝EF＝x，HG∥BC，∴△AHG∽△ABC，∴＝，即＝，∴y＝8﹣x；（2）由（1）可知，y与x的函数关系式为y＝8﹣x，∵四边形EFGH是正方形，∴HE＝EF，即x＝y，∴x＝8﹣x，解得x＝，答：当x＝时，四边形EFGH是正方形．17．如图，在菱形ABCD中，DE⊥BC交BC的延长线于点E，连结AE交BD于点F，交CD于点G，连结CF．（1）求证：AF＝CF；（2）求证：AF2＝EF•GF；（3）若菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，求FG的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠ABF＝∠CBF，∵BF＝BF，∴△ABF≌△CBF（SAS），∴AF＝CF．（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAD＝∠BCD，AD∥BE，∴∠DAF＝∠FEC，∵△ABF≌△CBF，∴∠BAF＝∠BCF，∴∠DAF＝∠DCF，∴∠GCF＝∠CEF，∵∠CFG＝∠EFC，∴△CFG∽△EFC