北师大版八年级数学上册全册教案

第七章平行线的证明

1.为什么要证明

一、学生知识状况分析

学生的技能基础：在七年级和八年级上学生学习了很多与几何

相关的知识，为今天的进一步的学习作好了知识储备，同时.，学生也经历

了很多验证结论合理性的过程，有了初步的逻辑推理思维，合情推理能力

得到了很大的提高，为今天系统的培养学生严谨的逻辑推理能力打下了良

好的基础.

学生活动经验基础：在以往的几何学习中，学生已经参与了对几

何图形的观察、比较、动手操作、猜测、归纳等活动，对今天本节课的分

组讨论、自主探究等活动有很大的帮助.

二、教学任务分析

学生的直观能力是数学教学中要培养的一个方面，但如果学生仅有对

图形的直观感受而不能进行推理、论证，有时是会产生错误的结论，本课

时安排《你能肯定吗》的教学是让学生的直观感受与实际结果之间产生思

维上的碰撞，从而使学生对原有的直观感觉产生怀疑，从而确立对某一事

物进行合理论证的必要性。因此，本课时的教学目标是：

L运用实验验证、举反例验证、推理论证等方法来验证某些问题的结

论正确与否.

2.经历观察、验证、归纳等过程，使学生对由这些方法所得到的结论

产生怀疑，以此激发学生的好奇心，从而认识证明的必要性，培养学生的

推理意识.

3.了解检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理论证

三、教学过程分析

本节课的教学思路为：验证活动（1）一一猜想并验证活动（2）——

猜想并验证活动（3）一—经验总结一一学生练习一一课堂小结一一巩固

练习

第一环节：验证活动（1）

活动内容：

某学习小组发现，当n=0,1,2,3时，代数式/-n+ll的值都是

质数，于是得到结论：对于所有自然数n,r?-n+ll的值都是质数.你认

为呢？与同伴交流.

参考答案：列表归纳为

n01234567891011・・・

2

n-

11111317233141536783101121

n+ll

是否为

是是是是是是是旦是是是是不是

质数

活动目的:

对现在结论进行验证，让学生感受到知识有时具有一定的迷惑性

（欺骗性），从而对不完全归纳的合理性产生怀疑，为下一步的学习提供

必要的精神准备.

注意事项：

学生通过列表归纳，根据自己以往的经验判断，在n=10以前都一直

认为｛-n+ll是一个质数，但当n=10时，找到了一个反例，进而发现不

能根据少数几个现象轻易肯定某个数学结论的正确性.

第二环节：猜想并验证活动（2）

活动内容:

如图，假如用一根比地球的赤道长1米的铁丝将地球赤道围起

来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大（把地球看成球形）？能放

进一个红枣吗？能放进一个拳头吗？

参考答案：设赤道周长为C,铁丝与地球赤道之间的间隙为:

C+1_C

—w0.16(n)

2«2x

它们的间隙不仅能放进一个红枣，而且也能放进一

个拳头.

活动目的：

通过理性的计算，验证了很难想像到的结论，让学生产生思维上的

碰撞，进而对自己的直观感觉产生怀疑，再次为论证的合理性提供素材.

注意事项：

要充分让学生发表自己的见解，首先让学生对自己的结论确信无

疑，再进一步计算，结果与学生的感觉产生矛盾，切忌直接进行计算，把

结论告诉学生，这样就达不到预想的要求，不能让学生留下深刻的印象.

第三环节：猜想并验证活动（3）

活动内容：

如图，四边形ABCD四边的中点E、F、G、H,度量四边形EFGH的

边和角，你能发现什么结论？改变四边形ABCD的形状，还能得到类似的

结论吗？

参考答案：连接AC.

•••E、F、G、H分别是四边形ABCD四边中点,

.•.EF〃AC,EF=AC；GH/7AC,GH=AC；

.•.EF平行且等于GH,

...四边形EFHG为平行四边形.

活动目的：

通过对图形的直观感受得出结论，但要使学生清楚地知道对儿何结

论的验证，通常是用严谨的逻辑推理来论述.

注意事项：

让学生大胆地进行预测，但要让学生说清理由，让学生了解几何

证明的必要性.

第四环节：归纳与总结

活动内容：

①通过以上三个数学活动，使学生对每一个问题的结论的正确性

有了怀疑，从而知道了由观察、猜想等渠道得到的结论还必须经过有效的

证明才能对其进行肯定.也即：要判断一个数学结论是正确，仅观察、猜

想、实验还不够，必须经过一步一步，有根有据的推理.

②举例说明“推理意识”与推理方法.

活动目的：

使学生理解仅有对图形的直观感受是不够的，从而帮助学生建立推

理意识.

注意事项：

让学生用自己的语言进行叙述，培养学生的表达能力.

第五环节：反馈练习

活动内容：1.如图中两条线段a与6的长度相等吗？请你先观察，再

度量一下.

答案：a与8的长度相等.

b

2.如图中三条线段a、b、c,哪一条线段与线段d在同一直线上？请你先观

察，再用三角尺验证一下.

答案：线段6与线段d在同一直线上.

3.当〃为正整数时，#+3〃+1的值一定是质数吗？

答案：经验证：当〃为正整数时，〃2+3〃+1的值一定是质数.

第六环节：课堂小结

活动内容：

今天这节课你学到了什么知识？

参考答案：①要说明一个数学结论是否正确，无论验证多少个特殊的例

子，也无法保证其正确性.

②要确定一个数学结论的正确性，必须进行一步一步、有根有

据的推理.

活动目的:

通过学生的总结，使学生对证明的必要性有一个清楚的认识，数学

杜绝随意性，数学是严密的科学.

注意事项：

通过前三个例题的感受以及反馈练习，学生都清楚地知道推理、论

证的必要性，了解了数学不是一种直观感受，而是一种严密的科学.

第七环节巩固练习

课本第217页习题6.1第2,3题.

四、教学反思

2.定义与命题（第1课时）

总体说明

在了解推理的重要性以后，从本节课开始的连续两节课将向学生简单

介绍定义、命题、真命题、假命题、公理、定理等一些术语和名词，为后

面的学习打好基础，作好铺垫.

一、学生知识状况分析

学生技能基础：学生在以前的学习中接触了不少的几何知识，对很多

名词、概念有了很深刻的认识，本节课将对学生传授定义与命题的基本含

义，学生对此已经有比较多的经验和基础.

活动经验基础：在前面的学习中，学生对本节课将要采取的讨论、举

例说明等学习方式有了比较深刻的认识，为今天的学习作了必要的铺垫.

二、教学任务分析

在几何中，有许许多多的定义、定理、公理等概念，还有一些真真假

假的命题需要学生去辨别、去认识，本节课安排《定义与证明》旨在让学

生对定义、定理、公理等概念有一个清楚的认识和了解，为此，本节课的

教学目标是：

1.了解定义与命题的含义，会区分某些语句是不是命题.

2.用比较数学化的观点来审视生活中或数学学习中遇到的语句特

征.

3.通过对某些语句特征的判断学会严谨的思考习惯.

三、教学过程分析

本节课的设计思路为：情景引入一一命题含义（情景引入）一一课

堂练习一一课堂小结一一课后练习

第一环节：情景引入（由学生表演）

活动内容：

小亮和小刚正在津津有味地阅读《我们爱科学》.

小亮说：...

小刚说：“是的，现在因特网广泛运用于我们的生活中，给我们带来

了方便，但……”

小亮说：“……”

小刚说：“……”

小亮说：“哈！，这个黑客终于被逮住了.”……

坐在旁边的两个人一边听着他们的谈话，一边也在悄悄议论着：

一人说：“这黑客是个小偷吧？”

另一人说：“可能是喜欢穿黑衣服的贼.”……

一人说：“那因特网肯定是一张很大的网.”

另一人说：“估计可能是英国造的特殊的网.”……（表演结束）

教师提出问题：在这个小品中，你得到什么启示？

（人与人之间的交流必须在对某些名称和术语有共同认识的情况下才

能进行.为此，我们需要给出它们的定义.）

这家等*个/可能是4址

小病七？**长展的残.

①关于“黑客”对话的片断来引入生活中交流时必须对某些名称和术

语有共同的认识才能进行；

②对定义含义的解释；

③举例说明生活中和数学学习中所熟知的定义（学生举例，看哪个小组

的举例又多又好）；

活动目的：

让学生通过对一个学生比较感兴趣的名词：“黑客”、“因特

网”的不同理解，从而使学生了解定义的含义.

教学效果：

很多学生对黑客的概念是很熟悉的，而小品中出现的黑客的定义

与自己所熟知的黑客的概念完全不同，由此产生了对定义的兴趣.

第二环节：命题含义（情景引入）

活动内容：

①师：如果B处水流受到污染，那么__一处水流便受到污染；

如果C处水流受到污染，那么__处水流便受到污染；

如果D处水流受到污染，那么一处水流便受到污染；

②学生自编自练：如果__一处水流受到污染，那么___一处

水流便受到污染.

(［生甲］如果8处工厂排放污水，那么从B、C、〃处便会受到污染.

［生乙］如果8处工厂排放污水，那么£、F、G处也会受到污染的.

［生丙］如果。处受到污染，那么从B、。处便受到污染.

［生丁］如果C处受到污染，那么〃处也会受到污染的.

［生戊1如果《处受到污染，那么4、B处便会受到污染.

［生己］如果H处受到污染，我认为是力处的那个工厂或6处的那个工厂

排放了污水.因为A处工厂的水向下游排放，6处工厂的污水也向下游排放.

老师归纳：同学们在假设的前提条件下，对某一处受到污染作出了判断.

像这样，对事情作出判断的句子，就叫做命题.

即：命题是判断一件事情的句子.如：

熊猫没有翅膀.

对顶角相等.

大家能举出这样的例子吗？

［生甲］两直线平行，内错角相等.

［生乙］无论〃为任意的自然数，式子的值都是质数.

［生丙］内错角相等.

［生丁］任意一个三角形都有一个直角.

［生戊］如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相

平行.

［生己］全等三角形的对应角相等.

［师］很好.大家举出许多例子，说明命题就是肯定一个事物是什么

或者不是什么，不能同时既否定又肯定，如：

你喜欢数学吗？

作线段AB=a.

平行用符号“〃”表示.

这些句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它们就不是命题.

一般情况下：疑问句不是命题.图形的作法不是命题.)

活动目的：

通过对水流的污染问题引入命题的概念，使学生了解命题的含

义，会判断某些语句是不是命题.

教学效果：

命题的判断只有两种形式，要么肯定，要么否定。作判断时，必

须泾渭分明，不能模棱两可；二是命题的句子只能是完整的句子，对一件

事情的前因后果应叙述完整。从语法上讲，它应是陈述句，不能是祈使

句、疑问句或感叹句.

第三环节：反馈练习

活动内容：

1.你能列举出一些命题吗？

答案：能•举例略.

2.举出一些不是命题的语句.

答案：如：①画线段力用3cm.

②两条直线相交，有几个交点？

③等于同一个角的两个角相等吗？

④在射线0A上，任取两点B、C.等等.

活动目的：

训练与反馈

教学效果:

一般都能正确解答。

第四环节：课堂小结

活动内容：

①定义的含义：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，就是它

们的定义；

②命题的含义：判断一件事情的句子，叫做命题，如果一个句子没有对某

一件事情作出任何判断，那么它就不是命题.

活动目的：

通过课后的总结，使学生对定义、命题等概念有更清楚的认

识，让学生在头脑中对本节课进行系统的归纳与整理.

教学效果：

学生在有了前面对定义、特别是命题概念的学习后，能了解命题

的结构，以及哪些是命题，使学生对命题的学习有了清楚的认识。

第五环节课后练习

学习小组搜集八年级数学课本中的新学的部分定义、命题，看谁

找得多.

四、教学反思

2.定义与命题（第2课时）

一、学生知识状况分析

学生技能基础：学习本节之前，学生已经对命题的含义有所了

解，并且已经学习过一些公理和定理，为公理化思想的培养作好了充分准

备.

活动经验基础：有了上一节的活动基础，学生对本节课主要采取

学生分组交流、讨论、举例说明的学习方式有比较好的活动经验.

二、教学任务分析

在上一节课的学习中，学生对命题的概念有了清楚的认识，但学生对

于命题的构造，什么是真命题，什么是假命题还不甚了解，本节课旨在让

学生对真假命题有一个清楚的认识，从而进一步了解定理、公理的概念，

为此，本节课的教学目标是：

1.了解命题中的真命题、假命题、定理的含义；

2.解命题的构成，能区分命题中的条件和结论。

3.经历实际情境，初步体会公理化思想和方法，了解本教材所采用的

公理.

4.培养学生的语言表达能力。

三、教学过程分析

本节课的设计分为五个环节：回顾引入一一探索命题的结构一一思

考探讨一一读一读一一课堂反思与小结.

第一环节：回顾引入

活动内容：

①什么叫做定义？举例说明.②什么叫命题？举例说明.

活动目的：回顾上节知识，为本节课的展开打好基础.

教学效果：

学生举手发言，提问个别学生.

第二环节：探索命题的结构

活动内容：

①探讨命题的结构特征

观察下列命题，发现它们的结构有什么共同特征？

(1)如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等.

(2)如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相

等.

(3)如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平

行四边形.

(4)如果一个四边的对角线相等，那么这个四边形是矩形.

(5)如果一个四边形的两条对角线互相垂直，那么这个四边形是菱

形.

②总结命题的结构特征

(1)上述命题都是“如果……，那么……”的形式.

(2)“如果……”是已知的事项，“那么……”是由已知事项推断

出的结论.

(3)一般地命题都可以写成“如果……，那么……”的形式，其中

“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的结论，每个命题都有条件

和结论.

活动目的：对命题的结构进行分析，让学生会判断一个命题的条件和结

论.

教学效果：

分小组交流讨论，教师引导进行归纳.

应告诫学生当一个命题改写成“如果……那么……”的形式时，

要注意改写时不要机械地添上“如果”和“那么”，应适当地补充一些修

饰语句，使改写后的语句通顺，完整。

第三环节：思考探讨

活动内容:

①找出下述命题中的条件和结论，指出它们哪些是正确的命题？哪些

是不正确的命题？你又是如何知道的呢？

(1)如果两个角相等，那么它们是对顶角；

(2)如果a>6,b>c,那么a=c；

(3)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；

(4)菱形的四条边都相等；

(5)全等三角形的面积相等.

②探究真假命题的验证

说明一个命题是假命题，通常举出一个反例就可以了，使之具备命题

的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例，但是要说明一个命题

是正确的无论验证多少个特例，也无法保证命题的正确性.如何验证命题

的正确性呢？

结论：正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题.

活动目的：使学生了解命题有真假之分，并且知道怎样去判断真假命题。

教学效果：

分组交流、讨论、教师引导使得学生形成共识.

在对前面5个命题的真伪进行判断的基础上，大多数学生已经对

命题的真假性有了初步的判断，但有部分学生误认为假命题不是命题.

第四环节：读一读

活动内容：

①介绍《几何原本》、公理、定理等知识.

在数学发展史上，数学家们也遇到过类似的问题.公元前3世纪，人

们已经积累了大量知识，在此基础上，古希腊数学家欧几里德(公元前

300前后)编写了一本书，书名叫《原本》，为了说明每一结论的正确

性，他在编写这本书时进行了大胆创新，挑选了一部分数学名词和一部分

公认的真命题作为证实其它命题的起始依据，其中的数学名词称为原名，

公认的真命题称为公理，除了公理外，其他真命题的正确性都通过推理的

方法证实，推理的过程称为证明，经过证明的真命题称为定理，而证明所

需要的定义、公理和其他定理都编写在要证明的这个定理的前面.

《原本》问世之前，世界上还没有一本数学书籍象《原本》这样编

排，因此，《原本》是一部具有划时代意义的著作.

②公理、定理、概念和证明的关系.

③介绍本教材的公理.

1.两点确定一条直线。

2.两点之间线段最短。

3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直

线平行.

5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.

6.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等.

7.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等.

8.三边对应相等的两个三角形全等.

此八条基本事实前面已详细探索过，不必验证它们的正确性，可以直

接用来证实其它命题的正确性，另外一条我们将在以后认识它。此外等式

和不等式的有关性质也可看作公理.比如：如果a=b,b=c,那么a=c.

④读一读《原本与几何原本》

活动目的：培养学生公理化思想和方法，养成科学、严谨思维习惯.

教学效果：

采取教师讲解与学生习读相结合的方式.

第五环节：课堂反思与小结

教学效果：

学生能自行归纳本节课的知识，形成了较为清晰的知识脉络。

课后练习：课本第227页习题6.3第1、2、3题

四、教学反思

3.平行线的判定

一、学生知识状况分析

学生技能基础：在学习本课之前，学生对平行线的判定已经比较

熟悉，也有了初步的逻辑推理能力，对简单的证明步骤有较清楚的认识，

这为今天的学习奠定了一个良好的基础.

活动经验基础：在以往的几何学习中，学生对动手操作、猜

想、说理、讨论等活动形式比较熟悉，本节课主要采取学生分组交流、讨

论等学习方式，学生已经具备必要的基础.

二、教学任务分析

在以前的几何学习中，主要是针对几何概念、运算以及几何的初步证

明（说理），在学生的头脑中还没有形成一个比较系统的几何证明体系，

本节课安排《为什么它们平行》旨在让学生从简单的几何证明入手，逐步

形成一个初步的、比较清晰的证明思路，为此，本课时的教学目标是：

1.熟练掌握平行线的判定公理及定理；

2.能对平行线的判定进行灵活运用，并把它们应用于几何证明

中.

通过经历探索平行线的判定方法的过程，发展学生的逻辑推理能力，逐步

掌握规范的推理论证格式.

3.通过学生画图、讨论、推理等活动，给学生渗透化

归思想和分类思想.

三、教学过程分析

本节课的设计分为四个环节：情景引入一一探索平行线判定方法的证

明一一反馈练习一一反思与小结.

第一环节：情景引入

活动内容：

回顾两直线平行的判定方法

师：前面我们探索过直线平行的条件.大家来想一想：两条直线在什

么情况下互相平行呢？

生1：在同一平面内，不相交的两条直线就叫做平行线.

生2：两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行.

生3：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互

补两直线平行.

师：很好.这些判定方法都是我们经过观察、操作、推理、交流等活

动得到的.

上节课我们谈到了要证实一个命题是真命题.除公理、定义外，其他

真命题都需要通过推理的方法证实.

我们知道：“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”是定

义.“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平

行”是公理.那其他的三个真命题如何证实呢？这节课我们就来探讨.

活动目的：

回顾平行线的判定方法，为下一步顺利地引出新课埋下伏笔.

教学效果：

由于平行线的判定方法是学生比较熟悉的知识，教师通过对话的形

式，可以使学生很快地回忆起这些知识.

第二环节：探索平行线判定方法的证明

活动内容：

①证明：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么

这两条直线平行.

师：这是一个文字证明题，需要先把命题的文字语言转化成几何图

形和符号语言.所以根据题意，可以把这个文字证明题转化为下列形式：

如图，已知，N1和N2是直线a、6被直线c截出的同旁内角，且N1与

N2互补，求证：a//b.

如何证明这个题呢？我们来分析分析.

师生分析：要证明直线a与6平行，可以想到应用平行线的判定公理来证

明.这时从图中可以知道：N1与N3是同位角，所以只需证明N1=N3,

则a与6即平行.

因为从图中可知N2与N3组成一个平角，即N2+N3=180°,所以：

Z3=180°-Z2.又因为已知条件中有N2与N1互补，即：

N2+Nl=180°,所以Nl=180°-/2,因此由等量代换可以知道：

Z1=Z3.

师：好.下面我们来书写推理过程，大家口述，老师来书写.（在书写的

同时说明：符号“：”读作“因为”，“•••”读作“所以”）

证明：VZ1与N2互补（已知）AZl+Z2=180°（互补定义）

AZl=180°-Z2（等式的性质）VZ3+Z2=180°（平角定

义）

AZ3=180°-Z2（等式的性质）

AZ1=Z3（等量代换）

（同位角相等，两直线平行）

这样我们经过推理的过程证明了一个命题是真命题，我们把这个真命

题称为：直线平行的判定定理.

这一定理可简单地写成：同旁内角互补，两直线平行.

注意：（1）已给的公理，定义和已经证明的定理以后都可以作为依

据.用来证明新定理.（2）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想

当然”.这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理，已经学过的

定理.在初学证明时.，要求把根据写在每一步推理后面的括号内.

②证明：内错角相等，两直线平行.

师：小明用下面的方法作出了平行线，你认为他的作法对吗？为什么？

（见相关动画）

生：我认为他的作法对.他的作法可用上图来表示：

NC上45°,N灰户45°.因为/区次与/加组成一个平角，所以

/曲=180。一/庞芹180°-45°=135°.而与/曲是同旁内

角.且这两个角的和为180°,因此可知：CD//AB.

4H-A

BE

师：很好.从图中可知：N5?与/比8是内错角.因此可知：“内错角

相等，两直线平行”是真命题.下面我们来用规范的语言书写这个真命题

的证明过程.

师生分析：已知，N1和N2是直线a、6被直线c截出的内错角，且

Z1=Z2.

求证：a//b

证明：VZ1=Z2（已知）Zl+Z3=180°（平角定义）

.,.Z2+Z3=180°（等量代换），N2与N3互补（互补的

定义）

（同旁内角互补，两直线平行）.

这样我们就又得到了直线平行的另一个判定定理：内错角相等，两直

线平行.

③借助“同位角相等，两直线平行”这一公理，你还能证明哪些熟悉的

结论呢？

生1：已知，如图，直线aJ_c,8_Lc.求证：a//b.

证明：•••a_Lc"_Lc（已知）

AZ1=90°Z2=90°（垂直的定义）

AZ1=Z2（等量代换）

（同位角相等，两直线平行）

生2：由此可以得到：“如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条

直线平行”的结论.

师：同学们讨论得真棒.下面我们通过练习来熟悉掌握直线平行的判定定

理.

活动目的：

通过对学生熟悉的平行线判定的证明，使学生掌握平行线判定公

理推导出的另两个判定定理，并逐步掌握规范的推理格式.

教学效果：

由于学生有了以前学习过的相关知识，对几何证明题的格式有所

了解，今天的学习只不过是将原来的零散的知识点以及学生片面的认识进

行归纳，学生的认识更提高一步.

第三环节：反馈练习

活动内容：

课本第231页的随堂练习第一题

活动目的：

巩固本节课所学知识，让教师能对学生的状况进行分析，以便调整

刖进.

教学效果：

由于此题只是简单地运用到平行线的判定的三个定理（公理），因

此，学生都能很快完成此题.

第四环节：学生反思与课堂小结

活动内容：

①这节课我们主要探讨了平行线的判定定理的证明.同学们来归纳一下

完成下表：

野定文字叙述符号语言图形

同位角相

第

等,两直线已知）

种

平行:）

向旁内角互VZ24-Z4-

第

二补，两直就】80,己知）

种

平行二“M）

内情角相VZ2-

第

等，两直戏N3（已知）

平行

②由角的大小关系来证两直线平行的方法，再一次体现了“数”与

“形”的关系；而应用这些公理、定理时，必须能在图形中准确地识别出

有关的角.

③注意：证明语言的规范化.推理过程要有依据.

活动目的：

通过对平行线的判定定理的归纳，使学生的认识有进一步的升

华，再一次体会证明格式的严谨，体会到数学的严密性.

教学效果：

学生充分认识到证明步骤的严密性，对平行线判定的三个定理有了

更进一步的认识.

课后作业：课本第232页习题6.4第1,2,3题

思考题：课本第233页习题6.4第4题（给学有余力的同学做）

四、教学反思

平行线是众多平面图形与空间图形的基本构成要素之一，它主要借助

角来研究两条直线之间的位置关系，即通过两条直线与第三条直线相交所

成的角来判定两条直线平行与否，在教学中，要紧紧围绕这些角（同位

角、内错角、同旁内角）与平行线之间的关系展开。

学生初学证明时.，对于证明中的每一步的因果关系很茫然，有的学生

尽管头脑中对每一步的前因后果都比较清楚，但写出来的证明过程前后没

有因果关系，这需要教师在学生刚接触证明题时.，再三强调这一点。对于

初学者而言，为了更好地掌握推理方法，要保证推理有根有据，上一步的

因与下一步的果的因果关系明确，保证证明过程层次分明、条理清楚。

4.平行线的性质

一、学生知识状况分析

学生技能基础：在学习本课之前，学生对平行线的性质已经比较

熟悉，也有了初步的逻辑推理能力，特别是上一节课的学习，使学生对简

单的证明步骤有了更为清楚的认识，这为今天的学习奠定了一个良好的基

础.

活动经验基础：在以往的几何学习中，学生对动手操作、猜想、

说理、讨论等活动形式比较熟悉，本节课主要采取学生分组交流、讨论等

学习方式，学生已经具备必要的基础.

二、教学任务分析

在以前的几何学习中，主要是针对几何概念、运算以及儿何的初步证

明（说理），在学生的头脑中还没有形成一个比较系统的几何证明体系，

上一节课安排的《为什么它们平行》和本节课安排的《如果两条直线平

行》旨在让学生从简单的几何证明（平行线的判定与性质）入手，逐步形

成一个更为清晰的证明思路，为此，本课时的教学目标是：

1.认识平行线的三条性质。

2.能熟练运用这三条性质证明几何题。

3.进一步理解和总结证明的步骤、格式、方法.

4.了解两定理在条件和结构上的区别，体会正逆的思维过程.

5.进一步发展学生的合情推理能力，培养学生的逻辑思维能力。

三、教学过程分析

本节课的设计分为四个环节：情境引入一一探索与应用一一反馈练习

一-反思与小结

第一环节：情境引入

活动内容：

一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，第一次拐的角NB是

130°,第二次拐的角NC是多少度？

B

说明：这是一个实际问题，要求出NC的度数，需要我们研究与判定相反

的问题，即已知两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角有什么关系，

也就是平行线的性质.

活动目的：

通过对一个实际问题的解决，引出平行线的性质。

教学效果：

由于学生对平行线的性质比较熟悉，因此，在学生回忆起这些知

识后，能很快解决实际问题。

第二环节：探索与应用

活动内容：

①画出直线AB的平行线CD,结合画图过程思考画出的平行线，被

第三条直线所截的同位角的关系是怎样的？

②平行公理：两直线平行同位角相等.

③两条平行线被第三条直线所截，同位角是相等的，那么内错

角、同旁内角有什么关系呢？

•.,a〃b（已知），

.•.N1=N2（两条直线平行，同位角相等）

=对顶角相等），

二/2=/3（等量代换）.

师：由此我们又得到了平行线有怎样的性质呢？

学生活动：同学们积极举手回答问题.

教师根据学生叙述，给出板书：两条平行线被第三条直线所截，

内错角相等.

师：下面请同学们自己推导同旁内角是互补的.并归纳总结出平

行线的第三条性质.请一名同学到黑板上板演，其他同学在练习本上完

成.师生共同订正推导过程并写出第三条性质，形成正确板书.

•；a〃b（已知）

.•.N1=N2（两直线平行，同位角相等）

•••Zl+Z4=180°（邻补角定义）

.,.Z2+Z4=180°（等量代换）

即：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，简单说成，两直线平

行，同旁内角互补

师：我们知道了平行线的性质，在今后我们经常要用到它们去解决、论述

一些问题，所需要知道的条件是两条直线平行，才有同位角相等，内错角

相等，同旁内角互补，即它们的符号语言分别为：

••.N1=N2（两直线平行,同位角相等）.

•；a〃b（已知），

.•.N2=N3（两直线平行，内错角相等）.

•；a〃b（已知）,

...N2+N4=180°.（两直线平行，同旁内角互补）

(板书在三条性质对应位置上)

活动目的：

通过对平行线性质的探索，使学生对证明的步骤、格式有更进一

步的认识，认识证明的必要性。

教学效果：

在前面复习引入的基础上，通过学生的观察、分析、讨论，此时

学生已能够进行推理，在这里教师不必包办代替，充分调动学生的主动性

和积极性，进而培养学生分析问题的能力，在学生有成就感的同时也激励

了学生的学习兴趣.

第三环节：课堂练习

活动内容：

①已知平行线AB、CD被直线AE所截

BzDzBL----------------------

(1)若Nl=110°,可以知道N2是多少度吗？为什么？

(2)若Nl=110°,可以知道N3是多少度吗？为什么？

(3)若Nl=110°,可以知道N4是多少度吗，为什么？

②变式训练：如图是梯形有上底的一部分，已知量得NA=115°,ZD=

100°,梯形另外两个角各是多少度？

解：•；AD〃BC(梯形定义)，

.-.ZA+ZB=180°.ZC+ZD=180°(两直线平行，同旁内角互补)，

.\ZB=180°-ZA=180°-115°=65°.

AZC=180°-ZD=180°-100°=80°.

③变式练习：如图，已知直线DE经过点A,DE/7BC,NB=44°,NC=

57°

DE

23\4

(l)NDAB等于多少度？为什么？

(2)NEAC等于多少度？为什么？

(3)NBAC、NBAC+NB+NC各等于多少度？

④如图，A、B、C、D在同一直线上，AD/7EF.

(1)ZE=78°时，Nl、N2各等于多少度？为什么？

(2)NF=58°时;N3、N4各等于多少度？为什么？

活动目的：

通过学生对证明的螺旋式上升的认识，更认识到数学严密性与证

明的必要性，做到每一步都有根有据。

教学效果：

在教师不给任何提示的情况下，学生独立完成，把理由写成推理格

式.对于学习困难一点的同学允许他们相互之间讨论后，再试着在练习本

上写出解题过程.对学生中出现的不同解法给予肯定，培养学生的解题能

力.

第四环节：课堂反思与小结

活动内容：

①归纳两直线平行的判定与性质

1.同位角相等

性质

两直线平行2.内错角相等

判定3.同旁内角互补

②总结证明的一般思路及步骤

活动目的：

使学生认识到平行线的判定与性质是一对互逆定理，并由感性认识

上升到理性认识，归纳总结出证明题的一般思路及步骤。

教学效果：

应让学生积极讨论，说出平行线的判定及性质，由角的关系得到两

条直线平行的结论是平行线的判定，反过来，由已知直线平行，得到角相

等或互补的结论是平行线的性质，能通过具体实例，使学生在有充足的感

性认识的基础上上升到理性认识，总结出平行线性质与判定的不同，总结

证明的一般步骤，养成严谨的推理习惯.

课后练习：课本第236页的习题6,5第1,2,3题

四、教学反思

语言是思维的工具，要学好证明，必须学会语言的表达和运用，初学

几何证明题时.，学生对于几何语言不甚清楚，儿何语言分为文字语言、符

号语言和图形语言，老师有必要强调：将图形语言和符号语言相结合是学

好证明的基本功，画图时按要求将符合题意的图形画出来。但要注意以下

几点：

(1)注意所画图形的多种情况；

(2)能根据题意画出简单的图形，掌握“题”与“图”的对应关

系，一般图形不要画成特殊图形，否则就意味着人为增加了已知条件，

反之，特殊图形也不要画成一般图形，这两种做法都没有真实的表达题

意；

(3)图形力求准确，便于观察，有利于解题。

5.三角形内角和定理(第1课时)

一、学生知识状况分析

学生技能基础：学生在以前的几何学习中，已经学习过平行线的

判定定理与平行线的性质定理以及它们的严格证明，也熟悉三角形内角和

定理的内容，而本节课是建立在学生掌握了平行线的性质及严格的证明等

知识的基础上展开的，因此，学生具有良好的基础。

活动经验基础：本节课主要采取的活动形式是学生非常熟悉的

自主探究与合作交流的学习方式，学生具有较熟悉的活动经验.

二、教学任务分析

上一节课的学习中，学生对于平行线的判定定理和性质定理以及与平

行线相关的简单几何证明是比较熟悉的，他们已经具有初步的几何意识，

形成了一定的逻辑思维能力和推理能力，木节课安排《三角形内角和定理

的证明》旨在利用平行线的相关知识来推导出新的定理以及灵活运用新的

定理解决相关问题。为此，本节课的教学目标是：

1.掌握三角形内角和定理的证明及简单应用。

2.灵活运用三角形内角和定理解决相关问题。

3.用多种方法证明三角形定理，培养一题多解的能力。

4.对比过去撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作

用.

三、教学过程分析

本节课的设计分为四个环节：情境引入一一探索新知一一反馈练习-

一课堂小结

第一环节：情境引入

活动内容：（1）用折纸的方法验证三角形内角和定理.

实验1：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折

线与对边平行（图6—38（1））然后把另外两角相向对折，使其顶点与已

折角的顶点相嵌合（图（2）、（3））,最后得图（4）所示的结果

c

(1)(2)(

3)(4)

试用自己的语言说明这一结论的证明思路。想一想，还有其它折法

吗？

(2)实验2：将纸片三角形三顶角剪下，随意将它们拼凑在一起。

试用自己的语言说明这一结论的证明思路。想一想，如果只剪下一

个角呢？

活动目的：

对比过去撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用。

将自己的操作转化为符号语言对于学生来说还存在一定困难，因此需要一

个台阶，使学生逐步过渡到严格的证明.

教学效果：

说理过程是学生所熟悉的，因此，学生能比较熟练地说出用撕纸

的方法可以验证三角形内角和定理的原因。

第二环节：探索新知

活动内容：

①用严谨的证明来论证三角形内角和定理.

②看哪个同学想的方法最多？

方法一：过A点作DE〃BC

VDE#BC

...NDAB=NB,ZEAC=ZC（两直线平行，内错角相等）

,/ZDAB+ZBAC+ZEAC=180°

.\ZBAC+ZB+ZC=180o（等量代换）

方法二：作BC的延长线CD,过点C作射线CE〃BA.

•；CE〃BA

.\ZB=ZECD（两直线平行，同位角相等）

ZA=ZACE（两直线平行，内错角相等）

,/ZBCA+ZACE+ZECD=180°

.\ZA+ZB+ZACB=180o（等量代换）

活动目的：

用平行线的判定定理及性质定理来推导出新的定理，让学生再次

体会几何证明的严密性和数学的严谨，培养学生的逻辑推理能力。

教学效果：

添辅助线不是盲目的，而是为了证明某一结论，需要引用某个定

义、公理、定理，但原图形不具备直接使用它们的条件，这时就需要添辅

助线创造条件，以达到证明的目的.

第三环节：反馈练习

活动内容：

(1)Z\ABC中可以有3个锐角吗？3个直角呢？2个直角呢？若有

1个直角另外两角有什么特点？

(2)AABC中，ZC=90°,ZA=30°,ZB=?

(3)ZA=50°,ZB=ZC,则aABC中NB=?

(4)三角形的三个内角中，只能有____个直角或____个钝角.

(5)任何一个三角形中，至少有___个锐角；至多有_____个锐角.

(6)三角形中三角之比为1：2：3,则三个角各为多少度？

(7)已知：AABC中，NC=NB=2NA。

(a)求NB的度数；

(力若BD是AC边上的高，求NDBC的度数？

活动目的：

通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对三角形内角和定理

的概念是否清楚，能否灵活运用三角形内角和定理，以便教师能及时地进

行查缺补漏.

教学效果：

学生对于三角形内角和定理的掌握是非常熟练，因此，学生能较好

地解决与三角形内角和定理相关的问题。

第四环节：课堂小结

活动内容：

③证明三角形内角和定理有哪几种方法？

④辅助线的作法技巧.

⑤三角形内角和定理的简单应用.

活动目的：

复习巩固本课知识，提高学生的掌握程度.

教学效果：

学生对于三角形内角和定理的几种不同的证明方法的理解比较深

刻，并能熟练运用三角形内角和定理进行相关证明.

课后练习：课本第239页随堂练习；第241页习题6.6第1,2,3题

四、教学反思

三角形的有关知识是“空间与图形”中最为核心、最为重要的内容，

它不仅是最基本的直线型平面图形，而且几乎是研究所有其它图形的工具

和基础.而三角形内角和定理又是三角形中最为基础的知识，也是学生最

为熟悉且能与小学、中学知识相关联的知识，看似简单，但如果处理不

好，会导致学生有厌烦心理，为此，本节课的设计力图实现以下特点：

(1)通过折纸与剪纸等操作让学生获得直接经验，然后从学生

的直接经验出发，逐步转到符号化处理，最后达到推理论证的要

求。

(2)充分展示学生的个性，体现“学生是学习的主人”这一主

题。

(3)添加辅助线是教学中的一个难点，如何添加辅助线则应允

许学生展开思考并争论，展示学生的思维过程，然后在老师的引导

下达成共识。

5.三角形内角和定理(第2课时)

一、学生知识状况分析

学生技能基础：学生在前面的几何学习中，已经学习过平行线的

判定定理与平行线的性质定理以及它们的严格证明，学习了三角形内角和

定理的证明以及相关应用，有相关知识的基础，并具有一定的逻辑思维能

力和严谨推理习惯，为今天的学习奠定了良好的基础.

活动经验基础：本节课主要采取的活动形式是学生非常熟悉的自

主探究与合作交流相结合、实践和理性证明相结合的学习方式，学生具有

较熟悉的活动经验.

二、教学任务分析

在前面的学习中，学生对于平行线相关知识以及三角形内角和定理的

灵活运用已经有了深入的了解，为今天的学习奠定了知识基础，并且他们

已经具有初步的几何意识，形成了一定的逻辑思维能力和推理能力，本节

课安排《关注三角形的外角》旨在利用已经学习过的知识来推导出新的定

理以及运用新的定理解决相关问题。为此，本节课的教学目标是：

1.掌握三角形外角的两条性质；

2.进一步熟悉和掌握证明的步骤、格式、方法、技巧.

3.灵活运用三角形的外角和两条性质解决相关问题。

4.进一步培养学生的逻辑思维能力和推理能力，培养学生的几何

意识。

5.通过在数学活动中进行教学，使学生能自主地“做数学”，特

别是培养有条理的想象和探索能力，从而做到强化基础，激发学习兴趣.

三、教学过程分析

本节课的设计分为四个环节：情境引入一一探索新知一一反馈练习-

一课堂反思与小结

第一环节：情境引入

活动内容：

在证明三角形内角和定理时，用到了把aABC的一边BC延长得到

ZACD,这个角叫做什么角呢？下面我们就给这种角命名，并且来研究它

的性质.

活动目的：

引出三角形外角的概念，并对其进行研究，激发学生学习兴趣。

注意事项：

教师应在学生充分展示自己的意见之后，有意识地引导学生从三角

形的外角的角度进行思考。

第二环节：探索新知

活动内容：

①三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做

三角形的外角，结合图形指明外角的特征有三：

(1)顶点在三角形的一个顶点上.

(2)一条边是三角形的一边.

(3)另一条边是三角形某条边的延长线.

②两个推论及其应用

由学生探讨三角形外角的性质：

问题1：如图，AABC中，ZA=70°,ZB=60°,NACD是AABC的一个外

角，能由NA、NB求出NACD吗？如果能，NACD与NA、NB有什么关

系？

问题2：任意一个4ABC的一个林角/ACD与NA、ZB的大小会有什么关

系呢？

BCD

由学生归纳得出：

推论1:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.

推论2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

例1、已知：ZBAF,ZCBD,NACE是aABC的三个外角.

求证：ZBAF+ZCBD+ZACE=360°

分析：把每个外角表示为与之不相邻的两个内角之和即得证.

证明：（略）.

例2、已知：D是AB上一点，E是AC上一点，BE、CD相交于

F,ZA=62°,ZACD=35°,ZABE=20°.求：（1）NBDC度数；

⑵NBFD度数.

解：（略）.

活动目的：

通过三角形内角和定理直接推导三角形外角的两个推论，引导学生

从内和外、相等和不等的不同角度对三角形作更全面的思考.

注意事项：

新的定理的推导过程应建立在学生的充分思考和论证的基础之上，

教师切勿越俎代庖。

第三环节：课堂练习

活动内容：

（4）已知，如图，在三角形ABC中，AD平分外角NEAC,

ZB=ZC.求证：AD〃BC

E+，

分析：要证明力〃〃6C只需证明“同位角相等"，即需证明N〃4£=N6.

证明：•..Ng4eN6+NC（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个

内角的和）

/#NC（已知）

盾/口C（等式的性质）

•.."平分NBC（已知）

...NZM£=N£4C（角平分线的定义）

:.NDAE=NB（等量代换）

.•.49〃8c（同位角相等，两直线平行）

想一想，还有没有其他的证明方法呢？

这个题还可以用“内错角相等，两直线平行”来证.

证明：•••/屈华/伊NC（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个

内角的和）

N/NC（已知）

J.ZOZEAC（等式的性质）

•.,力。平分Ng4C（已知）

：.ZDAC=ZEAC（角平分线的定义）

:./DAO/C（等量代换）

.•./，〃8c（内错角相等，两直线平行）

还可以用“同旁内角互补，两直线平行”来证.

证明：•••/口0N8+NC（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个

内角的和）

/后NC（已知）

：.AC=AEAC（等式的性质）

•.3。平分NE4c（已知）

：.ADAOZEAC

：.£DAC=£C（等量代换）

ZB+ZBAC+Z0180°

：.ZB+ZBAC+ZDAC=180°

即：NB+NDAB=180°

.•"〃〃仇?（同旁内角互补，两直线平行）

②已知：如图，在三角形ABC中，N1是它的一个外角，E为边AC上一

点，延长BC到D,连接DE.求证：Z1>Z2.

证明：•••/I是。的一个外角（已知）

.\Z1>ZACB（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）

•；NACB是△（；/唐的一个外角（已知）

...NACB>N2（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）

AZ1>Z2（不等式的性质）

③.如图，求证：（1）/BDO/A.

（2）仆N4

B

D

如果点〃在线段8C的另一侧，结论会怎样？

［分析］通过学生的探索活动，使学生进一步了解辅助线的作法及重

要性，理解掌握三角形的内角和定理及推论.

证法一：（1）连接4。，并延长力。，如图，则N1是△?!加的一个外

角，N2是△467?的一个外角.

AZ1>Z3.

Z2>Z4（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）

/.Z1+Z2>Z3+Z4（不等式的性质）

即：NBDONBAC.

（2）连结力〃，并延长/〃，如图.

则N1是△/!劭的一个外角，N2是的一个外角.

：.Z1=Z3+ZB

N2=N4+NC（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）

...Nl+N2=/3+N4+N6+NC（等式的性质）即：

ZB£)<=ZB+ZC+ZBAC

B

证法二：（1）延长班交4c于后（或延长空交48于后）,如图.

则是△C出的一个外角.

/.ABDOADEC.（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内

角）

•.•/。£。是4力筋的一个外角（已作）

:.乙DEO乙A（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）

：.ABDOAA（不等式的性质）

（2）延长加交47于£,则是△加下的一个外角.

二4BDC=4C+4DEC（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角

的和）

,?是△力班■的一个外角

.•./应'俏N/+N6（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）

:./BDOCB+乙彼/BAC（等量代换）

活动目