第06讲 一元二次方程的解法-开平方法（原卷版）

第06讲一元二次方程的解法-开平方法2.2【学习目标】1．掌握开平方法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；2．理解解法中的降次思想，开平方法中的分类讨论与换元思想.【基础知识】直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为（直接）开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.要点：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.【考点剖析】考点1：直接开平方法解一元二次方程例1．一元二次方程的解为（

）A． B．， C． D．例2．若，则是（

）A．-2 B．2 C．-2或2 D．4例3．方程x2-=0的根为_______．例4．有关方程的解说法正确的是（

）A．有两不等实数根3和 B．有两个相等的实数根3C．有两个相等的实数根 D．无实数根例5．若方程的两个根分别是与，则_____．例6．解方程：（1）；

（2）；（3）；

（4）．例7．计算：4（3x+1）2﹣1＝0、﹣2＝0的结果分别为（）A．x＝±，y＝± B．x＝±，y＝C．x＝﹣，y＝ D．x＝﹣或﹣，y＝例8．一元二次方程的实数根为（

）A． B．C． D．考点2：直接开平方法解一元二次方程的条件例9．下列方程中，不能用直接开平方法求解的是(

)A． B． C． D．例10．方程y2＝-a有实数根的条件是（

）A．a≤0 B．a≥0 C．a>0 D．a为任何实数例11．有下列方程：①x2-2x=0；②9x2-25=0；③(2x-1)2=1；④．其中能用直接开平方法做的是(

)A． B． C． D．例12．方程x2=（x﹣1）0的解为（

）A．x=-1 B．x=1 C．x=±1 D．x=0例13．如果方程可以用直接开平方求解，那么的取值范围是（

）.A． B．C． D．任意实数例14．已知方程有实数根，则与的关系是（

）.A． B．或、异号C．或、同号 D．是的整数倍考点3：直接开平方法解一元二次方程的复合型例15．用直接开平方的方法解方程，做法正确的是（

）A． B．C． D．例16．方程的解为（

）A． B．C． D．例17．解方程：（1）；（2）．考点3：一元二次方程的根的概念深入理解例18．一元二次方程的根与的根（

）A．都相等 B．都不相等 C．有一个根相等 D．无法确定考点4：直接开平方法解一元二次方程的根的通用形式例19．关于x的方程(x+a)=b(b>0)的根是（

）A．x=±-a B．x=±a+C．当b≥0时，x=-a± D．当a≥0时，x=a±例20．形如的方程，下列说法错误的是（

）A．时，原方程有两个不相等的实数根B．时，原方程有两个相等的实数根C．时，原方程无实数根D．原方程的根为考点5：直接开平方法解一元二次方程-降次例21．方程的根的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4考点6：直接开平方法解一元二次方程-换元法例22．若，则的值为(

)A．7 B．-3 C．7或-3 D．21考点7：直接开平方法解一元二次方程-创新题，数系的扩充例23．我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于．若我们规定一个新数“i”，使其满足（即方程有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，从而对于任意正整数n，我们可以得到，同理可得．那么的值为________．【真题演练】一、单选题1．（2011·广西柳州·中考真题）方程x2－4＝0的解是A．x＝2 B．x＝－2 C．x＝±2 D．x＝±42．（2013·湖南永州·中考真题）我们知道，一元二次方程x2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i2=﹣1（即方程x2=﹣1有一个根为i）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=（﹣1）•i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，从而对于任意正整数n，我们可以得到i4n+1=i4n•i=（i4）n•i=i，同理可得i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i，i4n=1．那么i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013的值为【】A．0 B．1 C．﹣1 D．i二、填空题3．（2020·江苏扬州·中考真题）方程的根是_______．4．（2007·江苏无锡·中考真题）一元二次方程的解是__________三、解答题5．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）解方程：【过关检测】一、单选题1．方程的解为(

)A．， B．，C． D．，2．用直接开平方法解方程时，可以将其转化为或，其依据的数学知识是（

）A．完全平方公式 B．平方根的意义C．等式的性质 D．一元二次方程的求根公式3．若，则等于（）A．10 B．10或0 C．0 D．以上都不对4．方程的根是（）A． B．， C．， D．，5．方程的解为（

）A． B．C． D．6．已知方程有实数根，则与的关系是（

）.A． B．或、异号C．或、同号 D．是的整数倍7．一元二次方程的根与的根（

）A．都相等 B．都不相等 C．有一个根相等 D．无法确定8．下列方程不能用直接开平方法求解的是（

）A． B． C． D．9．关于x的一元二次方程(x-a)2=b，下列说法中正确的是(

)A．有两个解 B．当b0,有两个解+aC．当b0，有两个解-a. D．当b0时，方程无实数根.10．关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=-3，x2=2，则方程m（x+h-3）2+k=0的解是（

）A．x1=-6，x2=-1 B．x1=0，x2=5 C．x1=-3，x2=5 D．x1=-6，x2=2二、填空题11．填空：（1）方程的根是______________________．（2）方程的根是______________________．12．关于的方程．（1）当时，方程有__________的实数根；（2）当时，方程有__________的实数根；（3）当时，方程__________．13．一元二次方程的解是____________．14．关于的方程的根是_________________．15．已知：关于x的方程a(x+k)+2022=0的解是x1=-2，x2=1(a、k均为常数，a≠0)．（1）关于x的方程a(x+k+2)+2022=0的根是_______；（2）关于x的方程a(x+3k)+2022=0的根为_______．16．已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2＋2x＋a2﹣9＝0的一个根是0，则a＝_______．17．按照如图所示的操作步骤，若输出y的值为11，则输入x的值为____．18．给出一种运算：对于函数，规定．例如：若函数，则．已知函数，则方程的解是__．三、解答题19．用开平方法解下列方程：(1)(2)．20．解下列方程：（1）；

（2）．21．用直接开平方法解下列方程：（1）；（2）．22．用直接开平方法解下列方程：（1）；

（2）；（3）；

（4）23．李老师在课上布置了一个如下的练习题：若，求的值．看到此题后，晓梅立马写出了如图所示的解题过程：解：，①，②．③晓梅上述的解题步骤哪一步出错了？请写出正确的解题步骤．24．阅读下列材料，完成相应任务：我们已经学习过利用“配方法、公式法、因式分解法”解一元二次方程，对于关于的一元二次方程，还可以利用下面的方法求解．将方程整理，得.

……第1步变形得.

……第2步得.

……第3步于是得，即.