2024届四川省部分名校高三上学期期末联合考试数学试题（理）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2四川省部分名校2024届高三上学期期末联合考试数学试题（理）一、选择题1.（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故选：A.2.若集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以．故选：C3.某咖啡店门前有一个临时停车位，小轿车在此停车时长超过10分钟就会被贴罚单．某顾客将小轿车停在该车位后，来到该咖啡店消费，忽略该顾客从车内到咖啡店以及以从咖啡店回到车内的时间，若该顾客上午10：02到达咖啡店内，他将在当天上午10：08至上午10：15的任意时刻离开咖啡店回到车内，则他的车不会被贴罚单的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗他在当天上午10：08至上午10：15的任意时刻离开咖啡店回到车内，其中在10：08至上午10：12的任意时刻离开咖啡店回到车内，他的车不会被贴罚单，故由几何概型可知他的车不会被贴罚单的概率为．故选：C4.若某圆锥的底面半径，且底面的周长等于母线长，则该圆锥的高为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设该圆锥的高为，依题意有，则，解得.故选：A5.苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化其中的大数之间的计算而发明了对数．利用对数运算可以求大数的位数．已知，则是（）A.9位数 B.10位数 C.11位数 D.12位数〖答案〗B〖解析〗记，则，则，则，故是10位数．故选：B6.已知向量，满足，，且，则（）A.5 B. C.10 D.〖答案〗C〖解析〗由题意可知，且，则，，所以．故选：C7.在梯形中，，是边长为3的正三角形,则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为是边长为3的正三角形，所以，又，所以，由正弦定理得，则．故选：B8.设满足约束条件，其中，若的最大值为10，则的值为（）A.-2 B.-3 C.-4 D.-5〖答案〗A〖解析〗作出可行域，如图所示，当直线经过点时，取得最大值，且最大值为，解得．故选：A9.若函数的图象关于直线对称，且是大于的最小正数，则数列的前10项和为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为函数的图象关于直线对称，所以，得．又是大于的最小正数，所以，所以数列的前10项和为．故选：C10.已知为定义在上的奇函数，当时，，若函数恰有5个零点，则的取值范围是（）A B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依题意作出的大致图象，如图所示，令，得，当时，，又时，，易知在区间上单调递增，又，所以时，，又奇函数，所以由图可知，当时，直线与的图象有5个公共点，从而有5个零点，故选：D.11.已知双曲线的两个焦点为为上一点，，，则的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如图，取线段的中点，连接，因为，，所以，且，所以，设，则，所以的离心率．故选：D12.若函数，的导函数都存在，恒成立，且，则必有（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由，得，设函数，则，所以单调递增，所以，即，因为，所以，即.故选：D.二、填空题13.若，则_____________．〖答案〗〖解析〗由题意可得：．故〖答案〗为：.14.某美食套餐中，除必选菜品以外，另有四款凉菜及四款饮品可供选择，其中凉菜可四选二，不可同款，饮品选择两杯，可以同款，则该套餐的供餐方案共有_________种.〖答案〗60〖解析〗由题意可知凉菜选择方案共有种，饮品选择方案共有种，因此该套餐的供餐方案共有种.故〖答案〗为：6015.在长方体中，，侧面的面积为6，与底面所成角的正切值为，则该长方体外接球的表面积为____________．〖答案〗〖解析〗在长方体中，因为侧面的面积为6，所以，因为与底面所成角的正切值为，所以，结合，可得，所以该长方体外接球的半径为，表面积．故〖答案〗为：16.过圆外一点作圆的两条切线，切点为，则的最小值为_______________，此时，________________．〖答案〗〖解析〗圆的标准方程为，设，则，有，又，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，此时．故〖答案〗为：；.三、解答题（一）必考题．17.在等差数列中，．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．解：（1）设的公差为，则，解得，所以；（2）由（1）知，所以．18.已知某公司生产的风干牛肉干是按包销售的，每包牛肉干的质量（单位：g）服从正态分布，且.（1）若从公司销售的牛肉干中随机选取3包，求这3包中恰有2包质量不小于的概率；（2）若从公司销售的牛肉干中随机选取（为正整数）包，记质量在内的包数为，且，求的最小值.解：（1）由题意知每包牛肉干的质量（单位：g）服从正态分布，且，所以，则这3包中恰有2包质量不小于248g的概率为.（2）因为，所以，依题意可得，所以，因为，所以，又为正整数，所以的最小值为2001.19.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，是边长为2的正三角形，且．（1）求的长；（2）求二面角的余弦值．解：（1）取的中点为，连接，因为是边长为2的正三角形，所以，又平面平面，且平面平面，平面,所以平面，则．又，所以平面，则．因为四边形为矩形，所以，则，故，即，解得．（2）取线段的中点，连接．以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，故，，设平面的法向量为，则，即令，得，设平面的法向量为，则，即令，得，所以，由图可知二面角为锐角，则二面角的余弦值为．20.已知椭圆的长轴为线段，短轴为线段，四边形的面积为4，且的焦距为．（1）求的标准方程；（2）若直线与相交于两点，点，且的面积小于，求的取值范围．解：（1）所以的标准方程为；（2）点到直线的距离，设，联立方程组，整理得，则，即，，所以，则的面积，得，又，（由三点不共线可得），所以的取值范围是．21.已知函数，.（1）讨论的单调性.（2）是否存在两个正整数，，使得当时，？若存在，求出所有满足条件的，的值；若不存在，请说明理由.解：（1），当时，，在上单调递减.当时，令，得.，，则在上单调递增，，，则在上单调递减.（2）由（1）知，令，得在上单调递增，在上单调递减，则.因为，所以，即，即，因为，为正整数，所以.当时，，因为，，所以，这与矛盾，不符合题意.当时，因为，，所以，所以，得，即.经检验，当，时，不符合题意，当，时，符合题意，当，时，因为，所以，当时，，，所以.综上，仅存在，满足条件.（二）选考题22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求的直角坐标方程；（2）点的极坐标为，为曲线上任意一点，为线段的中点，求动点的轨迹的直角坐标方程．解：（1）由，得，则，所以，所以的直角坐标方程为；（2）点的极坐标为，，所以点的直角坐标为．设，则，得，因为在曲线上，所以，所以，即，所以动点的轨迹的直角坐标方程为．23.已知．（1）若，证明与中至少有一个小于0；（2）若均为正数，求的最小值．（1）证明：假设与中没有一个小于0，即，因为，所以，这与矛盾，所以假设不成立，所以与中至少有一个小于0；（2）解：，因为均为正数，所以由柯西不等式可得，当且仅当时，等号成立，故的最小值为．四川省部分名校2024届高三上学期期末联合考试数学试题（理）一、选择题1.（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故选：A.2.若集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以．故选：C3.某咖啡店门前有一个临时停车位，小轿车在此停车时长超过10分钟就会被贴罚单．某顾客将小轿车停在该车位后，来到该咖啡店消费，忽略该顾客从车内到咖啡店以及以从咖啡店回到车内的时间，若该顾客上午10：02到达咖啡店内，他将在当天上午10：08至上午10：15的任意时刻离开咖啡店回到车内，则他的车不会被贴罚单的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗他在当天上午10：08至上午10：15的任意时刻离开咖啡店回到车内，其中在10：08至上午10：12的任意时刻离开咖啡店回到车内，他的车不会被贴罚单，故由几何概型可知他的车不会被贴罚单的概率为．故选：C4.若某圆锥的底面半径，且底面的周长等于母线长，则该圆锥的高为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设该圆锥的高为，依题意有，则，解得.故选：A5.苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化其中的大数之间的计算而发明了对数．利用对数运算可以求大数的位数．已知，则是（）A.9位数 B.10位数 C.11位数 D.12位数〖答案〗B〖解析〗记，则，则，则，故是10位数．故选：B6.已知向量，满足，，且，则（）A.5 B. C.10 D.〖答案〗C〖解析〗由题意可知，且，则，，所以．故选：C7.在梯形中，，是边长为3的正三角形,则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为是边长为3的正三角形，所以，又，所以，由正弦定理得，则．故选：B8.设满足约束条件，其中，若的最大值为10，则的值为（）A.-2 B.-3 C.-4 D.-5〖答案〗A〖解析〗作出可行域，如图所示，当直线经过点时，取得最大值，且最大值为，解得．故选：A9.若函数的图象关于直线对称，且是大于的最小正数，则数列的前10项和为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为函数的图象关于直线对称，所以，得．又是大于的最小正数，所以，所以数列的前10项和为．故选：C10.已知为定义在上的奇函数，当时，，若函数恰有5个零点，则的取值范围是（）A B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依题意作出的大致图象，如图所示，令，得，当时，，又时，，易知在区间上单调递增，又，所以时，，又奇函数，所以由图可知，当时，直线与的图象有5个公共点，从而有5个零点，故选：D.11.已知双曲线的两个焦点为为上一点，，，则的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如图，取线段的中点，连接，因为，，所以，且，所以，设，则，所以的离心率．故选：D12.若函数，的导函数都存在，恒成立，且，则必有（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由，得，设函数，则，所以单调递增，所以，即，因为，所以，即.故选：D.二、填空题13.若，则_____________．〖答案〗〖解析〗由题意可得：．故〖答案〗为：.14.某美食套餐中，除必选菜品以外，另有四款凉菜及四款饮品可供选择，其中凉菜可四选二，不可同款，饮品选择两杯，可以同款，则该套餐的供餐方案共有_________种.〖答案〗60〖解析〗由题意可知凉菜选择方案共有种，饮品选择方案共有种，因此该套餐的供餐方案共有种.故〖答案〗为：6015.在长方体中，，侧面的面积为6，与底面所成角的正切值为，则该长方体外接球的表面积为____________．〖答案〗〖解析〗在长方体中，因为侧面的面积为6，所以，因为与底面所成角的正切值为，所以，结合，可得，所以该长方体外接球的半径为，表面积．故〖答案〗为：16.过圆外一点作圆的两条切线，切点为，则的最小值为_______________，此时，________________．〖答案〗〖解析〗圆的标准方程为，设，则，有，又，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，此时．故〖答案〗为：；.三、解答题（一）必考题．17.在等差数列中，．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．解：（1）设的公差为，则，解得，所以；（2）由（1）知，所以．18.已知某公司生产的风干牛肉干是按包销售的，每包牛肉干的质量（单位：g）服从正态分布，且.（1）若从公司销售的牛肉干中随机选取3包，求这3包中恰有2包质量不小于的概率；（2）若从公司销售的牛肉干中随机选取（为正整数）包，记质量在内的包数为，且，求的最小值.解：（1）由题意知每包牛肉干的质量（单位：g）服从正态分布，且，所以，则这3包中恰有2包质量不小于248g的概率为.（2）因为，所以，依题意可得，所以，因为，所以，又为正整数，所以的最小值为2001.19.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，是边长为2的正三角形，且．（1）求的长；（2）求二面角的余弦值．解：（1）取的中点为，连接，因为是边长为2的正三角形，所以，又平面平面，且平面平面，平面,所以平面，则．又，所以平面，则．因为四边形为矩形，所以，则，故，即，解得．（2）取线段的中点，连接．以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，故，，设平面的法向量为，则，即令，得，设平面的法向量为，则，即令，得，所以，由图可知二面角为锐角，则二面角的余弦值为．20.已知椭圆的长轴为线段，短轴为线段，四边形的面积为4，且的焦距为．（1）求的标准方程；（2）若直线与相交于两点，点，且的面积小于，求的取值范围．解：（1）所以的标准方程为；（2）点到直线的距离，设，联立方