2024届陕西省榆林市高三第二次模拟考试数学试题（文）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2陕西省榆林市2024届高三第二次模拟考试数学试题（文）第I卷一､选择题1.若向量，则（）A. B.2 C.1 D.0〖答案〗D〖解析〗依题意得，即.故选：D.2.设集合，则中元素的个数为（）A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗B〖解析〗依题意可得，则，则中元素的个数为故选：B.3.若，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以解得所以.故选：D.4.某工厂要对1110个零件进行抽检，这1110个零件的编号为.若采用系统抽样的方法抽检30个零件，且编号为0005的零件被抽检，则下列编号是被抽检的编号的是（）A.0040 B.0041 C.0042 D.0043〖答案〗C〖解析〗因为零件的个数为1110，抽取30个零件，所以抽样间隔为，因为编号为0005的零件被抽检，所以所有被抽检编号为，所以当时，，得被抽检的编号可以是0042，当时，，得被抽检的编号可以是0079，故选：C.5.若满足约束条件，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗作出约束条件表示的可行域，设，如图所示，当直线经过点时，纵截距取得最大值12，所以的取值范围是.故选：A6.若函数的图象关于直线对称，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为的图象关于直线对称，所以，得，因为，所以.故选：C.7.定义二阶行列式，则“”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗由，得，当时，，解得，当时，，解得，所以的解集为.由，即，解得或，即不等式的解集为，所以“”是“”的充要条件.故选：A.8.若，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，.故选：A9.已知定义在上的函数满足，当时，，则（）A.1 B.2 C. D.-2〖答案〗B〖解析〗因为，所以，所以是以4为周期的周期函数，所以.故选：B10.如图，网格纸中小正方形的边长为1，粗实线绘制的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由三视图可知，该几何体由一个棱长为2的正方体和一个底面半径为，高为2的圆柱拼接而成，故该几何体的表面积为.故选：D11.已知为双曲线的两个焦点，为上一点，若，且为等腰三角形，则的离心率为（）A B.2 C.或 D.2或3〖答案〗C〖解析〗因为，所以可设，依题意可得：，则的离心率；或，则的离心率.故选：C12.已知函数恰有3个零点，则整数的取值个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗令，得或；作出的大致图象，如图所示，这两个函数的图象的交点为，因为，所以由图可知的取值范围是.故整数或2，个数为2.故选：B.第II卷二､填空题13.在中，，则__________.〖答案〗〖解析〗因为在中，，所以由余弦定理，得，所以.故〖答案〗为：14.已知抛物线经过点，写出的一个标准方程：__________.〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗依题意可得的标准方程可设为或，将点的坐标代入得，则的标准方程为或.故〖答案〗为：（〖答案〗不唯一）.15.过球外一点作球的切线，若切线长为5，且，则球的体积为__________.〖答案〗〖解析〗切点为，则，则球半径，所以球的体积为.故〖答案〗为：16.已知函数，其中是的导函数，则__________；的解集为__________．〖答案〗0〖解析〗由函数，得，令，则，故，则；由以上分析得，则，又，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，即，故的解集为，故〖答案〗为：0；三､解答题（一）必考题17.甲､乙参加一次有奖竞猜活动，活动有两个方案.方案一：从装有编号为的6个小球的箱子内随机抽取2个小球，若抽取的小球的编号均为偶数，则获奖.方案二：电脑可以从内随机生成一个随机的实数，参赛者点击一下即可获得电脑生成的随机数，若，则获奖.已知甲选用了方案二参赛，乙选用了方案一参赛.（1）求甲获奖的概率.（2）试问甲､乙两人谁获奖的概率更大？说明你的理由.解：（1）由，得，所以由几何概型可知，甲获奖的概率为.（2）从装有编号为的6个小球的箱子内随机抽取2个小球，所有的抽取情况为，，共15种情况，其中，均为偶数的有3种，所以乙获奖的概率为.因为，所以甲获奖的概率更大.18.已知数列满足.（1）证明：为等差数列.（2）记为数列的前项和，求.（1）证明：因为，所以，所以，所以为公差是8的等差数列.（2）解：因为，所以，所以，则，所以19.如图，在底面是正方形的四棱柱中，平面，.（1）证明：四棱柱为正四棱柱.（2）求四棱锥的体积.（1）证明：因为，所以，则.又平面，平面，所以因为，平面，所以平面.又底面为正方形，所以四棱柱为正四棱柱.（2）解：连接，交于点，因为底面为正方形，所以.由（1）知，平面，平面，则.因为，平面，所以平面.因为，所以，所以四棱锥的体积.20.已知函数的图像在点处的切线与直线平行．（1）求在上的最值；（2）求经过点，并与曲线相切的直线的方程．解：（1）因为，则，且函数的图像在点处的切线与直线平行，则，即，所以.所以，则，当时，令，解得，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，所以时，有极小值，即最小值，则，又，，，所以.（2）由（1）可知，则，设切点坐标为，则切线斜率，所以切线方程为，将点代入，可得，解得，则切线方程为，即.21.已知椭圆的左､右焦点分别为过点，且的长轴长为8.（1）求的方程.（2）设的右顶点为点，过点的直线与交于两点（异于），直线与轴分别交于点，试问线段的中点是否为定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.解：（1）因为的长轴长为8，所以，所以.又，所以，所以的方程为.（2）易知，则直线的斜率存在，设其方程为.联立得，，因为点在直线上，所以，，直线，令，得，直线，令，得，，所以线段的中点为，为定点.（二）选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数.（1）求曲线与曲线的交点坐标；（2）求曲线的普通方程.解：（1）由曲线的参数方程，得，由，得，则，故曲线与曲线的交点坐标为.（2）由，得，则，代入，得，整理得，因为，所以曲线的普通方程为.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若恒成立，求的取值范围.解：（1）当时，可化为.当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得.故当时，不等式的解集为.（2）因为，所以等价于.因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为，所以，解得或，故的取值范围是.陕西省榆林市2024届高三第二次模拟考试数学试题（文）第I卷一､选择题1.若向量，则（）A. B.2 C.1 D.0〖答案〗D〖解析〗依题意得，即.故选：D.2.设集合，则中元素的个数为（）A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗B〖解析〗依题意可得，则，则中元素的个数为故选：B.3.若，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以解得所以.故选：D.4.某工厂要对1110个零件进行抽检，这1110个零件的编号为.若采用系统抽样的方法抽检30个零件，且编号为0005的零件被抽检，则下列编号是被抽检的编号的是（）A.0040 B.0041 C.0042 D.0043〖答案〗C〖解析〗因为零件的个数为1110，抽取30个零件，所以抽样间隔为，因为编号为0005的零件被抽检，所以所有被抽检编号为，所以当时，，得被抽检的编号可以是0042，当时，，得被抽检的编号可以是0079，故选：C.5.若满足约束条件，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗作出约束条件表示的可行域，设，如图所示，当直线经过点时，纵截距取得最大值12，所以的取值范围是.故选：A6.若函数的图象关于直线对称，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为的图象关于直线对称，所以，得，因为，所以.故选：C.7.定义二阶行列式，则“”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗由，得，当时，，解得，当时，，解得，所以的解集为.由，即，解得或，即不等式的解集为，所以“”是“”的充要条件.故选：A.8.若，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，.故选：A9.已知定义在上的函数满足，当时，，则（）A.1 B.2 C. D.-2〖答案〗B〖解析〗因为，所以，所以是以4为周期的周期函数，所以.故选：B10.如图，网格纸中小正方形的边长为1，粗实线绘制的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由三视图可知，该几何体由一个棱长为2的正方体和一个底面半径为，高为2的圆柱拼接而成，故该几何体的表面积为.故选：D11.已知为双曲线的两个焦点，为上一点，若，且为等腰三角形，则的离心率为（）A B.2 C.或 D.2或3〖答案〗C〖解析〗因为，所以可设，依题意可得：，则的离心率；或，则的离心率.故选：C12.已知函数恰有3个零点，则整数的取值个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗令，得或；作出的大致图象，如图所示，这两个函数的图象的交点为，因为，所以由图可知的取值范围是.故整数或2，个数为2.故选：B.第II卷二､填空题13.在中，，则__________.〖答案〗〖解析〗因为在中，，所以由余弦定理，得，所以.故〖答案〗为：14.已知抛物线经过点，写出的一个标准方程：__________.〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗依题意可得的标准方程可设为或，将点的坐标代入得，则的标准方程为或.故〖答案〗为：（〖答案〗不唯一）.15.过球外一点作球的切线，若切线长为5，且，则球的体积为__________.〖答案〗〖解析〗切点为，则，则球半径，所以球的体积为.故〖答案〗为：16.已知函数，其中是的导函数，则__________；的解集为__________．〖答案〗0〖解析〗由函数，得，令，则，故，则；由以上分析得，则，又，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，即，故的解集为，故〖答案〗为：0；三､解答题（一）必考题17.甲､乙参加一次有奖竞猜活动，活动有两个方案.方案一：从装有编号为的6个小球的箱子内随机抽取2个小球，若抽取的小球的编号均为偶数，则获奖.方案二：电脑可以从内随机生成一个随机的实数，参赛者点击一下即可获得电脑生成的随机数，若，则获奖.已知甲选用了方案二参赛，乙选用了方案一参赛.（1）求甲获奖的概率.（2）试问甲､乙两人谁获奖的概率更大？说明你的理由.解：（1）由，得，所以由几何概型可知，甲获奖的概率为.（2）从装有编号为的6个小球的箱子内随机抽取2个小球，所有的抽取情况为，，共15种情况，其中，均为偶数的有3种，所以乙获奖的概率为.因为，所以甲获奖的概率更大.18.已知数列满足.（1）证明：为等差数列.（2）记为数列的前项和，求.（1）证明：因为，所以，所以，所以为公差是8的等差数列.（2）解：因为，所以，所以，则，所以19.如图，在底面是正方形的四棱柱中，平面，.（1）证明：四棱柱为正四棱柱.（2）求四棱锥的体积.（1）证明：因为，所以，则.又平面，平面，所以因为，平面，所以平面.又底面为正方形，所以四棱柱为正四棱柱.（2）解：连接，交于点，因为底面为正方形，所以.由（1）知，平面，平面，则.因为，平面，所以平面.因为，所以，所以四棱锥的体积.20.已知函数的图像在点处的切线与直线平行．（1）求在上的最值；（2）求经过点，并与曲线相切的直线的方程．解：（1）因为，则，且函数的图像在点处的切线与直线平行，则，即，所以.所以，则，当时，令，解得，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，所以时，有极小值，即最小值，则，又，，，所以.（2）由（1）可知，则，设切点坐标为，则切线斜率，所以切线方程为，将点代入，可得，解得，则切线方程为，即.21.已知椭圆的左､右焦点分别为过点，且的长轴长为8.（1）求的方程.（2）设的右顶点为点，过点的直线与交于两点（异于），直线与轴分别交于点，试问线段的中点是否为定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.解：（1）因为的长轴长为8，所以，所以.又，所以，所以的方程为.（2）易知，则直线的斜率存在，设其方程为.联立得，，因为点在直线上，所以，，直线，令，得，直线，令，得，，所以线段的中点为，为定点.（二）选考题[选修4-4