2024届浙江省宁波市高三上学期期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2浙江省宁波市2024届高三上学期期末数学试题一、选择题1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意知集合，则，故选：C.2.设为虚数单位，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意可得：，所以.故选：D.3.已知非零向量满足，向量在向量方向上的投影向量是，则与夹角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为向量在向量方向上的投影向量是，可知，即，且可得，所以与夹角的余弦值为.故选：A.4.体育课上，老师让2名女生和3名男生排成一排，要求2名女生之间至少有1名男生，则这5名学生不同的排法共有（）A.24种 B.36种 C.72种 D.96种〖答案〗C〖解析〗让2名女生和3名男生排成一排，不同的排法共有种，让2名女生相邻，不同的排法共有种，所以符合题设的不同的排法共有种.故选：C.5.已知是奇函数，则（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗因为是奇函数，可知定义域关于原点对称，由，可得，显然，则且，可得，解得，所以函数的定义域为，则，解得,此时,且，即，符合题意，所以.故选：D.6.已知，则下列选项中，能使取得最小值25的为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗A选项，，当且仅当，即时，等号成立，A错误；B选项，因为，所以，故，当且仅当，即时，等号成立，B正确；C选项，当时，满足，此时，C错误；D选项，，设，其中，则，因为，所以，故，显然取不到最小值25，D错误.故选：B.7.已知椭圆的左、右焦点分别为是椭圆的上顶点，线段的延长线交椭圆于点．若，则椭圆的离心率（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意得，则直线的方程为，联立方程，消去y得，则，所以，因为，则，因为，化简得，即，可得，所以.故选：B.8.在平行四边形中，已知，将沿翻折得四面体．作一平面分别与交于点．若四边形是边长为的正方形，则四面体外接球的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为为正方形，则且，又面，面，所以面，又因为面面，所以，同理可知，所以，且均为各边的中点，所以，因为四边形是边长为的正方形，所以，首先求对棱四面体的外接球的半径，将其放在长方体内，如图所示：，所以四面体外接球的半径为，所以四面体外接球的表面积为.故选：A.二、选择题9.数字经济是继农业经济、工业经济之后的主要经济形态．近年来，在国家的大力推动下，我国数字经济规模增长迅猛，《“十四五”数字经济发展规划》更是将数字经济上升到了国家战略的层面．某地区2023年上半年月份与对应数字经济的生产总值（即GDP）（单位：亿元）如下表所示．月份123456生产总值303335384145根据上表可得到回归方程，则（）A.B.与正相关C.若表示变量与之间的相关系数，则D.若该地区对数字经济的相关政策保持不变，则该地区7月份的生产总值约为亿元〖答案〗ABD〖解析〗对于A，，，所以，故A正确；对于B，因为，所以与正相关，故B正确；对于C，相关系数，故C错误；对于D，当时，，故D正确.故选：ABD.10.已知函数的部分图象如图所示，，则（）A.B.在区间上单调递增C.在区间上既有极大值又有极小值D.为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位〖答案〗AB〖解析〗由题意在函数的部分图象上，所以，即，所以，再根据，即，结合图象可得，所以，，对于A，由于为函数的最大值，所以，故A正确；对于B，当时，，由复合函数单调性可知在区间上单调递增，故B正确；对于C，当时，，所以没有极大值，故C错误；对于D，为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位，故D错误.故选：AB.11.已知圆，抛物线的焦点为为抛物线上一点，则（）A.以点为直径端点的圆与轴相切B.当最小时，C.当时，直线与圆相切D.当时，以为圆心，线段长为半径圆与圆相交公共弦长为〖答案〗AD〖解析〗如图，设，中点为，又，所以，由抛物线定义知，又到轴的距离为，所以选项A正确，对于选项B，因为，则，当时，取到最小值，此时，所以选项B错误，对于选项C，当时，，，不妨取，则，直线，所以圆心到直线的距离为，又圆的半径为，所以，即直线与圆相离，所以选项C错误，对于选项D，当时，，，不妨取，故以为圆心，线段长为半径的圆为①，又圆②，由①②得两圆的共公弦方程，到的距离为，故公共弦长为，所以选项D正确，故选：AD.12.已知函数满足:对,都有且，则以下选项正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗ACD〖解析〗对于选项A:令，则令，则所以因为，所以，令，则，故选项A正确；对于选项B:结合选项A可得，所以或，若，则，所以，此时与矛盾，舍去；若，则，解得，因为，所以，故选项B错误；对于选项C:令则，因为，，所以，所以为偶函数，令则，所以，令，则，即，故选项C正确；对于选项D:由为偶函数，所以，令,则，令,则,所以，故选项D正确.故选：ACD.三、填空题13.的展开式中的系数为____________．（用数字作答）．〖答案〗40〖解析〗展开式的通项，令，得.所以的系数为.故〖答案〗为：4014.某校元旦文艺汇演中，有八位评委对一舞蹈节目评分，该节目得分依次为，则这组数据的第70百分位数为____________．〖答案〗92〖解析〗这组数据从小到大排列为，，所以这组数据的第70百分位数是第6个数据，即92.故〖答案〗为：92.15.“PVC”材质的交通路障因其便携、耐用、易塑形等优点被广泛应用于实际生活中．某厂家设计的一款实心交通路障模型如下图所示，该几何体的底部是一个正四棱柱（底面是正方形的直棱柱），上部是一个圆台，结合图中所给的数据（单位：），则该几何体的体积为____________．〖答案〗〖解析〗由图可知，底部正四棱柱底面正方形的对角线长为，高为，所以正四棱柱的体积为，圆台上底面的直径为，下底面的直径为，高为，所以圆台的体积为，所以该几何体的体积为.故〖答案〗为：16.已知成公比为2的等比数列，且．若成等比数列，则所有满足条件的的和为____________．〖答案〗〖解析〗由已知得，由成等比数列，且成公比为2的等比数列，得，所以，所以，令，得到，恰好有两个根，而满足的的值有，满足的的值之和为，故所有满足条件的的和为.故〖答案〗为：.四、解答题17.在中，内角所对的边分别为．已知．（1）求A的大小；（2）若，求的面积．解：（1）由，结合正弦定理，得，即，即，即，因为，所以，即．（2）因为，所以．利用正弦定理得．而，故的面积为．18.已知函数，其中．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）记为的导函数，若对，都有，求的取值范围．解：（1）由题知，，当时，，所以曲线在处的切线方程为；（2）由题意，原不等式等价于，即，当时，对任意，不等式恒成立，当时，原不等式等价于，设，则，设，因为，所以存在唯一，使得，即，当时，单调递减，当时，单调递增，故，即．综上所述，的取值范围为．19.如图，在四棱锥中，底面，，点在上，，过点作的垂线交于点．（1）证明：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．（1）证明：因为平面平面，所以．又因为，且，所以平面，且平面，所以，而，且，平面，所以平面．（2）解：如图，以为原点，方向分别为轴正向，建立空间直角坐标系，则，由（1）知，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，因为，则，令，可得，可得，设平面与平面的夹角为，则，即平面与平面的夹角余弦值为．20.已知等差数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为．问：是否存在，使得，成等比数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．解：（1）设等差数列的公差为d，由，取，得，即，由，得，即，解得，则．（2）由（1）得，故，即，则，两式相减，得到，即．则，因为，，即，所以，故不存在正整数，使得成等比数列.21.某次高三数学测试中选择题有单选和多选两种题型组成．单选题每题四个选项，有且仅有一个选项正确，选对得5分，选错得0分，多选题每题四个选项，有两个或三个选项正确，全部选对得5分，部分选对得2分，有错误选择或不选择得0分．（1）若小明对其中5道单选题完全没有答题思路，只能随机选择一个选项作答，每题选到正确选项的概率均为，且每题的解答相互独立，记小明在这5道单选题中答对的题数为随机变量．（i）求；（ii）求使得取最大值时的整数；（2）若小明在解答最后一道多选题时，除发现A，C选项不能同时选择外，没有答题思路，只能随机选择若干选项作答．已知此题正确〖答案〗是两选项与三选项的概率均为，问：小明应如何作答才能使该题得分的期望最大（写出小明得分的最大期望及作答方式）．解：（1）（i）因为，所以．（ii）因为．．令，解得，所以当时，最大，此时．（2）由题知，选项不能同时选择，故小明可以选择单选、双选和三选．正确〖答案〗是两选项的可能情况为，每种情况出现的概率均为．正确〖答案〗是三选项的可能情况为，每种情况出现的概率为．若小明做出的决策是单选，则:（分），（分），若小明做出的决策是双选，则（分），（分）．若小明做出的决策是三选，则（分）．经比较，小明选择单选B或单选D的得分期望最大，最大值为分.22.已知双曲线的中心为坐标原点，右焦点为，且过点．（1）求双曲线的标准方程；（2）已知点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，直线与双曲线交于另一点，设直线的斜率分别为．（i）求证：为定值；（ii）求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．（1）解：设双曲线的方程为，因为双曲线的右焦点为，且过点，所以其中，解得双曲线的方程为．（2）证明：（i）设直线的方程为，由得，因为直线与双曲线的左、右支分别交于点，所以得，即．（ii）设直线的方程为，由得，，由，结合（i）可知，由，得，即，或，当时，直线过点，不符合题意，舍去，当时，直线的方程为，过定点．浙江省宁波市2024届高三上学期期末数学试题一、选择题1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意知集合，则，故选：C.2.设为虚数单位，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意可得：，所以.故选：D.3.已知非零向量满足，向量在向量方向上的投影向量是，则与夹角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为向量在向量方向上的投影向量是，可知，即，且可得，所以与夹角的余弦值为.故选：A.4.体育课上，老师让2名女生和3名男生排成一排，要求2名女生之间至少有1名男生，则这5名学生不同的排法共有（）A.24种 B.36种 C.72种 D.96种〖答案〗C〖解析〗让2名女生和3名男生排成一排，不同的排法共有种，让2名女生相邻，不同的排法共有种，所以符合题设的不同的排法共有种.故选：C.5.已知是奇函数，则（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗因为是奇函数，可知定义域关于原点对称，由，可得，显然，则且，可得，解得，所以函数的定义域为，则，解得,此时,且，即，符合题意，所以.故选：D.6.已知，则下列选项中，能使取得最小值25的为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗A选项，，当且仅当，即时，等号成立，A错误；B选项，因为，所以，故，当且仅当，即时，等号成立，B正确；C选项，当时，满足，此时，C错误；D选项，，设，其中，则，因为，所以，故，显然取不到最小值25，D错误.故选：B.7.已知椭圆的左、右焦点分别为是椭圆的上顶点，线段的延长线交椭圆于点．若，则椭圆的离心率（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意得，则直线的方程为，联立方程，消去y得，则，所以，因为，则，因为，化简得，即，可得，所以.故选：B.8.在平行四边形中，已知，将沿翻折得四面体．作一平面分别与交于点．若四边形是边长为的正方形，则四面体外接球的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为为正方形，则且，又面，面，所以面，又因为面面，所以，同理可知，所以，且均为各边的中点，所以，因为四边形是边长为的正方形，所以，首先求对棱四面体的外接球的半径，将其放在长方体内，如图所示：，所以四面体外接球的半径为，所以四面体外接球的表面积为.故选：A.二、选择题9.数字经济是继农业经济、工业经济之后的主要经济形态．近年来，在国家的大力推动下，我国数字经济规模增长迅猛，《“十四五”数字经济发展规划》更是将数字经济上升到了国家战略的层面．某地区2023年上半年月份与对应数字经济的生产总值（即GDP）（单位：亿元）如下表所示．月份123456生产总值303335384145根据上表可得到回归方程，则（）A.B.与正相关C.若表示变量与之间的相关系数，则D.若该地区对数字经济的相关政策保持不变，则该地区7月份的生产总值约为亿元〖答案〗ABD〖解析〗对于A，，，所以，故A正确；对于B，因为，所以与正相关，故B正确；对于C，相关系数，故C错误；对于D，当时，，故D正确.故选：ABD.10.已知函数的部分图象如图所示，，则（）A.B.在区间上单调递增C.在区间上既有极大值又有极小值D.为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位〖答案〗AB〖解析〗由题意在函数的部分图象上，所以，即，所以，再根据，即，结合图象可得，所以，，对于A，由于为函数的最大值，所以，故A正确；对于B，当时，，由复合函数单调性可知在区间上单调递增，故B正确；对于C，当时，，所以没有极大值，故C错误；对于D，为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位，故D错误.故选：AB.11.已知圆，抛物线的焦点为为抛物线上一点，则（）A.以点为直径端点的圆与轴相切B.当最小时，C.当时，直线与圆相切D.当时，以为圆心，线段长为半径圆与圆相交公共弦长为〖答案〗AD〖解析〗如图，设，中点为，又，所以，由抛物线定义知，又到轴的距离为，所以选项A正确，对于选项B，因为，则，当时，取到最小值，此时，所以选项B错误，对于选项C，当时，，，不妨取，则，直线，所以圆心到直线的距离为，又圆的半径为，所以，即直线与圆相离，所以选项C错误，对于选项D，当时，，，不妨取，故以为圆心，线段长为半径的圆为①，又圆②，由①②得两圆的共公弦方程，到的距离为，故公共弦长为，所以选项D正确，故选：AD.12.已知函数满足:对,都有且，则以下选项正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗ACD〖解析〗对于选项A:令，则令，则所以因为，所以，令，则，故选项A正确；对于选项B:结合选项A可得，所以或，若，则，所以，此时与矛盾，舍去；若，则，解得，因为，所以，故选项B错误；对于选项C:令则，因为，，所以，所以为偶函数，令则，所以，令，则，即，故选项C正确；对于选项D:由为偶函数，所以，令,则，令,则,所以，故选项D正确.故选：ACD.三、填空题13.的展开式中的系数为____________．（用数字作答）．〖答案〗40〖解析〗展开式的通项，令，得.所以的系数为.故〖答案〗为：4014.某校元旦文艺汇演中，有八位评委对一舞蹈节目评分，该节目得分依次为，则这组数据的第70百分位数为____________．〖答案〗92〖解析〗这组数据从小到大排列为，，所以这组数据的第70百分位数是第6个数据，即92.故〖答案〗为：92.15.“PVC”材质的交通路障因其便携、耐用、易塑形等优点被广泛应用于实际生活中．某厂家设计的一款实心交通路障模型如下图所示，该几何体的底部是一个正四棱柱（底面是正方形的直棱柱），上部是一个圆台，结合图中所给的数据（单位：），则该几何体的体积为____________．〖答案〗〖解析〗由图可知，底部正四棱柱底面正方形的对角线长为，高为，所以正四棱柱的体积为，圆台上底面的直径为，下底面的直径为，高为，所以圆台的体积为，所以该几何体的体积为.故〖答案〗为：16.已知成公比为2的等比数列，且．若成等比数列，则所有满足条件的的和为____________．〖答案〗〖解析〗由已知得，由成等比数列，且成公比为2的等比数列，得，所以，所以，令，得到，恰好有两个根，而满足的的值有，满足的的值之和为，故所有满足条件的的和为.故〖答案〗为：.四、解答题17.在中，内角所对的边分别为．已知．（1）求A的大小；（2）若，求的面积．解：（1）由，结合正弦定理，得，即，即，即，因为，所以，即．（2）因为，所以．利用正弦定理得．而，故的面积为．18.已知函数，其中．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）记为的导函数，若对，都有，求的取值范围．解：（1）由题知，，当时，，所以曲线在处的切线方程为；（2）由题意，原不等式等价于，即，当时，对任意，不等式恒成立，当时，原不等式等价于，设，则，设，因为，所以存在唯一，使得，即，当时，单调递减，当时，单调递增，故，即．综上所述，的取值范围为．19.如图，在四棱锥中，底面，，点在上，，过点作的垂线交于点．（1）证明：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．（1）证明：因为平面平面，所以．又因为，且，所以平面，且平面，所以，而，且，平面，所以平面．（2）解：如图，以为原点，方向分别为轴正向，建立空间直角坐标系，则，由（1）知，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，因为，则，令，可得，可得，设平面与平面的夹角为，则，即平面与平面的夹角余弦值为．20.已知等差数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为．问：是否存在，使得，成等比数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．解：（1）设等差数列的公差为d，由，取，得，即，由，得，即，解得，则．（2）由（1）得，故，即，则，两式相减，得到，即．则，因为，，即，所以，故不存在正