2022-2023学年福建省福州一中九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省福州一中九年级第一学期期末数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、

低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（）

2.如图，h//h//k,直线a、b与h、卜、上分别相交于点A、B、C和点。、E、F,若43

=3,DE=2,EF=4,则8C的长为（）

A.4B.5C.6D.8

3.关于龙的一元二次方程x2+2021x+2022=0的根的情况是（）

A.没有实数根B.只有一个实数根

C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根

4.如图，四边形A8CO内接于如果它的一个外角/Z）CE=63°,那么的度数

为（）

A

A.63°B.126°C.116°D.117°

5.下列说法错误的是（）

A.同时抛两枚普通正方体骰子，点数都是4的概率为当

B.不可能事件发生的概率为0

C.买一张彩票会中奖是随机事件

D.一个盒子装有3个红球和1个白球，除颜色外其它完全相同，同时摸出两个球，一定

会摸到红球

6.已知二次函数y=N-Zzx+c的图象经过A（1,几），B（3,n）,则b的值为（）

A.2B.-2C.4D.-4

7.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干

和小分支的总数是43,设每个支干长出x个小分支，则下列方程中正确的是（）

A.1+N=43B.1+X+N=43C.X+N=43D.（1+x）2=43

8.如图，正六边形螺帽的边长是2cm,这个扳手的开口〃的值应是（

A.2^/3cmB.yf2cmC.——cmD.1cm

9.已知点（xi,yi）和（%2,y2）都在反比例函数y=上的图象上，如果用〈垃，那么"与

x

”的大小关系是（）

A.yi<y2B.州=丁2C.勿＞”D.无法判断

10.已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与％轴交于（机，0）,（n,0）两点,

且过A（0,a）,B（4,b）两点.若0＜根＜〃＜3,则就的取值范围为（）

A.0<^/?<6B.0<^<8C.Q<ab<nD.0<ab<16

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.

11.平面直角坐标系中，点尸（1,-3）关于原点对称的点的坐标是.

12.如图，《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕塑，刻画的是一

名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间.掷铁饼者张开的双臂与肩宽可以近似

看像一张拉满弦的弓，弧长约为米，“弓”所在的圆的半径约1.25米，则“弓”所

O

对的圆心角度数为.

13.在一个不透明的袋子里，装有6枚白色球和若干枚黑色球，这些球除颜色外都相同.将

袋子里的球摇匀，随机摸出一枚球，记下它的颜色后再放回袋子里.不断重复这一过程,

统计发现，摸到白色球的频率稳定在02由此估计袋子里黑色球的个数为.

14.在Rt^ABC中，/C=90°,AC=2,AB=4,如果以点A为圆心，AC为半径作

那么斜边A8的中点。在04.（填“内”、"上”或者“外”）

15.如图，以矩形A2C。的顶点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB,AC于点M,N；

再分别以点M,N为圆心，大于义虹的长为半径作弧，两弧交于点P;作射线AP，交

BC于点E,连接。E,交AC于点况若AB=1,AC=2,则的长为.

16.如图，在△ABC中，AB=AC=3W5,BC=6,点尸在边AC上运动（可与点A,C重

合），将线段8尸绕点尸逆时针旋转120°,得到线段。P,连接BDCD,则CO长的

最小值为

A

三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(1)解方程：X2+6X-1=0.

(2)解方程：尤2-匚3尤.

18.如图，将矩形A8CD绕点C顺时针旋转得到矩形EECG,点8与点E对应，点E恰好

落在边上，BH_LCE交于点、H,求证：BH=CD.

19.已知关于无的方程尤2-4尤-3=0有实数根.

(1)求机的取值范围；

(2)若根为满足条件的最大整数，则方程的解为.

20.为了做好校园疫情防控工作，学校后勤每天对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，完

成1间教室的药物喷洒要5〃访?，药物喷洒时教室内空气中的药物浓度y(单位：〃zg/4)

与时间x(单位：机加)的函数关系式为y=2x(0WxW5),其图象为图中线段。4,药

物喷洒完成后>与尤成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A(m,〃).

(1)点A的坐标为;

(2)当教室空气中的药物浓度不高于12咫/加3时，对人体健康无危害.如果后勤人员依

次对一班至十班教室(共10间)进行药物喷洒消毒，当最后一间教室药物喷洒完成后，

一班是否能让人进入教室？请通过计算说明.

21.如图，在△ABC中，AC=BC>AB,ZC=36°.

(1)在线段上求作一点。，使得△ABCs△。胡；(尺规作图，保留作图痕迹，不

写作法)；

(2)在(1)的条件下，若AB=2,求8C的值.

22.为丰富“大课间”的体育锻炼，我校决定在初三学生中开设:A.实心球，B.篮球，C.tabata

训练，D仰卧起坐四种项目.为了解学生对四种项目的喜欢情况，随机抽取了部分学生

进行调查，并将调查结果绘制成如图①②的统计图.请结合图中的信息解答下列问题：

(1)在这项调查中，共调查了名学生,2项对应的扇形圆心角的度数是;

(2)若喜欢“加加口训练”且基础较好的学生共有5名，其中有2名男生，3名女生，

现从这5名学生中任意抽取2名学生领操.请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到

学生是一男一女的概率.

23.如图，PA切。。于点A,PC交O。于C,。两点，且与直径交于点Q.

(1)求证：AQ-BQ=CQ-DQ,

（2）若CQ=2,QD=3,BQ=1.5,求线段P。的长.

24.如图①，在正方形A3CZ)中，点尸为线段上的一个动点，连接AP,将沿直

线AP翻折得到△AEP,点。是的中点，连接8。交AE于点凡若BQ//PE.

(1)求证：△ABFs^BQC；

9

(2)求证：BF=-FQ-,

3

(3)如图②，连接DE交8。于点G,连接EC,GC,若/。=6,求AGBC的面积.

25.已知抛物线y=N--3(相为常数).

(1)求抛物线的顶点坐标(用含机的代数式表示)；

(2)当〃z'l时，求抛物线顶点到彳轴的最小距离；

(3)当m=0时，点A,2为该抛物线上的两点，顶点为直线4。的解析式为yi=Mx+6i,

直线2。的解析式为丫2=依+历，若防左2=-求证：直线AB过定点.

参考答案

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、

低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（）

【分析】一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么

这个图形就叫做中心对称图形.根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

解：选项A、C、。不能找到这样的一个点，使这些图形绕某一点旋转180。后与原来的

图形重合，所以它们不是中心对称图形；

选项B能找到这样的一个点，使这个图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所

以它是中心对称图形；

故选：B.

【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180

度后与原图重合.

2.如图，h//h//h,直线a、b与11、12、/3分别相交于点A、B、C和点。、E、F,若AB

=3,DE=2,EF=4,则8C的长为（

A.4B.5C.6D.8

【分析】根据平行线分线段成比例定理得到黑=空，代入数据即可得到结果.

BCEF

解：'：h//h//h,

.AB=DE

U：AB=3,DE=2,EF=4,

•.•3_2,

BC4

：.BC=6.

故选：C.

【点评】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理

是解题的关键.

3.关于尤的一元二次方程炉+202£+2022=0的根的情况是（）

A.没有实数根B.只有一个实数根

C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根

【分析】求出方程根的判别式的值，判断方程解的情况即可.

解：关于x的一元二次方程x2+2021x+2022=0,

\'b2-4ac

=20212-4X1X2022

=202P-4X（2021+1）

=20212-4X2021-4

=2021X（2021-4）-4

=2021X2017-4>0,

方程有两个不相等的实数根.

故选：D.

【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程解的情况之

间的关系是解本题的关键.

4.如图，四边形ABC。内接于O。，如果它的一个外角NOCE=63°,那么的度数

为（）

A.63°B.126°C.116°D.117°

【分析】根据邻补角的概念求出/8C。，根据圆内接四边形的性质求出/A,根据圆周角

定理解答即可.

解：VZDC£=63°,

AZBC£>=180°-/DCE=117°,

:四边形ABC。内接于。0,

AZA=180°-ZBC£>=63°,

由圆周角定理，得NBOZ）=2/A=126°,

故选：B.

【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互

补是解题的关键.

5.下列说法错误的是（）

A.同时抛两枚普通正方体骰子，点数都是4的概率为£

B.不可能事件发生的概率为0

C.买一张彩票会中奖是随机事件

D.一个盒子装有3个红球和1个白球，除颜色外其它完全相同，同时摸出两个球，一定

会摸到红球

【分析】根据列表法与树状图法，概率的意义，随机事件，必然事件，不可能事件的特

点逐一判断即可.

解：A.同时抛两枚普通正方体骰子，点数都是4的概率为士，故A符合题意，

B.不可能事件发生的概率为0,故8不符合题意，

C.买一张彩票会中奖是随机事件，故C不符合题意，

D.一个盒子装有3个红球和1个白球，除颜色外其它完全相同，同时摸出两个球，一定

会摸到红球，故。不符合题意，

故选：A.

【点评】本题考查了列表法与树状图法，概率的意义，随机事件，熟练掌握列表法与树

状图法求概率是解题的关键.

6.已知二次函数-bx+c的图象经过A（1,n）,B（3,几），则匕的值为（）

A.2B.-2C.4D.-4

【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=2,即-年=2,解得6=4.

解：•..抛物线经过点A（1,n）和点8（3,n）,

...抛物线的对称轴为直线苫=号=2,

即-3=2,

2

解得6=4,

故选：C.

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键.

7.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干

和小分支的总数是43,设每个支干长出尤个小分支，则下列方程中正确的是（）

A.l+x2—43B.1+X+N=43C.X+X2—43D.（1+x）2=43

【分析】由题意设每个支干长出尤个小分支，因为主干长出x个（同样数目）支干，则

又长出N个小分支，则共有N+X+1个分支，即可列方程.

解：设每个支干长出X个小分支，

根据题意列方程得：N+X+1=43.

故选：B.

【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，要根据题意分别表示主干、支干、

小分支的数目，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键.

8.如图，正六边形螺帽的边长是2CM,这个扳手的开口。的值应是（）

A.2\/~2cmB.yj2cmC.——cmD.1cm

【分析】根据正六边形的内角度数可得出/1=30。，再通过解直角三角形即可得出aa

的值，进而可求出。的值，此题得解.

解：•..正六边形的任一内角为120。，

.-.Zl=30°（如图），

-^-a=2cosZl=y/"2，

：・a=2舱.

故选：A.

【点评】本题考查了正多边形以及解直角三角形，牢记正多边形的内角度数是解题的关

键.

9.已知点（xi,yi）和（尬，”）都在反比例函数■的图象上，如果xi〈X2,那么yi与

x

丁2的大小关系是（）

A.yi<y2B.yi=y2C.yi>y2D.无法判断

【分析】分工1,X2同号和异号两种情况讨论.

解：•・•反比例函数y=工中k=l,

x

・•・图象在第一、三象限，在每个象限y随x的增大而减小，

当X2同号，即0Vxi〈X2或阳〈垃<0,%>丁2,

当XI,X2异号时，即x2>0>Xl,yi<j2；

故选：D.

【点评】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利

用反比例函数的性质解答.

10.已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与X轴交于（机，0）,（九，0）两点,

且过A（0,a）,B（4,b）两点.若0<根<〃<3,则必的取值范围为（）

A.0<ab<6B.0<ab<SC.0<ab<12D.0<ab<16

【分析】先表示出6=机〃，a=(3-机)(3-〃)，进而得(4-M(4-n)=

(4m-m2)(4n-n2)=[-(m-2)2+4][-(w-2)2+4],再判断出0<-(机-2)2+4

W4,0<-(〃-2)2+4W4,即可得出结论.

解：由已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与无轴交于两点(m,0),(n,

0),

所以可设交点式>=(x-m)(x-n),

分别代入(。，b),(4,a),

.".ab—mn(4-机)(4-w)=(4机-m2)(4〃-层)=[-(m-2)2+4][-(n-2)2+4],

"."0<m<n<3,

.\0<-(加-2)2+4<4,0<-(n-2)2+4<4,

m<n,

'.ab不能取16,

,'.0<ab<16.

故选：D.

【点评】此题主要考查了二次函数与x轴的交点，完全平方的非负性，判断出。=6以及

抛物线与x轴只有一个交点时，油最大这个分界点是解本题的关键.

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.

11.平面直角坐标系中，点尸(1,-3)关于原点对称的点的坐标是(-1,3).

【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号

相反可直接得到答案.

解：点尸(1,-3)关于原点对称的点的坐标是(-1,3),

故答案为：(-1,3).

【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规

律.

12.如图，《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕塑，刻画的是一

名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间.掷铁饼者张开的双臂与肩宽可以近似

看像一张拉满弦的弓，弧长约为米，“弓”所在的圆的半径约1.25米，则“弓”所

对的圆心角度数为90°

【分析】由弧长公式进行变形计算即可.

解：设“弓”所对的圆心角度数为/,

：弧长,=嚼

5

，『典=180乂百兀=9。,

九RHX1.25

即“弓”所对的圆心角度数为90。，

故答案为：90°.

【点评】本题考查了弧长公式，熟记弧长公式是解题的关键.

13.在一个不透明的袋子里，装有6枚白色球和若干枚黑色球，这些球除颜色外都相同.将

袋子里的球摇匀，随机摸出一枚球，记下它的颜色后再放回袋子里.不断重复这一过程,

统计发现，摸到白色球的频率稳定在02由此估计袋子里黑色球的个数为24.

【分析】设袋子里黑色棋子的个数为x个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得

出答案.

解：设袋子里黑色棋子的个数为尤个，根据题意得：

解得：x=24,

经检验：x=24是分式方程的解，

估计袋子里黑色棋子的个数为24个.

故答案为:24.

【点评】此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有"种可能，而

且这些事件的可能性相同，其中事件A出现机种结果，那么事件A的概率尸（A）=㈣是

n

解题关键.

14.在Rt^ABC中，NC=90°,AC=2,AB=4,如果以点A为圆心，AC为半径作04

那么斜边的中点D在OA上.（填“内”、"上”或者“外”）

【分析】先根据点D是斜边的中点得到AD的长，然后把A。的长与半径比较确定点D

的位置.

解：VZC=90°,AC=2,AB=4,

•'•^=_^AB=~X4=2,

VOA半径为2,

...斜边AB的中点。在OA上，

故答案是：上.

【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，用勾股定理可以求出直角三角形斜边的长，

根据点。是A8的中点得到的长，然后把的长与半径比较可以确定点D的位置.

15.如图，以矩形的顶点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交A8,AC于点M,N；

再分别以点M,N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P;作射线AP，交

BC于点、E,连接。E,交AC于点况若AB=1,AC=2,则。F的长为返I.

—5―

【分析】连接8。交AC于。点，如图，根据矩形的性质得到AO〃8C,AD=BC,CD

=AB=1,0A=02=0C=LC=1,ZABC=90°,先证明△AOB为等边三角形得到/

2

BAC=60°,再利用基本作图得”平分NBAC,所以N24E=30°,接着计算出BC=M，

的=返，所以CE=&5_,近=叵，然后利用平行线分线段成比例定理得到坐

333EF2

最后利用比例的性质可求出DF的长.

解：连接2。交AC于。点，如图，

•••四边形ABCD为矩形，

：.AD//BC,AD=BC,CD=AB=1,OA=OB=OC=—AC=1,ZABC=90°,

2

：.AB=OA=OB,

...△492为等边三角形，

：.ZBAC=6Q°,

由作法得AP平分NBAC,

/.ZBAE=—ZBAC=30°,

2

在RtZkABC中，BC=^22-12=V3>

在RtaABE中，＜2=返,

33

•••但丘喙=亨，

VcD2-tCE2=^l2+(-^-?2=^|^

在RtZXCDE中，DE

'JCE//AD,

V3

,DFAD日nDF受「3

・・——=——，即——=入/q=—，

EFCEEF-2

_3_

/.DF=—DE=—X返1=返£.

5535

故答案为：叵.

5

【点评】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键.也考

查了角平分线的性质和矩形的性质.

16.如图，在△A8C中，AB=AC=3W5，BC=6,点P在边AC上运动（可与点A,C重

合），将线段8尸绕点尸逆时针旋转120°,得到线段。P,连接8。，CD,则CO长的

最小值为—匈亘

A

【分析】以BC为边构建出和△8PO相似的三角形，通过将。边转化为其他边来求值.

解：如图所示，以8C为底边向上作等腰△BQC,使NBQC=120。，连接P。.

由题意可得△BQC和均为顶角为120°的等腰三角形,

可得翳嗡』QBC=/PBD=3。。，

：.ZQBC-ZQBD=ZPBD-ZQBD,

：.ZPBQ=ZDBC,

：.APBQsADBC,

.PQ_BQ_1

,,记而否，

...当PQLAC时，有PQ最小，即此时CO最小，

如图所示，设0PLAC,延长A0与BC交K,此时。P为。尸的最小值,

可得AK_LBC,

「△BQC中，ZBQC=nO°,BC=6,

：.BK=3,ZQBK=30°,

邱___口

・-・QcK—K3，

<3

VAB=AC=3A/13，KC=3,

；•&K==6通,

：.AQ=AK-QK=5y/3,

：NAPQ=NAKC=90°,ZQAP'^ZCAK,

：.^AQP'^^ACK,

.AQ=QP'

"AC"KC'

.5愿_QP'

..渥F，

...QP'_5V,

13_

'.CD=43QP'=15*.

【点评】本题考查的是瓜豆原理的知识点，重难点在于构造相似三角形的手拉手模型，

属于难题.

三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(1)解方程：x2+6x-1=0.

(2)解方程：x2-l=3x.

【分析】(1)利用配方法得到(x+3)2=10,然后利用直接开平方法解方程；

(2)先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解.

解：(1)N+6x-1=0,

N+6X=1,

x2+6x+9=10,

(x+3)2=10,

X+3=±A/10»

所以％1=-3+。百&X2=-3-VTo»

(2)x2-l=3x,

x2-3x-1=0,

a=l,b=-3,c=-1,

A=(-3)2-4XlX(-1)=13>0,

2

r--b±7b-4ac-3±^/13

2a2X1

所以x\=—~~"，X2=I3.

22

【点评】本题考查了解一元二次方程-公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一

般步骤是解决问题的关键.也考查了配方法.

18.如图，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转得到矩形PECG,点B与点E对应，点£恰好

落在边上，BH_LCE交于点、H,求证：BH=CD.

【分析】由平行线的性质可得再根据“A4S”可得进

而可得结论.

【解答】证明：•••四边形ABC。是矩形，

：.AD//BC,AB=CD,

：.NDEC=ZBCH,

:/£）=90°,BHLAC,

：.ZD=ZBHC,

由旋转得，CE=CB,

在AEDC和△CHB中，

'/DEC=NHCB

<ZD=ZBHC，

CE=CB

：./\EDC^/\CHB（AAS）,

：.BH=CD.

【点评】本题考查旋转的性质，根据“44S”得到是解题关键.

19.已知关于x的方程N-4x+/77-3=0有实数根.

（1）求"Z的取值范围；

（2）若加为满足条件的最大整数，则方程的解为为=，=2・

【分析】（1）计算根的判别式，由题意得关于根的不等式，求解即可；

（2）根据机取最大整数，求得m=l,解方程即可得到结论.

解：（1）..•关于x的方程尤2-4x+"-3=0有实数根.

:•\=(-4)2-4(m-3)

=-4加+2820,

解得：mW7.

（2）.・•加取最大整数，

・••机=7,

原方程为N-4X+4=0,

解得：X1=X2=2,

故答案为：X1=X2=2.

【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握解一元二次

方程的方法是解题的关键.

20.为了做好校园疫情防控工作，学校后勤每天对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，完

成1间教室的药物喷洒要5加几，药物喷洒时教室内空气中的药物浓度y（单位：mg/m3）

与时间x（单位：min）的函数关系式为y=2x（0W九W5）,其图象为图中线段OA,药

物喷洒完成后）与1成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A（m,H）.

（1）点A的坐标为（5,10）；

（2）当教室空气中的药物浓度不高于1.2mg/4时，对人体健康无危害.如果后勤人员依

次对一班至十班教室（共10间）进行药物喷洒消毒，当最后一间教室药物喷洒完成后，

一班是否能让人进入教室？请通过计算说明.

【分析】（1）设完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要x加〃和丁加〃，根据题意列

方程组求解即可；

（2）先根据一间教室的药物喷洒时间为5mm和点A在y=2x上求出点A的坐标（5,10）,

则反比例函数表达式为丫=毁，当尤=50时，尸1〈⑵即可求解.

X

解：（1）一间教室的药物喷洒时间为5加〃,

当％=5时，y=2x=10,故点A（5,10）；

故答案为：（5,10）；

（2）设反比例函数表达式为：y=K,将点A的坐标代入上式并解得：上=50,

X

故反比例函数表达式为y=—,

x

:一间教室的药物喷洒时间为5min,

，10个房间需要50〃加，

当尤=50时，>==^-=1<1.2,

50

故一班学生能安全进入教室.

【点评】本题主要考查反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变

量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它

们的关系式.

21.如图，在△ABC中，AC^BOAB,NC=36°.

（1）在线段8C上求作一点使得AABCsADBA；（尺规作图，保留作图痕迹，不

写作法）；

（2）在（1）的条件下，若A8=2,求8c的值.

【分析】（1）以A为圆心，43为半径画弧交于。即可；

（2）由△ABCs△DBA,得ND48=NC=36°,则AO=CO=AB=2,再根据aABCs

△DBA,得当康，代入可得3。的方程，从而得出答案.

ABBC

解：（1）如图所示:

D

/B

(2)VAABC^/\DBA,

.•./D4B=NC=36°,

'：AC=BC,

：.ZCAB=12°,

：.ZCAD=ZDCA=36°,

:.AD=CD,

又,：/BDA=4CAB=72°,

；.CD=AD=AB=2

'：△ABCs△OBA,

.DBAB

"AB'BC

,DB_2

.."r=DB+2，

：.DB2+2DB-4=0,

解得：。8=返-1(负值舍去)，

：.BC=BD+CD=A+L

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，一元二次方程是解题，等腰三角形

的性质与判定等知识，准确画出图形是解题的关键.

22.为丰富“大课间”的体育锻炼，我校决定在初三学生中开设:A.实心球,B.篮球，C.tabata

训练，D仰卧起坐四种项目.为了解学生对四种项目的喜欢情况，随机抽取了部分学生

进行调查，并将调查结果绘制成如图①②的统计图.请结合图中的信息解答下列问题：

(1)在这项调查中，共调查了150名学生,B项对应的扇形圆心角的度数是

108°；

(2)若喜欢“加施加训练”且基础较好的学生共有5名，其中有2名男生，3名女生,

现从这5名学生中任意抽取2名学生领操.请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到

学生是一男一女的概率.

【分析】(1)由A项的人数除以所占百分比求出共调查的学生人数，即可解决问题；

(2)画树状图，共有20种等可能的结果，其中刚好抽到学生是一男一女的结果有12种,

再由概率公式求解即可.

解：(1)在这项调查中，共调查的学生人数为：15+10%=150(名)，

则B项的人数为：150-15-60-30=45(名),

.♦.8项对应的扇形圆心角的度数为：360°X伐=108°,

150

故答案为：150,108°；

(2)画树状图如下：

开始

男男女女女

男女女女男女女女男男女女男男女女男男女女

共有20种等可能的结果，其中刚好抽到学生是一男一女的结果有12种，

•••刚好抽到学生是一男一女的概率为圣=?.

【点评】此题考查的是用树状图法求概率以及扇形统计图和条形统计图.正确画出树状

图是解题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

23.如图，PA切。。于点A,PC交。。于C,。两点，且与直径AB交于点Q.

(1)求证：

(2)若CQ=2,QD=3,BQ=1.5,求线段尸。的长.

B

【分析】（1）证明可得黑=黑，从而

CQBQ

（2）连接引入AC,由（1）^AQ-BQ=CQ-DQ,有&。=空典=学机=4,证明△

BQ1.5

APpn

ADP^ACAP,可得色二=皿，AP2=PD'CP,即得AP2=PD,（PD+5）,在RtAAPQ

CPAP

中，AP2=(PD+3)2-42,故(PD+5)=(PD+3)2-42,即可解得PD=7.

【解答】（1）证明：：BD=BD，

.,.ZQAD=ZQCB,

'：ZBQC=ZAQD,

：./\AQD^/\CQB,

.AQ=DQ

"CQ^W

：.AQ-BQ^CQ-DQ；

(2)解：连接BD、AC,如图:

由(1)^AQ-BQ^CQ-DQ,

，史曙书一

・.・A3为OO直径,

AZADB=90°,

AZABD+ZDAB=90°,

・・・P4切OO于点A,

：.ZBAP=90°,即NOAP+N0AB=9O°,

：.ZDAP=ZABD,

-AD=AD，

ZABD=ZACD,

：.ZDAP=ZACD,

•：4P=/P,

：.AADP^ACAP,

.AP=PD

,-CP-AP，

：.AP2=PD'CP,

J.AP^PD'CCP+CD)=PD，(PD+5),

在Rt^APQ中，AP2+AQ2=PQ2,

；.AP2=(尸。+3)2-42,

：.PD-(P£)+5)=(P£)+3)2-42,

解得尸。=7,

答：线段尸。的长为7.

【点评】本题考查圆中的相似三角形性质与判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定

定理与性质定理，熟练应用相似三角形对应边成比例解决问题.

24.如图①，在正方形ABC。中，点P为线段BC上的一个动点，连接AP,将AAB尸沿直

线A尸翻折得到△AEP,点。是C。的中点，连接8。交AE于点孔若BQ〃PE.

(1)求证：AABFs△BQC；

9

(2)求证：BF==FQ；

3

(3)如图②，连接。E交8。于点G,连接EC,GC,若尸。=6,求AGBC的面积.

图⑴图⑵

【分析】(1)根据两角相等的两个三角形相似证明即可；

(2)设48=20=8=40=2°,利用相似三角形的性质求出BF,FQ(用。表示)，

可得结论；

(3)建立平面直角坐标系，求出直线BQ,DE的解析式，构建方程组确定交点G的坐

标，可得结论.

【解答】（1）证明：如图①中,

:四边形ABCD是正方形，

AZABC=ZC=90°,AB//CD,

：.ZABF=ZCQB,

由翻折的性质可知，/E=NABC=90°

,."PE//BQ,

A90°,

(2)证明：如图①中，设A8=8C=C£»=AO=2a,

:。是。的中点，

/.CQ=QD=a,

VZC=90°,

•••BQ=VCQ2+BC2=Va2+(2a)2=如。,

△AFBsLBCQ,

BF_AB

CQBQ'

BF.2a

aV5a'

=也

BF二

5

.B